Дифференциальные уравнения

1.

Дисциплина: МАТЕМАТИКА
Раздел 4: Дифференциальные уравнения
Лекция №14
Дифференциальные уравнения первого порядка
Разработчик: Бредихина Ольга Александровна

2.

4 Дифференциальные уравнения
4.1 Основные понятия
Всякое уравнение, содержащее, по крайней мере, одну
производную
неизвестной
функции,
называется
дифференциальным уравнением.
В общем виде дифференциальное уравнение можно
записать в виде
F x, y, y , y ,... y n 0,
где F – некоторая функция от n+2 переменных, y –
некоторая функция от x, n≥1.
Порядок n старшей производной, входящей в запись
уравнения, называется порядком дифференциального
уравнения.
Если из уравнения в общем виде выразить в явном виде
старшую производную, то получим уравнение вида
y n f x, y, y , y ,..., y n 1 ,
называемое уравнением, разрешённым относительно
старшей производной.

3.

4 Дифференциальные уравнения
4.1 Основные понятия
Функция
y=φ(x)
называется
решением
дифференциального
уравнения,
если
последнее
обращается в тождество после подстановки y=φ(x).
Обычно дифференциальное уравнение имеет бесконечное
множество решений. Для выделения из множества
решений отдельного, называемого частным решением,
необходимо задавать дополнительные условия в виде
y x0 y 0 ,
y x0 y0 , ...,
y n 1 x0 y n 1 0 .
Задача
нахождения
решения,
удовлетворяющего
дополнительным условиям, называется задачей Коши, а
решение уравнения – решением задачи Коши.

4.

4 Дифференциальные уравнения
4.2 Дифференциальные уравнения первого порядка
Дифференциальное уравнение первого порядка имеет
общий вид F x, y, y 0.
Дифференциальное
уравнение
первого
порядка,
разрешённое относительно y , имеет вид y f x, y .
Дифференциальное
уравнение
первого
порядка,
разрешённое относительно производной, можно также
записать в дифференциальной форме:
P x, y dx Q x, y dy 0,
где P(x,y), Q(x,y) – известные функции.

5.

4 Дифференциальные уравнения
4.2 Дифференциальные уравнения первого порядка
Условие y(x0)=y0 называется начальным условием.
Общим решением дифференциального уравнения
первого
порядка
называется
функция
y=φ(x,C),
содержащая
одну
произвольную
постоянную
и
удовлетворяющая условиям:
– функция φ(x,C) является решением дифференциального
уравнения при каждом фиксированным значении С;
– каково бы ни было начальное условие, можно найти
такое значение постоянной C=C0, что функция y=φ(x,C0),
удовлетворяет заданному начальному условию.
Частным решением дифференциального уравнения
первого порядка называется функция y=φ(x,C0),
полученная из общего решения при конкретном значении
постоянной C=C0.

6.

4.2 Дифференциальные уравнения первого порядка
4.2.1 Дифференциальные уравнения с разделяющимися
переменными
Уравнение вида P x dx Q y dy 0 называется
дифференциальным уравнением с разделёнными
переменными.
Алгоритм решения
1. Перенесём Q(y)dy в правую часть уравнения:
P x dx Q y dy
2. Проинтегрируем левую и правую части уравнения:
P x d x Q y dy

7.

4.2.1 Дифференциальные уравнения с разделяющимися
переменными
Пример 1 Найти общее решение дифференциального
dy
уравнения xdx 0 .
y
Решение.
2
dy
x
dy
dy
, xdx ,
ln y C ,
xdx
0, xdx
2
y
y
y
ln y C
y
2
x
, y
2
x2
C
e e 2
x2
C
e 2
,
.
Заменим C1=eC, тогда общее
решение исходного
дифференциального
уравнения2 примет вид:
y C1 e
x
2
.

8.

4.2.1 Дифференциальные уравнения с разделяющимися
переменными
Более общий случай описывают дифференциальные
уравнения с разделяющимися переменными, которые
имеют вид P1 x Q1 y dx P2 x Q2 y dy 0.
Алгоритм решения
1. Перенесём P2 x Q2 y dy в правую часть уравнения:
P1 x Q1 y dx P2 x Q2 y dy
2. Разделим переменные, используя пропорцию:
P1 x
Q y
dx 2 dy
P2 x
Q1 y
3. Проинтегрируем левую и правую части уравнения:
P1 x
Q2 y
P2 x dx Q1 y dy

9.

