Замена переменных в определенном интеграле. Лекция 4

1. Здравствуйте!

Лекция №4

2.

Замена переменных в определенном интеграле
Теорема. Пусть
1. f (x) интегрируема на [a, b] ;
2. функция (t ) монотонно возрастает и ( ) a , ( ) b ;
3. t [ , ] (t ) .
Тогда
b
a
f ( x)dx f ( (t )) (t )dt .
Обратите внимание на пределы интегрирования во втором
интеграле.

3.

Доказательство.
Разобьем
отрезок
на
кусочки
точками
[ , ]
t0 t1 t2 ... tn 1 tn , и пусть max ti . Тогда отрезок
i
[a, b] также разобьется на кусочки точками xi (ti ) , причем
x0 (t0 ) ( ) a и xn (tn ) ( ) b .
= t0
x
0
1
t1
x
t2
x
x
a = ( ) 0 x1= (t1) 1 x2= (t2)
tn-1
n-1 tn =
x
x
xn-1= (tn-1) n-1
b = ( )

4.

Рассмотрим величины xi xi 1 xi . Для них, используя формулу
Лагранжа, имеем
xi xi 1 xi (ti 1 ) (ti ) ( i ) ti ,
где ti i ti 1.
Как говорилось в определении понятия определенного интеграла,
предел интегральной суммы не должен зависеть от выбора средней
точки. Возьмем поэтому i ( i ) . Тогда для интегральной суммы
получим
n 1
n 1
f ( ) x f ( ( )) ( ) t .
i 0
i
i
i 0
i
i
i

5.

Проделаем теперь предельный переход при max ti 0 . В силу
i
равномерной непрерывности функции (t ) на отрезке [ , ] , при этом
будет и max xi 0 . Мы получим
i
n 1
n 1
lim f ( i ) xi lim f ( ( i )) ( i ) ti ,
0
0
i 0
что и дает формулу
b
a
i 0
f ( x)dx f ( (t )) (t )dt .
Обратите внимание на следующие моменты:
1. В отличие от неопределенного интеграла здесь нет возврата к
переменной х.
2. Но зато во втором интеграле стоят другие пределы! И это есть тот
момент, о котором студенты, решая задачи, часто забывают. Так что НЕ
ЗАБЫВАЙТЕ МЕНЯТЬ ПРЕДЕЛЫ!

6.

7.

Интегрирование определенных интегралов по частям
Вспомним формулу интегрирования неопределенных интегралов
по частям
udv uv vdu .
Переходя к определенным интегралам, получим:
b
udv udv
a
b
a
b
uv a vdu
b
a
b
u (b)v(b) u ( a )v( a ) vdu .
a
Итак
b
b
a
a
udv u (b)v(b) u (a)v(a) vdu .
Эта
формула носит
название
определенных интегралов по частям.
формулы
интегрирования