Основы математического анализа. Лекция 1

1. Лекция 1. Основы математического анализа

Лектор: Войтик Виталий
Викторович

2. Литература

• Лобоцкая Н.Л. Основы высшей математики
2015, Москва
• Ремизов А.Н. Максина А.Г., Потапенко А.Я.
Медицинская и биологическая физика
2013, Москва
• Ремизов А.Н., Максина А.Г. Сборник задач
по медицинской и биологической физике
2014, Москва
• Антонов В.Ф. Физика и биофизика
(http://www.studmedlib.ru/boo
k/ISBN9785970426777.html ) 2013, Москва

3. Определение производной

Если существует предел отношения
f (x x) f (x)
lim
,
x 0
x
то функция f(x) называется
дифференцируемой в точке х, а значение
предела называется производной от
функции f(x) в точке х и обозначается
f (x x) f (x)
df
lim
f (x) f x
x 0
x
dx

4. Геометрический смысл производной

Производная в точке x0 равна угловому
коэффициенту k касательной к графику
функции y=f(x) в этой точке; f (x0)=k =tg

5. Правила дифференцирования

1)
c1f1 (x) c2f 2 (x) c1f1 (x) c 2f 2 (x)
2)
f (x) g(x) f (x)g(x) f (x)g (x)
3)
f(x) f (x)g(x)-f(x)g (x)
=
2
g (x)
g(x)

6.

Производные элементарных функций
C 0; sin x cos x; cos x sin x;
x 1;
1
;
n
n 1 tgx
2
x nx ;
cos x
arcsin
x
x
n n ln n;
x
1
ln x ;
x
1
1 x
2
;
arccos x
x
e e ;
x
ctg x
arctgx
arcctgx
1
.
2
1 x
1
;
2
sin x
1
1 x2
;
1
;
2
1 x

7.

Производная сложной функции
Если y=f(g(x)), то y f (u) u (x)
где u=g(x)
Пример. Найти производную функции
.
1
2
y x cos x sin x cos x
2
Сначала преобразуем данную функцию:
x
1
1
1
y sin 2x cos 2 x ;
y sin 2x x 2 cos 2x
2
2
2
2
1
1
2cos x ( sin x) sin 2x x cos 2x sin x cos x x cos 2x
2
2

8.

Дифференциал функции
Дифференциалом df(x) функции f(x) в
точке х называется произведение
производной от функции f(x) в этой
точке на величину приращения
аргумента х
df (x) f (x)dx

9. Связь между дифференциалом функции и её приращением Дифференциал функции, в общем случае отличаясь от приращения функции,

представляет
собой главную часть этого приращения,
линейную относительно приращения аргумента.
В этом заключается аналитический смысл
дифференциала. Отсюда следует, что при
достаточно малых приращениях аргумента
величина приращения функции приближённо
равна дифференциалу этой функции
f df

10. Геометрический смысл дифференциала

Участок СВ - дифференциал df функции f
в точке х

11. Применение дифференциала для приближенных вычислений.

Оно основывается на приближённой
формуле : Δf=f’(x)Δx или
f(x+Δx)-f(x)=f’(x)Δx.
Отсюда мы можем вычислить значение
функции в точке x+Δx:
f(x+Δx)=f(x)+f’(x)Δx,
если f(х) и f’(x) можно легко вычислить в
точке x.

12.

f (b) f (a) f (c)(b a)

13. Применение производной при исследовании функции

• Теорема о признаке возрастания и
убывания функции. Если производная
функции положительна на некотором
интервале, то функция возрастает на
этом интервале, наоборот если
производная отрицательна, то
функция убывает на этом интервале.
Производная дифференцируемой
функции в точке экстремума равна
нулю.

14. Порядок действий при исследовании функции. 1. Найти область определения функции. 2.Найти производную функции и определить

точки, в которых
производная не существует.
3.Приравнять производную к нулю и
решить полученное уравнение
f (x) 0

15. Корни этого уравнения являются экстремумами функции. 4. Найти критические точки функции, как совокупность всех экстремумов и

точек, в которых производная не
существует и отметить их на оси ОХ.
5.Определить знаки производных на
интервалах, на которые критические
точки делят область определения
функции.

16. 6.По знаку производной найти интервалы возрастания и убывания функции. 7. Найти точки экстремумов функции. Пример. Исследовать

функцию
1 3
2
y x x
3
1. Область определения этой функции (∞,∞)
2.Производная
1 3 2
2
y x x x 2x 0
3

17. 3. Корни x=0, x=2 4.Эти корни стационарные и критические точки функции 5.Определим знаки производных в интервалах

(-∞,0),(0,2),(2,∞).Для этого
достаточно найти знак производной в любой
точке интервала. На (-∞,0) >0
,(0,2)<0, (2,∞)>0
6. На (-∞,0) функция возрастает
, на (0,2) функция убывает
на (2,∞) функция возрастает.
7.Точка х=0 точка максимума
точка х=2 точка минимума

18.

Первообразная функция.
Функция F(x) называется первообразной
функцией функции f(x) на отрезке [a, b],
если в любой точке этого отрезка верно
равенство: F (x) = f(x).
Надо отметить, что первообразных для
одной и той же функции может быть
бесконечно много. Они будут отличаться
друг от друга на некоторое постоянное число.
F1 (x) F2 (x) C

19.

