Модель принятия решений. Модель объекта.
Модель принятия решений. Координатные ограничения.
Модель принятия решений. Функциональные ограничения.
Модель принятия решений. Функциональные ограничения.
Модель принятия решений. Частичная вычислимость.
Модель принятия решений. Векторный критерий эффективности.
Модель принятия решений. Оптимальность решения.
Модель принятия решений. Консервная банка.
Модель принятия решений. Консервная банка.
Модель принятия решений. Оптимальное решение
Модель принятия решений. Оптимальное решение
Модель принятия решений. Паретовское оптимальное решение.
Модель принятия решений. Слейтеровское оптимальное решение.
Метод главного критерия
Метод сверток. Линейная свертка.
Метод сверток. Линейная свертка.
Метод сверток. Линейная свертка.
Метод сверток. Линейная свертка.
Метод сверток. Линейная свертка.
Метод сверток. Линейная свертка.
Метод сверток. Линейная свертка.
Метод сверток. Свертка Гермейера.
Геометрическая интерпретация свертки Гермейера.
Свертка Гермейера. Пример.
Свертка Гермейера. Пример.
Метод уступок
Метод уступок
Многокритериальные задачи. Примеры.
Многокритериальные задачи. Примеры.
590.39K
Category: mathematicsmathematics

Модель принятия решений. Модель объекта

1. Модель принятия решений. Модель объекта.

Вектор параметров
y ( y1 , y2 , , y N )
(1)
N 1 - размерность модели
Вектор-функция характеристик
W ( y) (W1 ( y), W2 ( y), , Wn ( y))
(2)
Лучше, когда меньше.
y1
W1 ( y)
y2
W2 ( y)
ОБЪЕКТ
yN
Wn ( y )

2. Модель принятия решений. Координатные ограничения.

Координаты вектора y ( y1 , y2 , , y N ) изменяются в заданных
пределах, определяемых векторами начала и конца
a (a1 , a2 , , aN ),
где
ai , bi , 1 i N ,
b (b1 , b2 , , bN ),
(3)
- константы, причем , возможно
ai и / или bi
Гиперпараллелепипед возможных значений вектора
y
D { y R N : ai yi bi ,1 i N }
(4)

3. Модель принятия решений. Функциональные ограничения.

Задается множество индексов
G { j1 , , jm } {1, 2, , n}
(5)
qi ,1 i m.
Для характеристик W ji ( y ) с номерами ji G ставится условие
непревышения соответствующих допусков qi , т.е. вводятся
и набор допусков
функциональные ограничения
W ji ( y ) qi , ji G.
Определение. Вектор y D, удовлетворяющий неравенствам (6),
называется допустимым вектором (допустимой точкой).
(6)

4. Модель принятия решений. Функциональные ограничения.

Введем обозначения
Тогда
g i ( y ) W ji ( y ) qi , 1 i m,
(7)
gi ( y) 0, 1 i m.
(8)
Допустимая область
Q { y D : gi ( y) 0, 1 i m}.
Если
m 0
, то Q D .
(9)

5. Модель принятия решений. Частичная вычислимость.

Введем семейство вложенных множеств
Q1 D, Qi 1 { y Qi : gi ( y) 0}
(10)
Очевидно, что
Qm 1 Q и Qm 1 Qm Q2 Q1 D .
Определение. Ограничения (7) называются полностью вычислимыми,
если все функции
множестве
gi ( y), 1 i m, определены и вычислимы в
D.
Определение. Ограничения (7) называются частично-вычислимыми,
если каждая функция
gi ( y), 1 i m, определена и вычислима в
соответствующем множестве
Qi .

6. Модель принятия решений. Векторный критерий эффективности.

