Математическое дополнение

1. Математическое дополнение

1. Скаляры и векторы
Скалярная величина полностью определяется модулем и знаком.
Примеры скалярных величин: время, путь, масса, работа.
Векторная величина характеризуется модулем и направлением.
Примеры векторных величин: скорость, перемещение, сила.
Правила векторного исчисления:
а) сложение векторов ( по правилу параллелограмма или треугольника)
c a b
b
a
a
c
b
b
a
c

2.

б) вычитание векторов
b
d a b
a
a
d
b
d
a
b
в) скалярное произведение двух векторов
a b b a a b cos
a
b

3.

г) векторное произведение двух векторов
c a b
c a b sin
a b b a
д) произведение вектора на скаляр
c ba ab
c ab
е) решение векторных треугольников сводится к применению
теоремы косинусов и теоремы синусов
c a b
c 2 a 2 b2 2ab cos
a
b
c
sin sin sin

4.

2. Выражение вектора через его проекции на
координатные оси.
y
e x , e y ( или i , j )- орты координатных осей
– единичные по модулю векторы,
ay
a
направленные вдоль соответствующих
ey
o
осей.
ex a
x
y
ay
ey
o
a
a a x ex a y e y
x
или
c a b
b
c
ex a b
x
x
a a xi a y j
Проекции векторной суммы на оси координат:
x
c x a x bx
c y a y by

5.

Координатная запись скалярного и векторного произведений:
a b a x bx a y by
e x e y ez
a b ax a y az
bx by bz
Смешанное произведение:
a
c
a b c b c a c ab .
b
Двойное векторное произведение:
a , b c b ac c ab .
Можно запомнить так: «бас минус цап».

6.

3. Предел.
Если переменная величина (скорость, ускорение, сила) в рассматриваемом
случае неограниченно приближается к какому – то постоянному значению,
то используется понятие предела (lim):
r
lim
.
t 0 t
4. Производная и дифференциал
Производная функции y f (x)
y f ( x ) lim
x 0
f ( x x) f ( x)
y d y
lim
.
x
dx
x 0 x
dy - дифференциал функции, dx - дифференциал аргумента.
dy f ( x ) dx .

7.

Формулы дифференциального исчисления
d n
x nxn 1
dx
d x
e ex
dx
d 1
1
2
dx x
x
d ax
e aeax
dx
d 1
n
dx x n
x n 1
d
ln x 1
dx
x
uv u v v u
d (sin x )
cos x
dx
d (cos x )
sin x
dx
u
u v v u
v2
v

8.

Производная функции y (x ) или вторая производная функции y f (x) :
d y ( x ) d 2 y ( x )
y
.
2
dx
dx
Применение производных для исследования функций.
В точках экстремума функции ее производная обращается в ноль:
y ( x ) 0.
В точках максимума функции ее вторая производная отрицательна:
y ( x ) 0 .
В точках минимума функции ее вторая производная положительна:
y ( x ) 0 .

9.

Пример:
y sin x
y cos x
y sin x
y ( x1 ) max ; y ( x1 ) 0, y o .
y
x1 x2 x3
x
y
x
y
x
y ( x3 ) min ; y ( x3 ) 0, y o .

10.

Для функции многих переменных
f ( x, y )
ее полный дифференциал
f
f
d f ( x, y )
d x
d y,
x
y
где
f f
,
x y
- частные производные функции. Это производные по
одному из аргументов, вычисленные в предположении, что остальные
аргументы постоянны.

11.

5. Интеграл.
5.1 Определенный интеграл
n
Сумму f ( xi ) xi при столь малых xi
i 1
,
что на каждом из этих интервалов f ( x) const
x2
,
обозначают f ( x )dx и называют
x1
определенным интегралом от
интервале x1 , x2 .
f (x) в
Графически этот интеграл представляет площадь фигуры под кривой f (x) .
Пример: работа силы при конечном перемещении вдоль OX :
x2
A12 Fx ( x )dx.
x1

12.

Основные свойства определенного интеграла.
b
a
a
b
f ( x)dx f ( x)dx .
c
a
c
b
b
a
f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx .
b
dx b a .
a
b
b
a
a
c f ( x)dx c f ( x)dx .
b
b
b
a
a
a
f1 ( x) f 2 ( x) dx f1 ( x)dx f 2 ( x)dx .

13.

Среднее значение функции f(x) в интервале ( x1 , x2 ) по определению
равно:
x2
f ( x )dx
f
Пример:
f ( x) bx a .
x1
f
x1
x2 x1
На интервале (0, x1 ) :
x1
x1
bx
(bx a)dx bxdx adx 2
0
0
0
a
0
x1 x
2 x1
0
x
ax 01
bx12
ax1 .
2
bx12
ax1
bx
f 2
a 1.
x1
2
Среднее значение линейной функции на интервале равно полусумме ее
значений на концах интервала.

14.

5.2 Неопределенный интеграл
Если в задаче необходимо узнать не численный ответ:
F ( x2 ) F ( x1 )
x2
f ( x)dx ,
x1
а саму зависимость
функции f (x) :
F (x )
, то находят неопределенный интеграл от
f ( x) d x F ( x) C .
0
Здесь С – произвольная постоянная, определяемая при решении
конкретной задачи.
d
Пример:
d gdt
g
dt
y
g
(t ) ( g )dt gt C .
( t 0) C 0 .
o
(t ) 0 gt .

15.

Формулы интегрального исчисления
dx
x ln x C
sin x d x сosx C
x
x
e
d
x
e
C
cos x d x sin x C
n 1
x
n
x
d x n 1 C
dx
1
x2 x C
b
a
1 2
xdx
x C
2

16.

Десятичные приставки к названиям единиц и их
наименования
Приставка
Наимено- Обозначение
вание
Множитель
Приставка
Наимено- ОбознаМноживание
чение
тель
тера
Т
1012
милли
м
10-3
гига
Г
109
микро
мк
10-6
мега
М
106
нано
н
10-9
кило
к
103
пико
п
10-12

17.

Некоторые тригонометрические формулы
sin 2 2 sin cos
ln a ln b ln ab
1
sin (1 cos2 )
2
1
cos2 (1 cos2 )
2
a
ln a ln b ln
b
2
sin( ) sin cos sin cos
cos( ) cos cos sin sin
cos cos 2 cos
sin sin 2 sin
2
2
cos
cos
2
2

18.

Формулы для приближенных вычислений
Если
a 1 , то в первом приближении можно принять:
ea 1 a
1
1 a
1 a
ln 1 a a
1
1
1 a
2
1 a
1
1 a 1 a
2
Если угол α мал 5 и выражен в радианах, то в первом
приближении можно принять:
sin tg , cos 1 .