Неопределенный интеграл.
Определение: Неопределенным интегралом
функции f(x) называется вся совокупность
первообразных функций F(x), которые
определены соотношением:
f ( x)dx F ( x) C ;

20.

n 1
x
x dx n 1 C, n 1
x
a
a dx ln a C
n
e
dx
e
C
x
x
dx
x ln x C
x
1
cos2 x dx tg x C
1
sin 2 x dx ctg x c
cos xdx sinx C
sin xdx cosx C
dx
1 x 2 arctgx C
dx
arcsin x C
1 x2
tgxdx ln cos x C ctgxdx ln sin x C

21.

Свойства интегралов:
1. f ( x)dx ( F ( x) C ) f ( x);
2.d
f ( x)dx f ( x)dx;
3. dF ( x) F ( x) C ;
4. (u v w)dx udx vdx wdx;
где u, v, w – некоторые функции от х.
5. C f ( x)dx C f ( x)dx;
Пример:
1 3
( x 2 sin x 1)dx x dx 2 sin xdx dx 3 x 2 cos x x C;
2
2

22.

Методы интегрирования
А) Непосредственное интегрирование.
1
5
1
5
x 2x cos x dx x dx 2x dx
1
1
2
x
1
cos xdx 5
ln x sinx C 10 x
1
2
1
2
1
ln x sinx C
2

23.

Б) Способ подстановки (замены
переменных).
f (x)dx f (t) (t)dt
Пример. Найти неопределённый интеграл
Сделаем замену
sinx cos xdx
t sin x;
sinx cos xdx
3
2
dt cos xdx
1
2
3
2
2
t dt t dt t C
3
2
sin x C
3

24. В) Интегрирование по частям.

Способ основан на формуле:
udv uv vdu
2
u x ;du 2xdx
2
Пример: x sin xdx
dv sin xdx; v cos x
2
2
x cos x cos x 2xdx x cos x 2 x cos xdx
u x;du dx
x 2 cos x 2 x sin x sin xdx
dv cos xdx; v sin x
u x;du dx
2
C
x cos x 2 x sin x cos x
dv cos xdx; v sin x
C

25. Определенный интеграл

• Пусть на отрезке [ab] задана непрерывная
функция y=f(x)

26.

Внутри каждого отрезка выберем некоторую точку .
x0 < 1 < x1, x1 < < x2, … , xn-1 < n < xn.
Найдем значения функции в этих точках и составим
выражение, которое называется интегральной суммой
для функции f(x) на отрезке [a, b].
2
n
Sn = f( 1) x1 + f( 2) x2 + … + f( n) xn = f ( i ) xi
i 1
Определение: Если при любых разбиениях отрезка
[a, b] таких, что max xi 0 иn произвольном выборе
точек i интегральная сумма S n f ( i ) xi
i 1
стремится к пределу S, который называется определенным интегралом от f(x) на отрезке [a, b]:

27.

Свойства определенного интеграла.
b
b
a
a
1) Af ( x)dx A f ( x)dx
a
2) f ( x)dx 0
a
b
b
b
a
a
a
3) ( f1 ( x) f 2 ( x))dx f1 ( x)dx f 2 ( x)dx
4) Если f(x) (x) на отрезке [a, b] a <
b, то b
b
f ( x)dx ( x)dx
a
a

28.

5) Если m и M – соответственно наименьшее и
наибольшее значения функции f(x) на отрезке [a, b], то:
b
m(b a) f ( x)dx M (b a)
a
6) Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то на
этом отрезке существует точка такая, что
b
a
a
b
7) f ( x)dx f ( x)dx

29.

8. Для произвольных чисел a, b, c справедливо
равенство:
Теорема: (Теорема Ньютона – Лейбница)
Если функция F(x) – какая- либо
первообразная от непрерывной функции f(x), то
b
f ( x)dx F (b) F (a) = F(x)
a
b
a

30.

Пример.
2
x sin t
2
1 x dx
1 sin t cos tdt
dx cos t 0
1
2
0
2
2
2
1
1 1
cos t dt 1 cos 2t dt t sin 2t
20
2 2
0
0
2
sin
4
4
4

31.

32.

33.

34.

Дифференциальные уравнения первого
порядка.
Уравнения с разделяющимися переменными
Дифференциальное уравнение первого
порядка имеет вид
F(x , y, y′) = 0 .
Если это уравнение разрешено относительно
y′ , то это уравнение имеет вид:
y′ = f (x , y) или dy=f (x , y)dx
Общим решением уравнения будет функция
y=y(x ,C), зависящая от х и от одной
произвольной постоянной, и обращающая
это уравнение в тождество.

35.

Частным решением уравнения будет решение
y= y( x ,C ), полученное из общего при
фиксированном значении С, удовлетворяющее
заданным начальным условиям: y = y при x = x .
Другими словами: найти интегральную кривую
уравнения, проходящую через заданную точку
M (x ,y ).
Дифференциальное уравнение вида
P (x)Q (y)dx+P (x)Q (y) dy =0,
где P (x ), P (x ) – функции только от х, а Q (y),
Q (y) – функции только от у, называется
уравнением с разделяющимися переменными.
0
0
0
0
0
1
1
1
2
0
2
2
2
1

36.

Делением обеих частей уравнения на
произведение Q (y)P (x ) может быть
приведено к уравнению с разделенными
переменными:
1
2
Общим интегралом уравнения будет:

37.

Пример. Дано уравнение
xy 2y 0
Найти частное решение этого уравнения,
удовлетворяющее начальному условию y = 4
при x = 2 .
dy
Уравнение имеет вид:
x
dx
2y 0
Разделяя переменные, получим:
Интегрируем:
dy 2dx
0
y
x

38.

dy
2dx
C
y x 1
ln y 2 ln x C1 ln C
ln y 2 ln x ln C
ln y ln Cx
2
y Cx î áù åå ðåø åí èå
2