Элементарная теория удара

1. Глава 7 Элементарная теория удара

§ 1. Основные понятия теории удара
§ 2. Действие ударной силы на материальную точку
§ 3. Теорема об изменении количества движения
механической системы при ударе
§ 4. Теорема об изменении главного момента
количеств движения при ударе (Теорема
моментов)
§ 5. Прямой центральный удар шара о неподвижную
поверхность

2. § 1. Основные понятия теории удара

Явление, при котором за ничтожно малый промежуток
времени скорости точек тела меняются на конечную
величину, называется ударом
Мгновенной или ударной называют силу, которая
действует в течение малого промежутка времени, но
достигает таких больших значений, что её импульс за
это время становится конечной величиной

3.

( 1 ) S Fdt
F- ударная
сила, - время удара
S - ударный импульс
0
По теореме о среднем
S Fср ; S Fср
Поскольку S - конечная
Fср
величина, то
F
1

4. Пусть соударяются два тела: vA > vB , тела движутся поступательно

A
vA
vB
Пусть соударяются два тела:
vA > vB , тела движутся
поступательно
B
Линия удара - это общая нормаль к поверхностям
соударяющихся тел в точке соприкосновения
Удар называют центральным, если центры масс
соударяющихся тел лежат на линии удара
Центральный удар называется прямым, если скорости
центров масс соударяющихся тел в начале удара
направлены по линии удара

5. Рассмотрим подробнее процесс удара. Пусть A, B - абсолютно гладкие тела, удар прямой, центральный. После соприкосновения оба тела деформирую

Рассмотрим подробнее процесс удара. Пусть A, B абсолютно гладкие тела, удар прямой, центральный.
После соприкосновения оба тела деформируются, vB увеличивается, vA - уменьшается. Процесс деформации
заканчивается, когда vA= vB
Эта часть явления удара называется фазой деформации
Время этой фазы
F
F F
F
Ударный импульс
S 1 S 1
1
1
S 1 Fdt
0
- ударный импульс F )
( S1

6. После деформации тела восстанавливают свою форму целиком или частично. Это фаза восстановления

Время этой фазы - 2 . Фаза заканчивается в момент
отделения тел друг от друга
2
S 2 Fdt
1
1 2 - продолжительность удара

7. Упругость соударяющихся тел оценивается по отношению ударного импульса за фазу восстановления к ударному импульсу за фазу деформации

S2
k
S1
K - коэффициент восстановления, определяется
опытным путем
k 0 S 2 0 - фаза восстановления отсутствует
(абсолютно неупругий удар)
k 1
- абсолютно упругий удар
0 < k < 1 - упругий удар

8. § 2. Действие ударной силы на материальную точку

Пусть на точку действует конечная сила Fk и F
ударная сила. Время действия ударной силы - . v скорость до удара, u - скорость после удара
По теореме об изменении количества движения точки
m u m v Fdt Fk dt
0
0
импульс
S
- ударный
импульс
конечной
силы
ср
S k Fk
по теореме о среднем
малой величиной
можно пренебречь

9. Изменение количества движения точки за время удара равно ударному импульсу, приложенному к точке.

(2)
m u m v S
Изменение количества движения точки за время удара
равно ударному импульсу, приложенному к точке.
(2) – основное уравнение динамики точки при ударе,
1
u v S
m
(в этой формуле все величины конечные)
M
A Fk
S
mv
B
F
mu
D
В результате действия
ударной силы резко
меняется траектория
движения ABD

10. Выводы

s vdt
0
- расстояние, пройденное за время удара,
s v ср s 0
Выводы
1. Действием конечных сил за время удара можно
пренебречь
2. Перемещением точки за время действия ударных сил
можно пренебречь
3. Действие ударных сил на точку выражается в быстром
изменении величины и направления скорости

11. § 3. Теорема об изменении количества движения механической системы при ударе

Для механической системы, состоящей из n
материальных точек,на которую действуют как
конечные, так и ударные силы, справедливо
e
Q Q0 S k
(3)
k
Изменение количества движения механической системы
за время удара равно сумме всех внешних ударных
импульсов, действующих на систему

12. В проекциях:

Если
e
Q x Q0 x S k x
k
e
Q y Q0 y S k y
k
e
Q z Q0 z S k z
e
S k 0
, то
k
Q Q0.
k
Вывод: Внутренние ударные импульсы не могут
изменить количество движения системы
Если Q Muc и Q0 Mv c , то
e
Muc Mv c S k - определяет изменение скорости
k
центра масс при ударе

13. § 4. Теорема об изменении главного момента количеств движения при ударе (Теорема моментов)

Рассмотрим систему из n материальных точек
e
S k - равнодействующая внешних ударных импульсов
i
S k - равнодействующая внутренних ударных импульсов,
действующих на каждую точку,
i
e
m k uk m k v k S k S k

14. Векторы приложены к точке, которая за время удара не перемещается, тогда, по теореме Вариньона,

e i
m 0 ( m k uk ) m 0 ( m k v k ) m 0 ( S k ) m 0 ( S k )
Теперь просуммируем
m 0 ( m k uk ) m0 ( m k v k )
e
i
m 0 ( S k ) m 0 ( S k )
e
K 0 2 K 0 1 m0 ( S k )

15. Изменение за время удара кинетического момента системы относительно какого-либо центра равно сумме моментов относительно того же центра

Изменение за время удара кинетического момента
системы относительно какого-либо центра равно сумме
моментов относительно того же центра всех
действующих на систему внешних ударных импульсов
В проекциях:
e
K 0 2 x K 0 1 x m 0 x ( S k )
e
K 0 2 y K 0 1 y m0 y ( S k )
e
K 0 2 z K 0 1 z m0 z ( S k )
Внутренние ударные импульсы не меняют кинетический
момент системы

16. § 5. Прямой центральный удар шара о неподвижную поверхность

n
Масса шара – M
N
Реакция плиты – N
Согласно теореме об изменении количества движения,
(4)
Q Q0 S Mu Mv S
- скорость до удара; u - скорость после удара
v

17. Проектируем на нормаль:

Т.к. удар прямой и
Mu Mv S
un u v n v S n S, то
(5 )
0 Mv S 1 ; Mu 0 S 2
S2 u
k
S1 v
Поскольку
Mun Mv n S n
S 1 - ударный импульс за
фазу деформации
S 2 - ударный импульс за
фазу восстановления
S M ( v kv ); S Mv ( k 1 )
v 2 gh
и
u 2 gh1
,то
h1
k
h