Общие теоремы динамики точки

1.

ЛЕКЦИИ ПО ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ.
ДИНАМИКА
ЛЕКЦИЯ 5

2. Цель лекции

Ознакомиться с общими теоремами динамики
материальной точки и примерами их практического
применения.
План лекции
Введение
• Теорема об изменении импульса точки
• Теорема об изменении момента импульса точки
• Движение в центральном поле
• Теорема об изменении кинетической энергии точки
• Работа силы. Потенциальные силы
Заключение
2
Цель лекции

3. ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ ТОЧКИ

теоремы об изменении …
импульса
момента импульса
кинетической энергии
Зачем нам нужны теоремы для точки?
оптимальная
методика решения
задач
3
Введение
на основе теорем
динамики для точки
мы построим
динамику
механической системы

4. ИМПУЛЬС ТОЧКИ

Импульс (количество движения) точки - вектор,
равный произведению массы точки на вектор
ее скорости
P mv
4
Теорема об изменении импульса
v P

5. ИМПУЛЬС СИЛЫ

Элементарным импульсом
силы называется вектор,
равный произведению силы
на элементарный промежуток
времени
Импульсом силы за
конечный промежуток
времени называется
вектор
5
Теорема об изменении импульса
dS Fdt
t
S Fdt
0

6. ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ ИМПУЛЬСА

Производная по времени от импульса
материальной точки равна равнодействующей
приложенных к точке сил
Изменение импульса материальной точки за
некоторый временной интервал равно
импульсу равнодействующей приложенных к
точке сил на этом интервале
6
Теорема об изменении импульса

7. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

• Запишем
дифф. уравнение движения точки
• Учитывая
постоянство массы точки и
определение ее ускорения
d
(mv ) Fi R ,
dt
i 1
dv
a
,
dt
N
получим
или
dP
R
dt
• Умножив
обе части уравнения на элементарный промежуток
времени и проинтегрировав, получим
tк
dP Rdt
tк
tн
tн
7
Теорема об изменении импульса
или
tк
Pк Pн Rdt
tн
Теорема доказана

8. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ИМПУЛЬСА

Fi 0.
N
• Пусть
i 1
В этом случае
dP
0 , P const
dt
Если равнодействующая приложенных к материальной
точке сил равна нулю, то импульс точки сохраняется во
все время движения
Если проекция на какую-нибудь ось равнодействующей
приложенных к точке сил равна нулю, то проекция
импульса точки на эту ось сохраняется
8
Теорема об изменении импульса

9. ПРИМЕР

n
Определить время
движения точки до
остановки
v0
N
?
tк
Pк Pн Fi dt
m
i
mg
tн
tк
Pк Pн N mg dt
tк
tн
Pн mg sin dt
tн
9
Теорема об изменении импульса
mv0 mg sin tк
tк v0 / g sin

10. МОМЕНТ ИМПУЛЬСА ТОЧКИ

Момент импульса
(момент количества движения) точки вектор, определяемый
KO r mv
равенством
r
- радиус-вектор точки, проведенный из
центра O
MO ( F ) r F
10
Теорема об изменении
момента импульса

11. МОМЕНТ ИМПУЛЬСА ТОЧКИ

KO
KO r mv r P
O
KO mvh
r
h
P
11
Теорема об изменении
момента импульса

12. ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ МОМЕНТА ИМПУЛЬСА

Производная по времени от момента
импульса материальной точки
относительно некоторого неподвижного
центра равна моменту равнодействующей
приложенных к точке сил относительно
этого же центра
12
Теорема об изменении
момента импульса

13. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

• Запишем теорему об изменении
импульса точки
d
( mv ) R ,
dt
• Умножим обе части уравнения векторно на радиус-вектор точки
d
r ( mv ) r R M O (R)
dt
d
Рассмотрим выражение
( r mv )
dt
d
dr
r ( mv )
mv
dt
dt
dK
• Таким образом,
13
Теорема об изменении
момента импульса
O
dt
M O (R)
• Теорема доказана

