10,11 DU-1 (1)

1.

2. 10. Дифференциальные уравнения

10. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
10.1. Общие сведения о ДУ
10.2. Обыкновенные ДУ 1-го порядка
10.3. Обыкновенные ДУ 2-го порядка

3. 10.1. Общие сведения о ДУ

10.1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О ДУ
Уравнение называется дифференциальным, если оно связывает
независимую переменную, искомую функцию и её производные, т.е.
F x, y, y , y ,..., y n 0
Решением ДУ называется функция, которая при подстановке в это
ДУ обращает его в тождество.
Если искомая функция зависит от одной переменной,
то ДУ называется обыкновенным.
Если искомая функция зависит от двух или более переменных,
то ДУ называется в частных производных.
Наивысший порядок производной, входящей в ДУ, называется
порядком ДУ.

4. 10.1. Общие сведения о ДУ

10.1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О ДУ
Примеры
Определите название ДУ и его порядок.
1)
4 x 2 y 3 xy y 0 – обыкновенное ДУ 4-го порядка
2)
3)
xy y sin x y 2
xz y yz x 0
– обыкновенное ДУ 1-го порядка
– ДУ в частных производных 1-го порядка
Процесс отыскания решения ДУ называется интегрированием.
График решения называется интегральной кривой.

5. 10. Дифференциальные уравнения

10. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
10.2. Обыкновенные ДУ 1-го порядка
10.2.1 Основные понятия
10.2.2 ДУ с разделяющимися переменными
10.2.3 Однородные ДУ
10.2.4 Линейные ДУ
10.2.5 ДУ Бернулли

6. 10.2.1 Основные понятия

10.2.1 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
Уравнение, которое связывает независимую переменную х,
искомую функцию y = f(x) и её первую производную у ,
называется ДУ 1-го порядка.
F x, y , y 0
Если это ДУ записано в виде
y f x, y ,
то оно называется разрешённым относительно производной.
P x, y dx Q x, y dy 0
– дифференциальная
форма записи ДУ.
Пример
Представить все возможные формы записи ДУ.
e x y y 4 x 4 3 0

7. 10.2.1 Основные понятия

10.2.1 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
Задача
Найти все решения ДУ
y x, так как 1
x
;
x
y
y
x
y 3 x, так как 3
3x
;
x
y c x, так как c
c x
x
Начальным условием ДУ называется условие, когда для заданного
значения х=хₒ функция y принимает значение у=уₒ.
Обозначение:
y x0 y0
Общим решением ДУ 1-го порядка называется функция y x, c ,
содержащая одну произвольную постоянную и удовлетворяющая
условиям:
1) y x, c
решение ДУ при каждом фиксированном значении с;
2) для любого начального условия
y x0 y0
существует единственное значение постоянной с=сₒ такое, что
функция
y x, c0 удовлетворяет этому начальному условию.

8. 10.2.1 Основные понятия

10.2.1 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
Частным решением ДУ 1-го порядка называется функция y x, c0 ,
полученная из общего решения при конкретном значении постоянной с=сₒ.
Общее решение ДУ есть множество всех его частных решений.
Замечание
Если общее решение получено в неявном виде
то оно называется общим интегралом ДУ,
а частное решение
x, y, c 0,
x, y, c0 0 – частным интегралом.
Задачей Коши называется задача отыскания решения ДУ,
удовлетворяющего заданным начальным условиям.
F x, y, y 0,
y x0 y0 .

9. 10.2.1 Основные понятия

10.2.1 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
Замечание
С геометрической точки зрения общее решение ДУ есть семейство
интегральных кривых на плоскости Оху,
а частное решение – одна кривая из этого семейства, проходящая
через точку Мₒ(хₒ;уₒ).
2) y xy 1 x 2 y ,
Примеры
1) y
y y cx
общее решение
,
x
y 1
cx
общее решение
x 1

