Импульс. Закон сохранения импульса

1. Импульс. Закон сохранения импульса.

1

2. О неизменности в мире …

«Я принимаю, что во Вселенной …
есть известное количество движения,
которое никогда не увеличивается,
не уменьшается, таким образом,
если одно тело приводит в движение
другое, то теряет столько своего
движения, сколько его сообщает».
В XVII веке впервые были указаны
сохраняющиеся в тех или иных явлениях.
величины,
2

3. Импульс. Закон сохранения импульса.

Импульс
тела. Импульс силы.
Закон сохранения импульса.
Применение закона сохранения
импульса – реактивное
движение.
3

4. Объясните явления…

4

5.

Второй закон Ньютона
F=ma
a = v- v 0 / t
Ft = mv - mv0
p = mv - импульс тела
p = кг м/с
СИ
Ft - импульс силы.
mv - mv0 – изменение им пульса
тела
5

6.

Импульс силы – мера механического взаимодействия,
характеризующая передачу механического движения со
стороны действующих на точку сил за данный промежуток
времени:
t2
p Fdt
t1
t2
В проекциях
на координатные ( x ) : px t 1 Xdt;
оси:
t2
( y ) : p y Ydt;
t1
t2
( z ) : pz Zdt.
t1
В случае постоянной силы p F ( t2 t1 ).
:
px X ( t2 t1 );
В проекциях на
координатные оси:
p y Y ( t2 t1 );
pz Z ( t2 t1 );
Импульс равнодействующей – равен геометрической
сумме импульсов приложенных к точке сил за один и
тот же промежуток времени:
R F1 F2 ... Fn .
Умножим на dt:
Rdt F1dt F2 dt ... Fn dt.
6

7.

Проинтегрируем на данном промежутке времени:
t2
t2
t2
t2
Rdt F1dt F2 dt ... Fn dt .
p p1 p2 ...
t1
t1
t1
t1
pn .
Количество движения точки – мера механического
движения, определяемая вектором, равным
произведению массы точки на вектор ее скорости:
Q mv .
Количество движения системы материальных точек
– геометрическая сумма количеств движения
материальных точек:
m
Q
v
Q Q1 Q2 ... Qn Qk .
7

8.

drk d
Q Qk mk vk mk
( mk rk ).
dt dt
По определению центра масс:
MrC mk rk .
d
d
r
Тогда: Q ( Mr ) M C Mv .
c
C
Q MvC .
dt
dt
Вектор количества движения системы равен
произведению массы всей системы на вектор скорости
центра масс системы.
В проекциях на
C ;
C ; Q y Mx C .
Q
M
x
Q
M
x
x
y
координатные оси:
Теорема об изменении количества движения системы
– Рассмотрим систему n материальных точек.
Приложенные к каждой точке силы разделим на внешние и
внутренние и заменим их на соответствующие
равнодействующие Fke и Fki. Запишем для каждой точки
e iили dv k e i
основное уравнение динамики:
mk ak Fk Fk
mk
dt
Fk Fk .
8

9.

В левой части уравнения внесем массы d
e
под знак производной и заменим сумму
( mk vk ) R .
dt
производных на производную суммы:
dQ e
R .
Из определения количества
dt
mk vk Q .
движения системы:
Просуммируем эти уравнения
по всем точкам:
e
i
dvk
Fk Fk .
mk
dt
e i
R R 0
Производная вектора количества движения системы
по времени равна главному вектору внешних
сил системы.
В проекциях
dQx
на координатные оси: dt
R ex X ke ;
dQx
R ex X ke ;
dt
dQx
R ex X ke .
dt
9

10.

Следствия из теоремы об изменении количества
движения системы
(законы сохранения):
1. Если в интервале времени [t1, t2] главный вектор внешних
сил системы
равен нулю, Re = 0, то вектор количества движения
постоянен, Q = const
– закон сохранения количества движения системы).
2. Если в интервале времени [t1, t2] проекция главного
вектора внешних сил
системы на ось x равна нулю, Rxe = 0, то проекция
количества движения
системы на ось x постоянна, Qx = const.
Аналогичные утверждения справедливы для осей y и z.
10

11.

Пример: Граната массы M, летевшая со скоростью v,
разорвалась на две части. Скорость одного из осколков
массы m1 возросла в направлении движения до величины
v1. Определить скорость второго осколка.
1. Объект движения (граната):
2. Объект – свободная система, связи и их реакции
отсутствуют.
3. Добавляем активные силы:
4. Записываем теорему
об изменении количества
движения:
dQ e
R G1 G2 .
dt
Проецируем на ось : dQ
τ
m1 g cos m2 g cos 0.
dt
11

12.