4.2.1 Дифференциальные уравнения с разделяющимися
переменными
Пример 2 Найти общее решение дифференциального
уравнения xy 2 dx ydy xdx.
Решение.
xy 2 dx ydy xdx,
xy 2 dx xdx ydy,
y
1 xdx ydy,
y
xdx 2 dy,
y 1
y
xdx
y 2 1 dy.
2
Интеграл в левой части уравнения является простым
табличным, а интеграл, полученный в правой части
уравнения, решим отдельно.

10.

4.2.1 Дифференциальные уравнения с разделяющимися
переменными
обозначим t y 2 1
y
1
1 dt
2
2
dy 2
ydy dt y 1 dy 2 ydy
t 2
y 1
y 1
dt
ydy
2
1 dt
1
1
ln t C ln y 2 1 C.
2 t
2
2
x2
1
Таким образом, уравнение примет вид:
ln y 2 1 C.
2
2
C1
x2
1
C
Заменим C , получим
ln y 2 1 1 .
2
2
2
2
Таким
образом,
общее
решение
исходного
дифференциального уравнения имеет вид x 2 C1 ln y 2 1.
Ответ: x 2 C1 ln y 2 1.

11.

4.2.1 Дифференциальные уравнения с разделяющимися
переменными
Также уравнение с разделяющимися переменными может
иметь вид y f x g y .
Алгоритм решения
dy
dy
f x g y .
1. Заменим y , получим уравнение вида
dx
dx
2. Разделим переменные, используя пропорцию:
dy
f x dx.
g y
3. Проинтегрируем левую и правую части уравнения:
dy
g y f x dx.

12.

П
4.2.1 Дифференциальные уравнения с разделяющимися
переменными
Пример 3
уравнения
Решение.
Найти общее решение дифференциального
xy y 1,
xy y 1,
dy
x y 1,
dx
dy
dx
,
y 1 x
dy
dx
,
y 1
x
d y 1
dx
y 1 x .

13.

4.2.1 Дифференциальные уравнения с разделяющимися
переменными
d y 1
dx
y 1 x
Замечание: в случае, когда в левой и правой частях
дифференциального уравнения интегралы обращаются в
логарифмические функции, необходимо прибавлять не
постоянную С, а постоянную lnC. Это позволяет
упростить ответ, воспользовавшись такими свойствами
логарифмов, как
a (b≠0).
ln a ln b ln a b или ln a ln b ln
b
Возвращаясь к нашему дифференциальному уравнению,
получим ln y 1 ln x ln C, ln y 1 ln Cx , y 1 Cx.
Таким
образом,
общее
решение
исходного
дифференциального уравнения имеет вид y Cx 1.
Ответ: y Cx 1.

14.

4.2.2 Линейные дифференциальные уравнения
первого порядка
Дифференциальное
уравнение
первого
порядка
P
Pdx+Qdy=0 называется линейным, если отношение
Q
содержит лишь в первой степени (линейно). Линейное
уравнение принято записывать в виде y P x y Q x .
Алгоритм решения
1. Воспользуемся подстановкой y=UV, где U и V –функции
от переменной х, тогда y U V UV.
Получим уравнение вида U V UV P x UV Q x .
2. Первое слагаемое U V переписываем, а из второго и
третьего выносим общий множитель U за скобки, то есть
получим равенство U V U V P x V Q x .

15.

4.2.2 Линейные дифференциальные уравнения
первого порядка
3. Обнуляем скобку, получая при этом новое
дифференциальное
уравнение
с
разделяющимися
переменными вида V P x V 0 , из которого находим
неизвестную переменную V (используя замену V dV ).
dx
Замечание 1: постоянную C принимаем за ноль.
4. В уравнение из пункта 2, заменяя выражение V P x V
нулём, получим уравнение вида U V Q x . Подставляя в
него значение V, найденное в пункте 3 и замену U dU ,
dx
находим неизвестную переменную .
Замечание 2: постоянную C писать обязательно.

16.

4.2.2 Линейные дифференциальные уравнения
первого порядка
5. Общее решение линейного дифференциального
уравнения первого порядка находится путём подстановки
в y=UV значения переменных U и V, найденные в пунктах
4 и 3 соответственно.
Замечание 3: если в задании имеется дополнительное
условие вида y(x0)=y0 (задача Коши), то может быть
найдено частное решение, удовлетворяющее данному
условию. Для его нахождения достаточно подставить в
общее решение замены x=x0, y=y0, после чего найти
конкретное значение постоянной C=C0. Подставляя это
значение в общее решение дифференциального уравнения,
получаем искомое частное решение.