10. 10.2.2 ДУ с разделяющимися переменными

10.2.2 ДУ С РАЗДЕЛЯЮЩИМИСЯ ПЕРЕМЕННЫМИ
Уравнение вида P x dx Q y dy
называется ДУ с разделёнными переменными.
Способ решения:
проинтегрировать обе части, добавить постоянную с.
Примеры
Найти общее решение или общий интеграл ДУ.
2) sin xdx cos ydy 0
sin xdx cos ydy
1) x 2 dx ydy
2
x
dx ydy
x3 y 2
c
3
2
3
x
2
y 2 c
3
2 x3
y
2c
3
общий интеграл
sin xdx cos ydy
cos x sin y c
cos x sin y c
общий интеграл
общее решение

11. 10.2.2 ДУ с разделяющимися переменными

10.2.2 ДУ С РАЗДЕЛЯЮЩИМИСЯ ПЕРЕМЕННЫМИ
y dy
Уравнение вида P1 x Q1 y dx P2 x Q2
называется ДУ с разделяющимися переменными.
Способ решения:
разделить переменные, проинтегрировать обе части,
добавить постоянную с.
Разделим обе части уравнения на произведение
P1 x Q1 y
P2 x Q2 y
dx
dy
P2 x Q1 y
P2 x Q1 y
P1 x
Q2 y
dx
dy,
P2 x
Q1 y
тогда
пусть
P2 x Q1 y 0
P1 x
Q2 y
P x ,
Q y ,
P2 x
Q1 y
P x dx Q y dy
ДУ с разделёнными переменными

12. 10.2.2 ДУ с разделяющимися переменными

10.2.2 ДУ С РАЗДЕЛЯЮЩИМИСЯ ПЕРЕМЕННЫМИ
Пример
Найти общее решение или общий интеграл ДУ.
xy 2 dx 1 x 2 y 4 1 dy
y 2 1 x 2 0
1 x y 1
xy
dx
dy
y 1 x
y 1 x
2 1
x
t ( 2 x)dt y y 2 dy
2
2
2
2
2
4
2
x
y4 1
dx
dy
2
2
1 x
y
x
y4 1
1 x 2 dx y 2 dy
t 1 x 2
2 1
dt 2 xdx y 2 dy
y
dt
dx
2 x
1 1
y3 1
dt
2 t
3 y
1
y3 1
ln t c
2
3 y
3
1
y
1
2
ln x 1 c
2
3 y
общий интеграл

13. 10.2.2 ДУ с разделяющимися переменными

10.2.2 ДУ С РАЗДЕЛЯЮЩИМИСЯ ПЕРЕМЕННЫМИ
Замечание
Уравнение вида y f x g y
также является ДУ с разделяющимися переменными.
Способ решения:
тот же (разделить переменные, проинтегрировать обе
части, добавить постоянную с).
dy
Представим производную в виде y
dx
Умножим обе части уравнения на dx
Разделим обе части уравнения на g
dy
f x dx,
g y
тогда
пусть
y
dy
f x g y
dx
dy f x g y dx
f x g y
dy
dx
g y
g y
1
Q y ,
g y
Q y dy f x dx
ДУ с разделёнными переменными

14. 10.2.2 ДУ с разделяющимися переменными

10.2.2 ДУ С РАЗДЕЛЯЮЩИМИСЯ ПЕРЕМЕННЫМИ
Пример
Найти общее решение или общий интеграл ДУ.
y y cos3 x
dy
y cos3 x
dx
dy y cos3 xdx
dy
cos3 xdx
y
dx
1
ln y sin 3 x c
3
общий интеграл
y 0
t 3 x
dy
y cos3xdx, dt 3dx
1
dx dt
3
1
ln y cos tdt
3
1
ln y sin 3 x ln c
3
ln y ln e
1
sin 3 x
3
ln c
1
sin 3 x
3
ln y ln c e
y c e
1
sin 3 x
3
общее решение

