Знаходження оберненої матриці

1. Знаходження оберненої матриці

Квадратна матриця А називається невиродженою,
якщо визначник det A 0 В протилежному випадку
матриця А називається виродженою.
Оберненою матрицею по відношенню до даної невиродженої
квадратної матриці A n - ного порядку, називається матриця, яка,
помножена ліворуч, і праворуч на дану матрицю, дає одиничну
матрицю.
Обернена матриця позначається символом А-1. Таким чином,
відповідно визначення: АА-1=А-1А=Е.
1
A
A A
A det A 0 A
det A
T
1
Транспонована
матриця
Приєднана матриця
отримується
Якщо визначник матриці
отримується
з матриці
шляхом заміни
кожногоА елементу
дорівнює нулю, то обернена
т на його
шляхом
заміни
рядків
матриці А
алгебраїчне
матриця не існує
відповідними
стовпцями
доповнення

2.

1
A
A
det A
1
1 A11
A
det A A12
1
A11
1
1
A
A12
det A
A13
A21
A22
A21
A22
A23
A31
A32
A33

3.

Приклад. Знайти матрицю обернену до матриці:
3 2 5
А 4 2 0
1 1 2
Знаходимо матрицю
1
A
.
Визначник матриці A:
3 2 5
det A 4 2
1 1
Оскільки
.
det A 0 , матриця
A
0 14
2
має обернену матрицю
1
A
.

4.

Обчислюємо алгебраїчні доповнення елементів матриці
A:
,
A11
2 0
1 2
A12
A13
4
A21
2 5
1
2
9 A31
1 1
4 0
8 A22 3 3 0
1 2
4 2
1 1
2
A23
3 2
1 1
1
1 A33
A A E
Бажано зробити перевірку .
,
A32
2 5
2
0
3 5
4
0
3 2
4 2
10
20
2

5.

Одержуємо обернену матрицю
A 1
4 9 10
1
1
A
8
11
20
14
2
1
2

6.

9
4
10
14
14
3 2 5 14
20
A A 1 4 2 0 8
11
14
14
14
1 1 2
2
1
2
14
14
14
12 16 10
14 14 14
16 16
0
14 14
4 8 4
14 14 14
27 22 5 30 40 5
14. 14 14 14 14 14 1 0 0
36 22
40 40
0 0 0 1 0 E
14 14
14 14
0
0
1
9 11 2 10 20 4
14 14 14 14 14 14
Обернена матриця знайдена вірно

7. Метод оберної матриці розв'язання систем лінійних рівнянь

Метод оберної матриці розглянемо на прикладі
розв'язання квадратної системи 3 порядку.
a11 x1 a12 x 2 a13 x 3 b1
a 21 x1 a 22 x 2 a 23 x 3 b 2
a x a x a x b
32 2
33 3
3
31 1
Запишемо цю систему в матричному вигляді. Позначимо:
a11 a12
A a 21 a 22
a
31 a 32
a13
a 23
a 33
x1
X x2
x3
b1
B b2
b3
Основна матриця
Матриця - стовпець Матриця - стовпець
системи вільних членів
невідомих

8. Метод оберної матриці розв'язання систем лінійних рівнянь

Тоді систему можна записати так:
a11 a12
A X a 21 a 22
a
31 a 32
a13 x1 a11 x1 a12 x 2 a13 x 3 b1
a 23 x 2 a 21 x 1 a 22 x 2 a 23 x 3 b 2
a x a x a x b
a 33 x 3 31 1
3
32 2
33 3
A X B
Знайдемо розв'язок системи у матричному вигляді.
Нехай det A відмінний від нуля, тобто, існує обернена матриця А-1.
Помножимо ліворуч матричний запис системи на обернену
матрицю:
A 1 A X A 1 B
E X A 1 B X A 1 B
Метод оберненої матриці застосовується для розв'язання
квадратних систем з невиродженою головною матрицею.

9. Метод оберної матриці розв'язання систем лінійних рівнянь

Розв'язати систему методом оберненої матриці.
3 x 2 x 3 1
2x1 4 x 2 x 3 2
2x 2x 3
2
1
X A 1 B
1 0 .5
1
1
A 1 1
1
2
3
3
0 3 1
A 2 4 1
2 2 0
x1
X x2
x3
1
B 2
3
1
B 2
3
-0,5
2
-5
0 .5
X 2
5