Разделяем переменные и интегрируем :
Q
t
Q0
0
dQτ (m1 g cos m2 g cos )dt 0.
Правый интеграл практически равен нулю, т.к. время
взрыва t<<1.
Отсюда закон сохранения :
Mv m1v1
v2
v2 .
Qτ Qτ 0 0 или Qτ 0 Qτ .
Mv m1v1 m2 v2 .
m2
Теорема Эйлера – Применение теоремы об изменении
количества движения системы к движению сплошной
среды (воды) .
12

13.

1.Выбираем в качестве объекта движения
объем воды, находящийся в криволинейном канале турбины:
2. Отбрасываем связи и заменяем их действие реакциями
(Rпов – равнодействующая поверхностных сил)
3. Добавляем активные силы
(Rоб – равнодействующая объемных сил):
4. Записываем теорему об изменении
количества движения системы:
Изменение количества движения
воды в интервале времени [t0,t1] :
Q Q1 Q0 QCD QAB .
dQ
Rîá Rïîâ .
dt
Q0 QAB QBC .
Q1 QBC QCD .
dQAB ( F1v1dt )v1;
Изменение количества движения воды
за бесконечно малый интервал времени dt: dQ ( F v dt )v .
CD
2 2
2
, где dQ dQCD dQAB
13

14.

Принимая произведение плотности, площади
поперечного сечения и скорости за секундную массу
получаем:
M сек F1v1 F2v2 ,
dQAB ( M ñåêdt )v1 ; dQ Ì
dQCD ( M ñåêdt )v2 .
ñåê( v2 v1 )dt .
Подставляя дифференциал количества движения системы
в теорему об изменении получаем: Ì ñåê( v2 v1 ) Rîá Rïîâ
В проекциях на оси: ( x) : М сек (v2 x v1x ) Rxоб Rxпов ;
( y ) : М сек (v2 y v1 y ) R yоб R yпов ;
( z ) : М сек (v2 z v1z ) Rzоб Rzпов .
Разность проекций векторов секундных количеств
движения жидкости на ось равна сумме проекций
главных векторов объемных и поверхностных сил на
ту же ось.
14
.

15.

Второй закон Ньютона в импульсной
форме:
Импульс силы равен
изменению импульса
тела.
Импульс - векторная величина. Он
всегда совпадает по направлению с
вектором скорости.
15

16.

Если два или несколько тел
взаимодействуют только между собой
( не подвергаются воздействию
внешних сил), то эти тела образуют
замкнутую систему.
Импульс каждого из тел, входящих в
замкнутую систему может меняться в
результате их взаимодействия друг с
другом.
Для описания существует очень важный
закон – закон сохранения импульса.
16

17. Закон сохранения им пульса:

Векторная сумма
импульсов
замкнутой
системы тел не
изменяется.
17

18.

18

19. Абсолютно упругий удар — модель соударения, при которой полная кинетическая энергия системы сохраняется

1.одинаковые тела обмениваются проекциями
скорости на линию, соединяющую их центры.
2. скорости тел различной массы зависят от
соотношения масс тел.
19

20.

Для математического описания
простейших абсолютно упругих ударов,
используется:
закон сохранения импульса
закон сохранения энергии
абсолютно упругий удар
тел равных масс
абсолютно упругий удар
тел не равных масс
Импульсы складываются векторно, а энергии скалярно!
20

21. Центральный абсолютно упругий удар

Когда оба шара имеют одинаковые массы (m1 = m2),
первый шар после соударения останавливается (v1 =
0), а второй движется со скоростью v2 = v1, т. е. шары
обмениваются скоростями (импульсами)
Центральным ударом шаров называют соударение,
при котором скорости шаров до и после удара
направлены по линии центров.
21

22. После нецентрального упругого соударения шары разлетаются под некоторым углом друг к другу

Если массы шаров одинаковы, то векторы
скоростей шаров после нецентрального
упругого соударения всегда направлены
перпендикулярно друг к другу
22

23.