15. 10.2.2 ДУ с разделяющимися переменными

10.2.2 ДУ С РАЗДЕЛЯЮЩИМИСЯ ПЕРЕМЕННЫМИ
Пример
Найти решение задачи Коши.
x
x
1
e
yy
e
, y 0 1
dy
x
x
dx
1
e
y
e
dx
1 e ydy e dx
x
x
1 ex 0
ex
ydy
dx
x
x
1 e
t 1 e
ex
x
ydy 1 e x dx, dt e dx
dt
dx x
e
y2
ex
dt
x
2
t e
y2
ln e x 1 c
2
общий интеграл
y 0 1 x0 0, y0 1
12
ln e0 1 c
2
1
1
ln 2 c c ln 2
2
2
y2
1
x
ln e 1 ln 2
2
2
частный интеграл

16. 10.2.3 Однородные ДУ

10.2.3 ОДНОРОДНЫЕ ДУ
Функция f(x,у) называется однородной функцией n-го порядка,
если выполняется равенство
Уравнение вида
f x, y n f x, y .
y f x, y называется однородным ДУ,
если функция f(x,y) является однородной функцией 0-го порядка, т.е.
f x, y f x, y .
Замечание
Однородное ДУ может быть задано в дифференциальной форме
P x, y dx Q x, y dy 0,
где функции P(x,y) и Q(x,y) являются однородными одинакового
порядка.
Способ решения:
проверить однородность функций и сделать замену
переменных
y t x, y t x t.

17. 10.2.3 Однородные ДУ

10.2.3 ОДНОРОДНЫЕ ДУ
Пример
Найти общее решение или общий интеграл ДУ
y 2 xy
y 2 x y
f x, y
x
x
y
замена y t x, y t x t t
tx 2 xtx
t x t
x
x t 2 t
t x t
x
t x t t 2 t
t x 2 t
dt
x 2 t
dx
y
y 2 xy
.
x
f x, y
x
xdt 2 tdx
dt
dx
x
2 t
x 2 t 0
dt
dx
2 t x
dt
t
dx
t ln x c
dx
y
ln x c
x
общий интеграл

18. 10.2.3 Однородные ДУ

10.2.3 ОДНОРОДНЫЕ ДУ
Замечание
Однородное ДУ может быть задано так
Покажем это.
y
y .
x
y f x, y однородное ДУ, если f x, y f x, y .
1
1
1
y
y
Пусть , тогда f x; y f x; y f 1;
x
x
x
x
x
Примеры
Какие из данных ДУ являются однородными?
y 2 xy
1) y
x
2) y 2 x 2 dy y x 4 dx 0
3)
y
y
y ln
x
x
4)
5 xydy y x dx 0
5)
xy y sin x y 2
6)
e x x 2 dy y 2 dx 0

19. 10.2.3 Однородные ДУ

10.2.3 ОДНОРОДНЫЕ ДУ
Пример
Найти решение задачи Коши
y y
y ln , y 1 e.
x x
y
ln ln t 1 ln x ln c
замена y t x, y t x t t
x
t x t t ln t
ln ln t 1 ln cx
dt
t x t ln t t
ln t 1 cx
t
dx
y
dt
ln
1 cx
x t ln t 1 dx
общий интеграл
x
dx
y 1 e x0 1, y0 e
xdt t ln t 1 dx x t ln t 1 0
e
ln
1 c 1 c 0
dt
dx
1
t ln t 1 x
u ln t 1
y
y
y
1
dt
dx
ln 1 0 ln 1 ln ln e
du
dt
x
x
x
t ln t 1 x
t
y
dt tdu
t du
e y e x
ln
x
x
t u
частное решение

20. 10.2.4 Линейные ДУ

10.2.4 ЛИНЕЙНЫЕ ДУ
Уравнение вида y p
x y q x
называется линейным ДУ 1-го порядка.
Замечание 1
Функции p(x) и q(x) зависят только от переменной х,
в частности они могут быть постоянными.
Замечание 2
Иногда сначала нужно преобразовать ДУ, чтобы увидеть форму
записи линейного ДУ из определения.
Способ решения:
ищем решение в виде произведения двух функций
y u x v x (метод Бернулли).