14. ПРОЕКЦИИ МОМЕНТА ИМПУЛЬСА

K x m( yv z zv y )
K y m( zv x xv z )
K z m ( x v y yv x )
dK x
M x (R )
dt
14
Теорема об изменении
момента импульса
dK y
dt
dKO
M O (R)
dt
M y (R)
dK z
M z (R )
dt

15. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ МОМЕНТА ИМПУЛЬСА

M O ( Fi ) 0.
N
• Пусть
i 1
В этом случае
dKO
0 , KO const
dt
Если момент равнодействующей приложенных к
материальной точке сил относительно какого-либо центра
равен нулю, то момент импульса точки сохраняется
M x ( Fi ) 0
N
i 1
15
Теорема об изменении
момента импульса
dK x
0 , K x const
dt

16. ДВИЖЕНИЕ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ЦЕНТРАЛЬНОЙ СИЛЫ

F
Действующую на материальную точку точку
силу называют центральной, если она
всегда направлена к некоторому
неподвижному центру.
Пример
16
Теорема об изменении
момента импульса
?

17. ДВИЖЕНИЕ ПЛАНЕТ

F
Как изменяется модуль скорости планеты при
движении по эллиптической траектории
17
Теорема об изменении
момента импульса
?

18. ДВИЖЕНИЕ ПЛАНЕТ

Определим
закон изменения
площади сектора d .
dKO
M O ( F ) 0.
dt
F
ds
KO const
модуль
18
Теорема об изменении
момента импульса
O
направление
?

19. ДВИЖЕНИЕ ПЛАНЕТ

F
KO const
O
h
mvh const
ds
m h const
dt
19
Теорема об изменении
момента импульса
ds
d
const
dt
v

20. ДВИЖЕНИЕ ПЛАНЕТ

d
const
dt
Каждая планета движется в плоскости,
проходящей через центр Солнца, причём за
равные промежутки времени радиус-вектор,
соединяющий Солнце и планету, описывает
равные площади
20
Теорема об изменении
момента импульса

21. ДВИЖЕНИЕ ПЛАНЕТ

d
const
dt
Иоганн Кеплер (1571 - 1630)
21
Теорема об изменении
момента импульса

22. КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ ТОЧКИ-

скалярная величина, равная половине
произведения массы точки на квадрат ее
скорости
T mv / 2
2
22
Теорема об изменении энергии

23. РАБОТА СИЛЫ

F
F const
const
S
23
Теорема об изменении энергии
траектория точки –
прямая
F
A F s

24. РАБОТА СИЛЫ

F
A F(s) ds F(s) ds cos
ds
F
ABC
BC
B
C
24
Теорема об изменении энергии
F(s) ds

25. РАБОТА СИЛЫ

Элементарная работа силы –
величина, равная скалярному произведению
вектора силы на вектор элементарного
перемещения
A F(s) ds
Работа силы на конечном перемещении –
интеграл от элементарной работы, взятый
вдоль этого перемещения A F(s) ds
BC
BC
25
Теорема об изменении энергии

26. ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ ЭНЕРГИИ

Изменение
кинетической энергии точки
на некотором перемещении равно сумме
работ всех действующих на нее сил на
этом же перемещении
26
Теорема об изменении энергии

27. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

Запишем дифф. уравнение движения точки
ma Fi .
i
Спроектируем его на тангенциальную ось
ma Fi .
i
Представим тангенциальное
ускорение в виде
и учтем, что проекция силы
dv dv ds
dv
a
v ,
dt ds dt
ds
Fi Fi cos .
dv
mv Fi cos .
ds
i
27
Теорема об изменении энергии

28. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

Умножим обе части уравнения на элементарное перемещение и
проинтегрировав, получим
mvdv Fi cos ds,
i
mvdv F cos ds,
i
BC
mvC2 mvB2
Fi cos ds,
2
2
i BC
Теорема доказана
28
Теорема об изменении энергии
i
BC

29. ПРИМЕР

А
m
B
29
Теорема об изменении энергии
vB
Бусинка двигается по проволоке,
изогнутой в форме полуокружности.
Определить ее скорость в точке B, если в
начальный момент она находилась в
покое. Трением пренебречь.