17.

4.2.2 Линейные дифференциальные уравнения
первого порядка
Пример 4 Найти решение задачи Коши y 2 xy 2 x 2 e x ,
y(0)=2.
2
x2
y 2 xy 2 x e ,
Решение.
2
2
U V UV 2 xUV 2 x 2 e x ,2
V 2 xV 0,
V 2xV ,
dV
2xV ,
dx
dV
2xdx,
V
dV
,
V 2 xdx
x2
ln V 2 ,
2
2
ln V x ,
V e x
U V U V 2 xV 2 x 2 e x ,
С 0 .
U V 2 x e
U e
x2
x2
Общее решение найдём из
2
x2
2 x e , замены3 y=UV:
2
,
U 2x ,
2
dU
2x2 ,
dx
dU 2 x 2dx,
2
dU
2
x
dx,
2 x3
U
C.
3
2x
y
C e x
3
Частное решение найдём,
используя условие y(0)=2.
Подставим x=0, y=2 в общее
решение:
0 C e0 2,
C 2,
2 x3
x
y
2 e .
3

18.

4.2.2 Линейные дифференциальные уравнения
первого порядка
Линейное дифференциальное уравнение первого порядка
также может иметь вид x P y x Q y .
Решение аналогично, только подстановка в этом случае
следующая:
x=UV,
x U V UV,
где V
dU
dV
, U
.
dy
dy

19.

4.2.2 Линейные дифференциальные уравнения
первого порядка
2
Пример 5 Найти решение задачи Коши x y x y 2 , x 1 .
3
Решение.
2
x y x y , : y 0
1
x x y ,
y
1
U V UV UV y,
y
V
U V U V y,
y
V
V
0,
y
U V y,
x UV

20.

4.2.2 Линейные дифференциальные уравнения
первого порядка
V
V
0,
y
V
V ,
y
dV
V
,
dy
y
dV
dy
,
V
y
dV
dy
V y,
ln V ln y ,
ln V ln y 1 ,
1
С 0 .
V
y
U V y,
U
1
y,
y
U y2,
dU
y2,
dy
dU y 2 dy,
2
dU
y
dy,
U
3
y
C.
3
Общее решение найдём из
замены x=UV:
y3
1 y2 C
x C
.
3
y 3 y
Частное решение найдём,
2
используя условие x 1 .
3
2
Подставим x , y=1 в
3
общее решение:
12 C
2
,
3 1
3
C 1,
y2 1
x
.
3 y

21.

4.2.3 Дифференциальные уравнения Бернулли
Дифференциальное уравнение вида
y P x y Q x y n (или x P y x Q y x n),
где n≠0, n≠1 называется уравнением Бернулли.
Схема решения уравнений Бернулли аналогична решению
линейных дифференциальных уравнений первого порядка.

22.

4.2.3 Дифференциальные уравнения Бернулли
y
x
Пример 6 Найти решение задачи Коши y 4 x y ,
y e 2 e8 .
Решение.
y 4
y
x y,
x
UV
x UV ,
x
V
U V U V 4 x U V ,
x
U V UV 4
V 4
V
0,
x
U V x U V ,
y UV

23.

4.2.3 Дифференциальные уравнения Бернулли
V
0,
x
V
V 4 ,
x
dV
V
4 ,
dx
x
dV
dx
4 ,
V
x
V 4
dV
dx
4
V x,
ln V 4 ln x ,
ln V ln x 4 ,
V x4
С 0 .
U V x U V ,
U V x U ,
U x4 x U ,
U x2 x U ,
U
U
,
x
dU
U
,
dx
x
dU dx
,
x
U
dU
dx
U x,
1
2 dU dx ,
U
1
x
U2
ln x ln C ,
1
2
1
U ln Cx ,
2
U ln
2
Сx .
Общее решение найдём из
замены y=UV:
y x 4 ln 2 Cx .
Частное решение найдём,
используя условие y e 2 e8 .
Подставим
x=e2,
y=e8
общее решение:
e ln e C e ,
e8 ln 2 e C e8 ,
ln 2 e C 1,
ln e C ln e,
2 4
2
2
e C e,
C 1,
C 1,
y x 4 ln 2 x .
8
в