Вища математика. Лекція 1. Матриці: означення, властивості, дії над ними

1. Вища математика

Лекція 1
Тема: Матриці: означення,
властивості, дії над ними
Авдєєва Тетяна Василівна

2. Матриця

Числова (всі елементи є числами)
Функціональна матриця (серед
елементів є функції)
Матрична матриця (елементами є
матриці однакової розмірності)
1 2
A2
3 0
x sin x 1
B2 3
0
e x
2
1 3 2 2 1 5
M 1 3
1 2 0 1 2 7

3. Розмірність матриці

– кількість
рядків та кількість стовпців
1 0 2
A2 3
3 2 1
An k
1
2
x
B3 1 x 1 1
0
2
3

4. Елементи матриці

aij
i
Рядок
j
Стовпець
2 7
A3 2 3 0
1 4
a21 3
a32 4
a12 7
a22
a31
a11

5. Елементи головної діагоналі

a11 a12
a21 a22
An
... ...
a
n1 an 2
a11 a12
a21 a22
An k
... ...
a
n1 an 2
... a1n
... a2 n
... ...
... ann
a13
a23
...
an 3
... a1k
... a2 k
... ...
... ank
aii
0
7
6
1
2
5 8
3
A4
5 9 3 0
2 6 11 4
a11 1
a22 2
a33 3
a44 4

6. Види матриць

An k T
* * *
*
*
*
* * *
Квадратна n k
Прямокутна
* * * * *
*
*
*
*
*
n k
Вектор – стовпчик
k 1
Вектор – рядок
n 1
* * *
* *
*
*
* *
*
*
*
*

7. Види матриць

An k T
Верхня трикутна
aij 0, i j
Нижня трикутна
aij 0, i j
Діагональна aij 0,
Скалярна
i j
aij 0, i j ,
aii b
Трапецієвидна
aij 0, i j
*
0
0
0
*
0
0
0
0
*
0
0
0
0
*
0
*
*
0
0
0
0
0
*
*
*
*
0
b
0
0
0
*
*
*
*
0
b
0
0
*
*
*
*
*
0
0
b
0
0
0
0
b
0
*
*
*
*
0
0
*
*
*
0
0
0
*
*
0
0
0
0
*
* * * * *
0
*
*
*
*
0 0 * * *

8. Види матриць

An k T
Нульова матриця
aij 0, i, j
Одинична матриця
aij 0, i j ,
aii 1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
1 0
E2
0 1
1 0 0
E3 0 1 0
0 0 1
1
0
E4
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
1
0
E5 0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1

9. Сума двох матриць

Додавати можна тільки матриці однакової розмірності
Сумою двох матриць однакової розмірності
називається матриця, елементи якої є сумою
елементів, що стоять на однакових позиціях
A B C,
cij aij bij
1 4 2 0 3 1 1 1 3
3 2 3 2 1 5 5 3 2
8 1 4 5 4 6
4 0 3 2 1 2

10. Властивості додавання матриць

A B B A
A B C A B C
A 0 0 A A
A ( A) 0
комутативність додавання
асоціативність додавання
існування нульової матриці
існування протилежної
матриці

11. Множення матриці на число

Для того, щоб помножити матрицю на число,
необхідно кожний елемент матриці помножити
на це число
a11
a 21
An k a31
...
a
n1
a12
a 22
a 23
...
an 2
a13
a 23
a33
...
an3
....
...
...
...
...
a1k a11
a 2 k a 21
a3k a31
... ...
a nk a n1
a12
a 22
a 23
a13 .... a1k
a 23 ... a 2 k
a33 ... a3 k
...
a n 2
...
a n 3
... ...
... a nk

12. Властивості множення матриці на число

13. Множення матриці на матрицю

14. Множення матриці на матрицю

0 5
0 2 5 1
2 3 7
2 2 3 1
2 3
1 0 1 4 0 1 2 0 1
0 3 5 4
0 7 5 0 5 20 0
2 3 3 4
2 7 3 0 7 18 14
1 3 0 4 1 7 0 0 2 3 7
0 5
2 0 3 2 7 1 2 5 3 3 7 0 1 19
2 3 7
2 3
1 4 0
1 0 4 2 0 1 1 5 4 3 0 0 8 17
1 0

15. Властивості операції множення матриць

асоціативність множення
некомутативність множення
існування одиничної матриці
(для квадратних матриць)
Дистрибутивність
Дистрибутивність

16. Транспонування матриці

B A
T
a11 a12
a22
a
An k 21
... ...
a
n1 an 2
bij a ji
a13
a23
...
an 3
... a1k
... a2 k
... ...
... ank
a11
a12
AkT n a13
...
a
1k
2 T
C 2 1 0 3
1
C
0
1 4 5 7
A
3
2 3 0 1
a21
a22
a23
....
a2 k
...
...
...
...
...
an1
an 2
an 3
...
ank
1 2
4 3
T
A
5 0
7 1

17. Властивості операції транспонування

18. Обернена матриця

Увага!!! Не для кожної матриці існує обернена матриця