Зададим множество индексов
F {i1 , i2 , , ik } {1, 2, , n}
(11)
и введем вектор-функцию
f ( y) ( f1 ( y), , f k ( y)),
(12)
где
f s ( y ) Wis ( y ), is F .
(13)
Вектор-функция (12) называется векторным критерием эффективности.
В модели с частичной вычислимостью все частные критерии f s ( y),1 s k ,
могут быть определены только в области Qm 1 Q.
В общем случае допускается
G F .

7. Модель принятия решений. Оптимальность решения.

Решение оптимизационной задачи
f ( y ) min, y Q,
(14)
принимается в качестве оптимального решения в рамках сформированной
модели.

8. Модель принятия решений. Консервная банка.

r
h
y ( r , h)
r 0, h 0
V r 2h
S 2 r 2 2 rh
L 4 r h
V const
V
r2
S 2 r 2 2V / r
h
L 4 r V / r 2

9. Модель принятия решений. Консервная банка.

f (r ) ( S (r ), L(r )) min, 0 r
S (r ) 4 r
L (r ) 4
2V
0,
r2
rS 3
V
4V
, S (r ) 4 3 0
2
r
2V
V
6V
3
,
r
,
L
(
r
)
0
L
3
2
4
r
2
r
rS rL
S (r )
L(r )
rL
rS
r

10. Модель принятия решений. Оптимальное решение

f ( y) min, y Q R N
f ( y) ( f1 ( y), , f k ( y)),
Q { y D : gi ( y) 0, 1 i m}.
D { y R N : ai yi bi ,1 i N }
Что является оптимальным решением в случае противоречивости
частных критериев?

11. Модель принятия решений. Оптимальное решение

Определение 1. Точка x Q доминирует точку y Q ( x y ) , если
i,1 i k ,
f i ( x) f i ( y )
(сильное доминирование).
Определение 2. Точка x Q доминирует точку y Q ( x y ) , если
i,1 i k , f i ( x) f i ( y)
и существует номер j , 1 j k , такой, что f j ( x) f j ( y )
(слабое доминирование).

12. Модель принятия решений. Паретовское оптимальное решение.

*
*
Определение 3. Точка y Q и соответствующий ей вектор f ( y )
называются эффективными (неулучшаемыми, оптимальными по Парето),
Если y Q из условий
f i ( y ) f i ( y * ), 1 i k ,
следует, что
f ( y) f ( y* ) .
y * оптимальна по Парето, если ее нельзя улучшить в Q ни по одному
частному критерию.
Оптимальное решение – множество P всех паретовских точек.

13. Модель принятия решений. Слейтеровское оптимальное решение.

~
Определение 4. Точка y Q называется слабо эффективной (оптимальной
по Слейтеру, слейтеровской точкой), если не существует x Q такой, что
f i ( x) f i ( ~
y ), 1 i k ,
(т.е. не существует доминатора в смысле Определения 1).
Оптимальное решение – множество S всех слейтеровских точек.
Очевидно, что P S .

14. Метод главного критерия

f ( y ) min, y Q R N
f ( y ) ( f1 ( y ), f 2 ( y ), , f k ( y ))
Q1* { y1* Q : f1 ( y1* ) min f1 ( y)}
y Q
Q2* { y2* Q1* : f 2 ( y2* ) min* f 2 ( y )}
y Q1
. . . . .
Qk* { yk* Qk* 1 : f k ( yk* ) min* f k ( y )}
y Qk 1

15. Метод сверток. Линейная свертка.

f ( y ) min, y Q R N
f ( y ) ( f1 ( y ), f 2 ( y ), , f k ( y ))
k
Вектор весов
( 1 , , k ), i 0, 1 i k , i 1
k
Линейная свертка
( y ) i f i ( y )
i 1
Рассмотрим задачу
( y ) min, y Q
i 1

16. Метод сверток. Линейная свертка.

f1 ( y ) y
Пример.
( y ) min, y Q
f 2 ( y) 5 y
Q [1, 4]
( y ) y (1 )(5 y ) (2 1) y 5(1 )
f
0 ( y ) 5 y f 2 ( y ) y * 4
0.2 ( y) 4 0.6 y y* 4
1 f1 ( y)
4
0.8
0.5 ( y) 2.5 y* [1, 4]
0.8 ( y) 1.6 y 1 y* 1
1 ( y) y f1 ( y) y* 1
0.5
{4}, 0 0.5
Q * [1, 4], 0.5
{1}, 0.5 1
0.2
f 2 ( y) 0
1
1
4
y

17. Метод сверток. Линейная свертка.

