Презентация_по_математике_на_тему_Дифференциальные_уравнения_c8

1. Дифференциальные уравнения

2. Рассмотрим задачи приводящие к дифференциальным уравнениям

Задача №1
Найти закон движения точки, если её
3
скорость задается v = 4t + 1
Решение:
4
4t
4
S = (4t + 1)dt =
+t +C = t +t +C
4
3
S = t +t +C
4

3. Задача №2

Составить уравнение кривой, проходящей через
точку А(2;5), если угловой коэффициент
касательной равен 2x
Решение:
y = 2 xdx = x 2 + C
y = x2 + C
5 = 4+C
C =1
y = x2 +1

4. Задача №3

Точка движется прямолинейно так , что её
ускорение a выражается a = e kt (t-время).
Найти закон изменения пути по времени (S).
Решение:
S''= a
1 kt
S ' = e dt = e + C1
k
1
1 kt
kt
S = (e + C1 ) dt = 2 e + C1t + C2
k
k
kt

5. В предыдущих задачах решаются уравнения, содержащие производные. Это и есть дифференциальные уравнения

Дифференциальным уравнением называется
такое уравнение, которое связывает между собой
переменную x , искомую функцию y(x ) и её
производные или дифференциалы
(
F x, y, y ' , y ' ' ,... y
(n )
)= 0
(n )
dy d y d y
F x, y, dy, , 2 ... n = 0
dx dx
dx
2

6.

Порядком дифференциального уравнения
называется порядок старшей производной (или
дифференциала) входящего в данное уравнение
Решением дифференциального уравнения
называется такая функция, которая обращает это
уравнение в тождество

7. Различают общее и частное решения дифференциальных уравнений:

Общее решение – содержит произвольные
постоянные(по числу порядка)
Если из множества общих решений вычисляется
значение С, то получим частное решение
(говорят, что решается задача Коши)

8. Отличия алгебраического уравнения от дифференциального:

1)Алгебраическое уравнение– это зависимость
между x, y
Дифференциальное –выражает соотношение
между x, y, y '
2)Решением алгебраического уравнения является
число
Решением дифференциального уравнения
является функция
3)Дифференциальное уравнение решается
интегрированием

9. Дифференциальные уравнения первого порядка с разделенными переменными

Общий вид первого порядка: f ( x; y )dy + ( x; y )dx = 0
1)Если дифференциальное уравнение можно
привести к виду f1 ( y )dy + 1 ( x )dx = 0 - уравнение
с разделенными переменными
Пример: x + yy ' = 0 x + y dy = 0 * dx
dx
xdx + ydy = 0
xdx + ydy = 0
x2
y2
+
=C
2
2
x 2 + y 2 = C1

10.

2)Если уравнение первого порядка привести к виду
f1 ( x )* 1 ( y )dy + f 2 ( x )* 2 ( y )dx = 0 , то получим уравнение с
разделяющимися переменными
Пример:
xy ' = y
dy
= y dx
x
dx
xdy = ydx : xy
dx
dy
=
x
y
ln y = ln x + C
ln y = ln x + ln C1
ln y = ln ( x * C1 )
y = xC1 - общее решение
y = 2 при x = 1
C1 = 2 y = 2 x - частное решение

11. Алгоритм решения дифференциальных уравнения с разделяющими переменными

1)Производную записать через дифференциальные
уравнения
2)Члены уравнения с одинаковыми
дифференциальными уравнениями перенести
3)Разделить переменные
4)Проинтегрировать обе части, найти общее
решение
5)Если задана задача Коши, найти частное
решение

12. Решить дифференциальные уравнения, найти частные решения:

1.dS = (4t − 3) при t = 0; S = 0
2.dx = (2t 2 − 5) при t = 1; x = -4
3.xdx = dy при x = 1; y = 0
4.x 2 dx + ydy = 0 при x = 1; y = 0
5.
2dy dx
−
= 0 при x = 1; y = 2
y
x
dy
dx
6.
= − при x = 0; y = 2
2x
y
7.
2dy
= 1 + x 2 при x = 0; y = 0
dx