Замена переменной и формула интегрирования по частям в определенном интеграле

1.

Рассмотрим правило замены переменной и
интегрирование
по
частям
в
определенном интеграле.
Сформулируем две теоремы.

2.

Пусть функция φ(t) имеет непрерывную
производную на [α,β], где φ(α)=a, φ(β)=b и
функция f(x) непрерывна в каждой точке
х=φ(t), где
t ,
Тогда справедливо равенство:
b
f ( x)dx f (t ) (t )dt
a

3.

Пусть
F(x)
и
Ф(х)
–
первообразные для функций
f ( x) и
некоторые
f (t ) (t )
Ранее было доказано, что функция F (t )
тоже является первообразной для
f (t ) (t )
Тогда
по
следствию
из
теоремы
Лагранжа найдется такое число С, что
Ф(t ) F (t ) C

4.

Поэтому
Ф( ) Ф( ) F ( ) C F ( ) C
F (b) F (a )
Отсюда по формуле Ньютона-Лейбница
b
f ( x)dx f (t ) (t )dt
a

5.

Как
и
в
случае
неопределенного
интеграла замена переменной во многих
случаях позволяет свести интеграл к
табличному.
В
этом
случае
не
обязательно
возвращаться
к
исходной
переменной
интегрирования.
Достаточно
найти
пределы
интегрирования
новой
переменной как решения уравнений
(t ) a (t ) b

6.

На
практике,
переменной,
выражение
выполняя
замену
часто
указывают
t (x)
новой переменной через старую. В
этом
случае
нахождение
пределов
интегрирования
по
переменной
t
упрощается:
(a) (b)

7.

Вычислить определенный интеграл
x 2 x dx
1
0
2 5

8.

2 x2 t
dt 2 xdx
x 2 x dx x 0,
1
2 5
0
t 2
x 1, t 1
1
6 1
1 5
1t
t dt
22
2 6
2
1 64 1 21
2 6 6 4

9.

Пусть функции u=u(x) и v=v(x) имеют
непрерывные производные на [α,β], тогда
b
udv u v
a
где
b
b
a
v du
a
u v a
b
u (b) v(b) u (a ) v(a )

10.

Так как
u v
то функция
u v u v
u v
является первообразной для функции
u v u v
Тогда по формуле Ньютона-Лейбница:

11.

u v a
b
b
(u v u v )dx
a
b
b
a
a
u vdx u v dx
b
udv u v
a
b
b
a
v du
a

12.

Вычислить определенный интеграл
1
ln( 1 x)dx
0

13.

ln( 1 x) u
1
1
du
dx
0 ln( 1 x)dx dv1 dxx
v x
1
1
1
x
x ln( 1 x) 0
dx
1 x
0
1
1
1
1
ln 2
dx dx ln 2 ln 1 x 0 x 0 2 ln 2 1
1 x
0
0