Область Q в пространстве критериев : y 1 (1, 4), y 4 (4, 1), f 2 5 f1
( f ) f1 (1 ) f 2
В пространстве критериев
Рассмотрим линии уровня свертки f1 (1 ) f 2 c (*)
( y ) min, y Q
f2
означает, что надо найти наименьшее c , при котором
прямая (*) имеет общие точки с допустимой областью Q
0 ( f ) f 2 c ( f1* , f 2* ) (4, 1)
f 2 c
f 2 ( , c)
4
f 2 ( , c)
y 1
1
0 1
4
f 2 ( , c )
f 2 cmin
f 2 5 f1
c
f1
1 1
1
0
1
(1 ) 2
убывает от 0 (при 0) до (при 1)
Наклон ( )
f 2 c c
y 4
1
1 ( f ) f1 c ( f1* , f 2* ) (1, 4)
0. ( )
(4, 1), 0 0.5
Q * ( f1 , 5 f1 ), f1 [1, 4], 0.5
(1,4), 0.5 1
f1

18. Метод сверток. Линейная свертка.

f1 ( y ) 2 y1 y2
( y) f1 (1 ) f 2 (3 1) y1 (2 ) y2
f 2 ( y ) y1 2 y2
(1,2) ( y ) (3 1) 2(2 ) 3
1 y1 2
(1,3) ( y ) (3 1) 3(2 ) 5
2 y2 3
(2,2) ( y ) 2(3 1) 2(2 ) 4 2
(2,3) ( y ) 2(3 1) 3(2 ) 3 4
5 3 (1,3) не может быть минимумом
y2
3
3 4 3 (2,3) не может быть минимумом
1
точка (2,2) паретовская
3
1
4 2 3 точка (1,2) паретовская
3
1
5
( y ) y2 любая точка вида
3
3
( y1 ,2), 1 y1 2, паретовская
4 2 3
2
1
1
2
y1

19. Метод сверток. Линейная свертка.

f1 ( y ) 2 y1 y2
(1,2) (4,3)
f 2 ( y ) y1 2 y2
f1 (1 ) f 2 c (*)
(1,3) (5,5)
0 ( f ) f 2 c ( f1 , f 2 ) (6, 2)
1 ( f ) f1 c ( f1* , f 2* ) (4, 3)
*
1 y1 2
(2,2) (6,2)
2 y2 3
(2,3) (7,4)
f2
f 2 c
7
6
5
4
f 2 c
3
f 2 cmin
2
1
1
2
3
4
5
6
7
f1
*

20. Метод сверток. Линейная свертка.

y2 f1
f1 ( y ) y2
f 2 ( y ) y1 y2
y1 f1 f 2
y12 2 y22 2 y1 y2 4 y1 7 0
( f1 2) 2 ( f 2 2) 2 1
( f ) f1 (1 ) f 2 c (*)
f2
0 ( f ) f 2 c ( f1* , f 2* ) (2, 1)
1 ( f ) f1 c ( f1* , f 2* ) (1, 2)
f1 c
1
min
3
( f ) c
2
2
f 2 cm
in
1
( f ) cmin
1
2
3
f1

21. Метод сверток. Линейная свертка.