30. ПРИМЕР

vB ?
f 0
vA 0
N
А m
ds
• Будем считать бусинку
материальной точкой
mg
vB
B
30
Теорема об изменении энергии
• Изобразим силы, действующие
на нее в некоторый момент
времени …
• … и элементарное перемещение

31. ПРИМЕР

N
• Запишем теорему об изменении
кинетической энергии
А
mvB2 mvA2
A( N ) A(mg )
2
2
A( N ) N cos ( / 2) ds 0
ds
mg
AB
vB
A( mg ) mg cos ( ) ds
AB
B
/2
ds R d
A(mg ) 2 mg sin ( ) R d 2mgR cos (0) 2mgR
0
31
Теорема об изменении энергии

32. ПРИМЕР

N
Согласно теореме
А
mvB2
2mgR
2
ds
vB 4 gR
mg
vB
B
Замечание
A(mg ) 2mgR
Можно ли получить этот результат более простым способом?
32
Теорема об изменении энергии

33. ПОТЕНЦИАЛЬНЫЕ СИЛЫ

Градиентом называется
вектор с компонентами
/ x
/ y
/ z
Сила называется потенциальной
(консервативной), если ее можно
представить в виде градиента некоторой
скалярной функции, называемой
потенциалом
33
Теорема об изменении энергии
F

34. ПОТЕНЦИАЛЬНЫЕ СИЛЫ

Работа потенциальной силы не зависит от
формы траектории точки и закона ее
движения и определяется только
начальным и конечным положением точки
F
i
j
k
x
y
z
B B
A( F ) F ds
i
j
k dxi dyj dzk
x
y
z
A
A
B
B
A( F )
dx
dy
dz d B A
x
y
z A
A
34
Теорема об изменении энергии

35. ПОТЕНЦИАЛЬНЫЕ СИЛЫ. ПРИМЕР

z
Попробуем построить потенциал
для силы тяжести
mg
y
x
0,
x
F
i
j
k
x
y
z
F mgk
0,
y
mg.
z
mgz
35
Теорема об изменении энергии

36. ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ

Замечание
Потенциал определяется с точностью до некоторой не зависящей
от координат постоянной
( C )
Потенциальной энергией точки, находящейся
под действием консервативной силы,
называется величина П
Пусть F
B
A( F ) F ds B A П А П B П
A
A( F ) П
36
Теорема об изменении энергии

37. ПОЛНАЯ МЕХАНИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ

Запишем теорему об изменении кинетической энергии для точки,
находящейся под действием потенциальной силы
Tк Tн A( F ) ( Пк Пн )
Tк Пк Пн Tн
Для точки, находящейся под действием
потенциальной силы, можно ввести полную
механическую энергию как сумму ее
потенциальной и кинетической энергий.
При движении точки она сохраняется.
Если на точку действует несколько потенциальных сил
37
Теорема об изменении импульса
П i

38. РАБОТА ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ СИЛ

z
mgz С
h
П mgz С
mg
x
y
A(mg ) mgh
A(mg ) П
mgzн mgzк mg zн zк
k
2
2
A( Fупр ) lн lк
2
38
Теорема об изменении энергии

39. ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ

1. Какие из уравнений динамики точки записываются в
виде векторных уравнений, а какие – скалярных?
2. Что такое импульс материальной точки?
3. Как определяется импульс силы за конечный
промежуток времени?
4. При каких условиях количество движения системы не
изменяется?
5. Как определяется и момент количества движения точки?
6. Чему равна проекция момента количества движения
точки относительно центра на ось?
39
Заключение

40. ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ

7. Как происходит движение материальной точки под
действием центральной силы? Как формулируется закон
Кеплера?
8. Как определяется работа постоянной силы на
прямолинейном перемещении точки, к которой она
приложена? А если сила переменная и точка
перемещается по кривой?
9. Что понимают под элементарной работой силы и как она
связана с работой силы на конечном перемещении точки,
к которой она приложена? Когда элементарная работа
равна нулю?
40
Заключение

41. ТЕМА СЛЕДУЮЩЕЙ ЛЕКЦИИ

Динамика механической
системы
41
Заключение