21. 10.2.4 Линейные ДУ

10.2.4 ЛИНЕЙНЫЕ ДУ
Пример
Найти решение задачи Коши
xy y 3cos3 x
xy y 3cos3 x, y
x 0
y 3
y cos3 x - линейное ДУ, так как
x x
1
.
y p x y q x
1
3
p x , q x cos x
x
x
ищем решение в виде произведения двух функций y u x v x
y u v, y u v u v uv
u v uv
uv 3
cos3x
x x
v 3
u v u v cos3x
x x
пусть выражение в скобках =0
во втором и третьем слагаемых
вынесем u за скобки
v
v x 0,
u v 3 cos3 x
x
1
2

22. 10.2.4 Линейные ДУ

1
v
10.2.4 ЛИНЕЙНЫЕ ДУ
3
2
u v cos3x
x
v
0
x
ДУ с разделяющимися переменными
подставим найденное v и упростим
dv
v
dx
x
v
dv dx
x
dv
dx
v
x
dv
dx
v x
dx
1 3
u cos3 x
x x
u 3cos3 x
v 0
ДУ с разделяющимися переменными
ln v ln x
c 0
1
v
x
du
3cos3 x
dx
dx
du 3cos3 xdx
du 3 cos3xdx
u cos tdt
u sin t c
t 3 x
dt
3
dx
1
dx dt
3
u sin 3x c

23. 10.2.4 Линейные ДУ

10.2.4 ЛИНЕЙНЫЕ ДУ
Вспомним, что мы ищем решение ДУ в виде
произведения двух функций
y u x v x
Подставим найденные функции и получим
y sin 3 x c
1
x
общее решение
y
1
1
x0 , y0
sin 3 c
1
1
c 1
y sin 3 x 1
1
x
частное решение

24. 10.2.5 ДУ Бернулли

10.2.5 ДУ БЕРНУЛЛИ
Уравнение вида y p
s
x
y
q
x
y
, где s R, s 0, s 1,
называется ДУ Бернулли.
Замечание 1
Если s = 0,то получаем линейное ДУ,
если s = 1, то получаем ДУ с разделяющимися переменными.
Замечание 2
Иногда сначала нужно преобразовать ДУ, чтобы увидеть форму
записи ДУ Бернулли из определения.
Способ решения:
ищем решение в виде произведения двух функций
y u x v x (метод Бернулли).

25. 10.2.5 ДУ Бернулли

10.2.5 ДУ БЕРНУЛЛИ
Пример
Решить ДУ
x3 y 2 y x 2 y 3 1.
x 3 y 2 y x 2 y 3 1
x3 y 2 0
x 3 y 2 y x 2 y 3
1
x3 y 2
x3 y 2 x3 y 2
y
1
y 3 2 - ДУ Бенулли, так как
x x y
y p x y q x y s
1
1
p x , q x 3 , s 2
x
x
ищем решение в виде произведения двух функций y u x v x
y u v, y u v u v uv
u v uv
uv
1
3 2 2
x xuv
v
1
u v u v 3 2 2
x x u v
во втором и третьем слагаемых
вынесем u за скобки
v
v x 0,
u v 1
x3u 2v 2
1
2

26. 10.2.5 ДУ Бернулли

10.2.5 ДУ БЕРНУЛЛИ
1
v
v
0
x
2
ДУ с разделяющимися переменными
dv
v
dx
x
v
dv dx
x
dv
dx
v
x
dv
dx
v x
dx
ln v ln x
c 0
1
v
x
u v
1
x3u 2v 2
подставим найденное v и упростим
1
x2
u 3 2
x xu
u
1
u2
ДУ с разделяющимися переменными
v 0
du 1
2
dx u
dx, u 2
u 2 du dx
2
u
du dx
u3
c
x
3
3
u 3 3x c
3
u 3 3x c

27. 10.2.5 ДУ Бернулли

10.2.5 ДУ БЕРНУЛЛИ
Вспомним, что мы ищем решение ДУ в виде произведения двух функций
y u x v x
Подставим найденные функции и получим
1
y 3x c
x
3
или
y
3
3x c
x
общее решение

28. Продолжение следует...

ПРОДОЛЖЕНИЕ СЛЕДУЕТ...