23

24. Абсолютно неупругий удар — удар, в результате которого компоненты скоростей тел становятся равными

m1 1 m2 2 (m1 m2 )
При абсолютно неупругом ударе, выполняется закон сохранения
импульса, но не выполняется закон сохранения механической
энергии (часть кинетической энергии соударямых тел, в
результате неупругих деформаций переходит в тепловую)
24

25. Реактивное движение

—
это движение, которое
возникает при отделении
от тела некоторой его
части с определенной
скоростью.
Особенностью этого движения является
то, что тело может ускоряться и
тормозить без какой-либо внешней
взаимодействия с другими телами.
25

26.

Реактивное движение, например,
выполняет ракета.
Продукты сгорания при вылете получают
относительно ракеты некоторую скорость.
Согласно закону сохранения импульса, сама
ракета получает такой же импульс, как и газ,
но направленый в другую сторону. Закон
сохранения импульса нужен для расчета
скорости ракеты.
26

27.

ЗАДАЧА:
С какой
скоростью
будет двигаться
ракета, если
средняя
скорость
выхлопных газов
1 км/с, а масса
горючего
составляет 80%
от всей массы
ракеты?
До запуска ракеты
Mрυр=0, mгυг=0
После запуска
мрυр
mг υ г
27

28. Реактивное движение в живой природе:

Реактивное движение присуще медузам,
кальмарам, осьминогам и другим живым
организмам.
28

29.

Реактивное движение можно обнаружить и в
мире растений. В южных странах и на нашем
побережье Черного моря произрастает растение
под названием «бешеный огурец» . При созревании
семян внутри плода создается
высокое давление в
результате чего плод
отделяется от подложки,
а семена с большой силой
выбрасываются наружу.
Сами огурцы при этом отлетают в
противоположном направлении. Стреляет
«бешеный огурец» более чем на 12 метров.
29

30.

В технике реактивно
движение встречается
на речном
транспорте
(катер с
водометным
двигателем),
в авиации,
космонавтике,
военном деле.
30

31.

Легкий шар движущийся со скоростью 10 м/с, налетает на
покоящийся тяжелый шар и между шарами происходит
абсолютно упругий удар. После удара шары разлетаются в
противоположные стороны с одинаковыми скоростями. Во
сколько раз различаются массы шаров
Решение:
2
1
1 1 2
m1 1 m2 2 m1 1 m1 1 1 m2 2
2
2
2
m
m
m
1 1 1 1 2 2 m 2 2 m 2
1 1
1
2 2
2
2
2
m2 1 1
3
m1 1 1 m2 2 m
1
2
1
2
1
2
31

32.

Брусок массой 600 г, движущийся со скоростью 2 м/с,
сталкивается с неподвижным бруском массой 200 г.
Определите изменение кинетической энергии первого
бруска после столкновения. Удар считать
центральным и абсолютно упругим.
Решение:
m1 1 m1 1 m2 2 m1 1 1 m2 2
1 1 2
m1 12 m1 1 2 m2 2 2
2
2
2
m1 1 1 m2 2
2
2
2
m m2 1 1 м E m1 2 2 0,9 Дж
1 1
k1
1
1
m1 m2
с
2
32

33.

Два шарика массы которых соответственно 200 г и
600 г, висят, соприкасаясь, на одинаковых вертикальных
нитях длиной 80 см. Первый шар отклонили на угол 90°
и отпустили. Каким будет отношение кинетических
энергий тяжелого и легкого шариков тотчас
после их абсолютно упругого центрального удара.
Решение:
m1 12
м
m1 gl 1 2 gl 4
2
с
2 1 1
m 1 3m 2 m 1 m 1 1 3m 2
2
2
2
m
m
3
m
2
2
2
1
2
1
m 1 1 3m 2
2
2
2
2
m 1 1 3m 2
1
м
Ек 2 3m 2
3 4
3
2
3
1
1
1
1
1
2
2
с
Е к1
4
m 1
2 1 1
33

34.

Шарик массой 100 г, летящий горизонтально со
скоростью 5 м/с, абсолютно упруго ударяется о
неподвижный шар массой 400 г, висящий на нити
длиной 40 см. Удар центральный. На какой угол
отклонится шар , подвешенный на нити после удара
Решение:
l h
h
cos
1
l
l
2 2
cos 1
2
2g
h 2
2g
m1 1 m2 2 m1 1 m1 1 1 m2 2
2 1 1 1 1 2
m1 12 m1 1 2 m2 2 2
2
2
2
m1 1 1 m2 2
2
2
2
1 1 2
2m1 1
м
2
cos 0,5 60
2
m
m
m
m
с
2 2
1 1 1
1
2
34