( f1 2) 2 ( f 2 2) 2 1
(1 2 2 2 ) f 22 2((1 )c 2 4 2 ) f 2 c 2 4 c 7 2 0
f1 (1 ) f 2 c
f1 (c (1 ) f 2 ) /
D 2c 2 4 2c 2 (2 2 2 3) 2 (c 2 4c 2 2 2 3) 0
c 2 1 2 2 2
(1 )( 2 1 2 2 2 ) 2 4 2
1
f2
2
1 2 2 2
1 2 2 2
f2
3
0 1
( f ) c
2
f1 ( ) 2
f 2 ( ) 2
1
( f ) cmin
1
2
3
f1
1 2 2 2
1
1 2 2 2

22. Метод сверток. Свертка Гермейера.

f ( y ) min, y Q R N
f ( y ) ( f1 ( y ), f 2 ( y ), , f k ( y ))
k
Вектор весов ( 1 , , k ), i 0, 1 i k , i 1
i 1
Свертка Гермейера ( y ) max i f i ( y )
1 i k
Пусть fi ( y) 0, 1 i k , y Q.
Решение y* ( ) задачи
( y) min, y Q,
является слейтеровским решением
многокритериальной задачи

23. Геометрическая интерпретация свертки Гермейера.

24. Свертка Гермейера. Пример.

f1 ( y ) y2
y2 f1
( f ) min max{ f1 , (1 ) f 2 }
f 2 ( y ) y1 y2
y1 f1 f 2
0 ( f ) min f 2 ( f1* , f 2* ) (2,1)
f Q f
y 2 y 2 y1 y2 4 y1 7 0 ( f1 2) ( f 2 2) 1
2
1
2
2
2
2
f2
3
Qf
f1 (1 ) f 2
2
1
1
2
3
f1
f Q f

25. Свертка Гермейера. Пример.

1/ 3 2 / 3
f1 (1 ) f 2
2
2
(
f
2
)
(
f
2
)
1
2
1
Q f {( f1 , f 2 ) : ( f1 2)2 ( f 2 2)2 1}
( f ) min max{ f1 , (1 ) f 2 }
f Q f
f1 ((1 ) / ) f 2
f2
(1 2 2 2 ) f 2 4 (1 ) f 2 7 2 0
3
Qf
2 14 2 14 3
f2
2 2 2 1
2
2(1 ) (1 ) 14 2 14 3
f1
2 2 2 1
1
2(1 ) (1 ) 14 2 14 3
f ( )
2 2 2 1
f1 (1 ) f 2
1
2
*
1
3
f1
2 14 2 14 3
f ( )
2 2 2 1
*
2

26. Метод уступок

f ( y ) min, y Q R N
f ( y ) ( f1 ( y ), f 2 ( y ), , f k ( y ))
Упорядочиваем по важности
f1 f 2 f k
f1* min{ f1 ( y) : y Q}
1 0 : f * ( 1 ) min{ f 2 ( y) : y Q, f1 ( y) f1* 1}
2

27. Метод уступок

2 0 : f 3* ( 1 , 2 ) min{ f 3 ( y) : y Q, f1 ( y) f1* 1 ,
f 2 ( y) f 2* ( 1 ) 2 }
.
.
.
.
.
k 1 0 : f k* ( 1 , k 1 ) min{ f k ( y ) : y Q, f1 ( y ) f1* 1 ,
f 2 ( y ) f 2* ( 1 ) 2 ,
. . . . .
f k 1 ( y ) f k* 1 ( 1 , k 2 ) k 1}
y k* - глобальный минимум последней задачи –
Точка
паретовская.

28. Многокритериальные задачи. Примеры.

f1 ( y ) y 2 4 y 5
f 2 ( y) y 1
1 y 4
____________________________________________________________
f1 ( y ) ( y 2 ) 2 1
f 2 ( y ) 2 y 2 8 y 12
1 y 3

29. Многокритериальные задачи. Примеры.

f1 ( y ) 2 y1 y2
f 2 ( y ) y1 2 y2
1 y1 2
2 y2 3
English     Русский Rules