Интегрирование по частям в определенном интеграле. Замена переменных при вычислении определенного интеграла. (Семинар 18)

1.

Семинар 18.
Интегрирование по частям в определенном интеграле.
Замена переменных при вычислении определенного интеграла.
Приложения определенного интеграла.

2.

Интегрирование по частям в определенном интеграле
Пусть u(x) и v(x) непрерывные дифференцируемые функции на
отрезке [a,b]. Имеем d[u(x)v(x)]=v(x)du(x)+u(x)dv(x). Интегрируя, это
равенство в пределах от a до b и учитывая, что du(x)=u’(x)dx и
dv(x)=v’(x)dx находим
b
b
a
a
u ( x)v( x) |ba v( x)u ' ( x)dx u ( x)v' ( x)dx
Отсюда получаем формулу интегрирования по частям в определенном
интеграле
b
b
u( x)v' ( x)dx u(b)v(b) u(a)v(a) v( x)u' ( x)dx
a
a
(1)
b
Для краткости употребляется выражение u (b)v(b) u (a)v(a) u ( x)v( x) | a

3.

Замена переменной в определенном интеграле
Пусть дан определенный интеграл
b
f ( x)dx
(1), где f(x) непрерывна на отрезке [a,b].
a
Ввели новую переменную t, связанную с х соотношением x (t ), ( t ) (2)
(t ) непрерывная дифференцируемая функция на отрезке [ , ]
Если при этом
1) При изменении t от до переменная х меняется от a до b, то есть
( ) a, ( ) b (3)
2) Сложная функция f ( (t )) и непрерывна на отрезке [ , ]
b
Тогда справедлива формула
f ( x)dx f ( (t )) ' (t )dt
a

4.

Приложения определенного интеграла
Определенный интеграл можно применять в следующих задачах:
•вычисление площадей, ограниченных некоторыми линиями;
•вычисление длин дуг линий;
•вычисление объемов тел по известным площадям поперечных сечений;
•вычисление объемов тел вращения;
•вычисление поверхностей тел вращения;
•вычисление координат центра тяжести плоской фигуры;
•вычисление моментов инерции линии, круга, цилиндра и т.д.
Площадь в прямоугольных координатах
Задача 1 Найти площадь S криволинейной трапеции aABb, ограниченной
данной непрерывной линией y=f(x), отрезком [a,b] оси ОХ и двумя
вертикалями x=a и x=b, если f ( x) 0, x [a, b].
b
Для вычисления площади применяется формула S ydx (1)
a
где y=f(x) – данная функция

5.

Площадь в полярных координатах
Задача 2 Найти площадь S сектора OAB, ограниченного данной
непрерывной линией f ( ) и двумя лучами ; , где , полярные координаты.
Для вычисления площади применяется формула
1
S 2 d , где f ( ) - данная функция
2
Примеры с решениями
2
2
2
1. x sin xdx {u x; du dx; dv cos xdx; v sin x} x sin x |0 sin xdx 2 sin 2 0 sin 0 cos x |0 0
0
3
2
2
x
1
x
dx
{
t
1
x
;
x
t
1
;
dx
2
tdt
;
x
0
t
1
;
x
3
t
2
}
(
t
1) t 2tdt
2
2.
0
1
t5 t3 2
31 1 8 1 62 14
11
2( ) |1 2(
)
7
5 3
5
3
5
3
15
r
3. r 2 x 2 dx {x r sin t; dx r cos tdt; x 0 t 0; x r t / 2}
0
/2
0
r r sin t r cos tdt r
2
2
2
2
cos
0
2
tdt

6.

4. Вычислить площадь, ограниченную параболой y x 1 и прямой x+y=3.
Решение
Отрезок интегрирования [ 2;1] , так как точки пересечения линий
y x2 1
x1 2; x2 1 определяются при решении системы уравнений
x y 3
На основании формулы (3) находим
2
1
1
x2 x3 1
1
1
1
S [(3 x) ( x 1)]dx (2 x x )dx (2 x
) | 2 2(1 2) (1 4) (1 8) 4
2
3
2
3
2
2
2
2
2
2
2
x
y
5. Найти площадь области, ограниченной эллипсом 2 2 1
a
b
В виду симметрии можно ограничиться вычислением ¼ площади.
Решение
Отрезок интегрирования [0; a ]
b 2
1
y
a x 2 ; S a 2 x 2 dx {x a sin t; dx a cos tdt; x 0 t 0; x a t }
a
4
2
0
a
2
2
2
b
ab
ab
1
ab ab
2
2
2
2
2
a
a
sin
a
a
cos
tdt
ab
cos
tdt
(
1
cos
2
t
)
dt
(
t
sin
2
t
)
|
0
a0
2 0
2
2
2 2
4
0
Тогда S ab.

7.

6. Найти площадь, ограниченную кардиоидой a(1 cos )
Решение. Составляя таблицу значений, получим
5
2
0
6
3
6
3
2
2a
a
0,5a
1,9a
0,1a
1,5a
0
1
1
S 2 d S 2 d a 2 (1 cos ) 2 d a 2 ( d 2 cos d cos 2 d )
2
20
0
0
0
0
0
1
1
1
3 2
2
a (( sin ) |0 (1 cos 2 )d ) a ( 0 ( sin 2 ) |0 )
a
20
2
2
2
2
Примеры для самостоятельного решения.
Вычислить интегралы:
3
x
1. arcsin 1 x dx
0
2
2.
dx
0 (2 cos x)(3 cos x)
1
xdx
3. x 2 x 1
1

8.

3
2
4. sin x sin 2 x sin 3xdx
7.
0
0
5
a
dx
5. 2 x 3x 1
0
1
6. arccos xdx
0
x arctgxdx
2
2
2
8. x a x dx
0
2
9.
dx
0 sin 4 x cos 4 x
1
y 5 dy
10.
y 2
1
2
2
11. Найти площадь, ограниченную параболами y 2 px и x 2 py
x
x
y
e
,
y
e
12. Вычислить площадь, ограниченную кривыми
и прямой
x 1
13. Вычислить площадь, ограниченную линиями, заданными
параметрически: x a(t sin t ), y a(sin t t cos t )(0 t 2 )(циклоида )
и y=0.
14. Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми, заданными в
p
полярных координатах:
r
(парабола), ,
1 cos
4
2