Обыкновенные дифференциальные уравнения

1. Математика Часть 2

УГТУ-УПИ
2007 г.

2.

Лекция 11
Обыкновенные дифференциальные
уравнения
1. Основные понятия.
Обыкновенным дифференциальным
уравнением (ДУ) называется уравнение,
связывающее между собой независимую
переменную x , искомую функцию y f x
n
и её производные y ', y ,..., y .

3.

Основной задачей теории ДУ является
нахождение неизвестных функций, входящих в
дифференциальные уравнения.
Например, скорость тела v , движущегося
под действием силы F , может быть
найдена из второго закона Ньютона, т.е. из ДУ
dv
m F.
dt

4.

Порядок наивысшей производной, входящей в
уравнение, называется порядком ДУ.
Общий вид ДУ n-го порядка:
n
F ( x, y, y ', y ,..., y ) 0
или
n
n 1
y f ( x, y, y ',..., y ).
Примеры
2
y y sin x - ДУ 1-го порядка,
x
y yy 0
- ДУ 3-го порядка.

5.

Решением ДУ называется любая функция y
которая при подстановке в ДУ, обращает его в
тождество.
f x ,
График этой функции называется интегральной
кривой.

6.

n
Общим решением ДУ F ( x, y, y ', y ,..., y ) 0
y f x, c1 , c2 ,..., cn ,
называется решение
которое содержит столько независимых
произвольных постоянных ci , i 1, 2,..., n,
каков порядок ДУ.

7.

Общее решение, заданное в неявном виде
Ф x, y, c1 , c2 ,..., cn 0,
называется общим интегралом ДУ.
Всякое решение, которое получается из общего
при конкретных значениях произвольных
постоянных, называется частным решением
ДУ.

8.

Пример:
Найти решение ДУ
Решение:
Функция
y y 0.
y c1 sin x c2 cos x
удовлетворяет уравнению и является общим
решением.
Если c1 2, c2 5,
y 2sin x 5cos x
- частное решение.

9.

2.
ДУ первого порядка.
ДУ первого порядка называется уравнение
y ' x, y .
F x, y, y 0 или
y f x, c .
Общее решение:
На графике это будет однопараметрическое
семейство кривых .

10.

Пример.
10
y' x
8
6
4
2
2
x
y C - общее
2
2
x
y
- частное
2
-4
-2
2
-2
-4
4

11.

Задача Коши
Пусть
1) y ' ( x, y ) ДУ 1-го порядка,
2) y( x0 ) y0 начальное условие.
Найти
решение ДУ, удовлетворяющее начальному
условию.
Геометрический смысл:
Найти интегральную кривую (частное
решение), проходящую через заданную
точку ( x0 , y0 ).

12.

Теорема Коши (теорема существования и
единственности решения ДУ)
Т
Если
1) y ' ( x, y )
2) ( x , y ), y ( x , y )
непрерывны
в области,содержащей точку ( x0 , y0 ),
то
существует единственное решение y f ( x )
этого уравнения, удовлетворяющее начальному
условию y x0 y0 .

13.

Геометрический смысл теоремы
Коши.
• Через заданную точку x0 , y0 проходит
только одна интегральная кривая
уравнения
y x, y .
• Особая точка дифференциального уравнения
– точка (х,у), в которой нарушается
единственность решения задачи Коши.

14. Пример.

Решить уравнение
2
3
y' 3y ,
10
8
удовлетворяющее условию
6
y 0 0.
4
Общее решение:
2
y x C .
3
-4
-2
2
-2
Найдём C .
-4
0 0 C C 0.
3
Частное решение:
y x .
3
4

15.

Типы ДУ первого порядка.
I. ДУ с разделяющимися переменными.
ДУ вида P1 x Q1 y dx P2 x Q2 y dy 0
называется ДУ с разделяющимися переменными.
Разделив обе части уравнения на P2 x Q1 y ,
получим уравнение с разделёнными
переменными:
P x dx Q y dy 0.

16.

Общий интеграл этого уравнения:
P x dx Q y dy C .
Пример 1.
Найти общее решение ДУ y ' x ( y 1).
Решение.
dy
dy
2
x ( y 1),
xdx
2
y 1
dx
2
2
x
arctgy C общий интеграл,
2
x2
y tg C -общее решение.
2

17.

Пример 2.
y
Найти общее решение ДУ y ' .
x
Решение.
dy y
dx x
dy
dx
y x
ln | y | ln | x | C ,
или, представив постоянную интегрирования в
логарифмической форме ln | y | ln | x | ln | C |,
ln | y | ln | cx |,
y cx

18.

2. Однородные ДУ.
y
y f называются
ДУ вида
x
однородным ДУ первого порядка.
y
u такие уравнения
С помощью подстановки
x
приводятя к уравнениям с разделяющимися
переменными.

19.

Пример 1.
y y
y ' ln 1 , y(1) 1, y ?
x x
Решение.
Дифференциальное уравнение– однородное.
y
u,
x
y ux
y ' u ' x u
u ' x u u ln u 1
u ' x u ln u,
du
dx
u ln u
x

20.

du
dx
u ln u x
ln u Cx ,
y xe
Cx
ln ln u ln x ln C
u e ,
Cx
- общее решение.
y(1) 1 e ,
C:
y(1) 1
C 1
y x
C 0
- частное решение.

21.

Пример 2.
( x y)dx xdy 0, y ?
Решение.
dy
x y
,
dx
x
dy
y
1
dx
x
Дифференциальное уравнение– однородное.
y
u,
x
y ux ,
u ' x u 1 u,
y ' u ' x u
u ' x 1 2u

22.

u ' x 1 2u,
du
dx
1 2u x ,
C
1 2u 2 ,
x
Переопределим
du
dx
,
1 2u
x
1
ln(1 2u) ln x ln C ,
2
x C
y
2 2x
C
C
2
x C
y
2 x

23.

Замечания.
1. ДУ вида
ax by
dy
f
dx
a1 x b1 y
-однородное, т.к. оно равносильно уравнению
y
a b
dy
x
f
y
dx
a1 b1
x

24.

2.
dy
ax
by
d
ДУ вида
f
dx
a1 x b1 y d1
a
b
в случае
a1
b1
с помощью замены:
приводится к однородному
x u
y v
Числа , находятся из системы уравнений:
a b d 0
a1 b1 d1 0
Уравнение становится однородным относительно
функции v u . (Это новая функция,а u – новый
аргумент.)

25.

Если
замена
a b
a1 b1
u a1 x b1 y
приводит исходное ДУ к уравнению с
разделяющимися переменными.

26.

3. Линейные ДУ первого порядка.
ДУ вида y P x y Q x , содержащее y
и y в первой степени, называется линейным
ДУ первого порядка.
Решение ищем в виде
y u x v x .
Функцию v будем считать произвольной, u
найдём из уравнения.

27.

dy
dv
du
u v
dx
dx
dx
Если y uv , то y uv vu ,
dv
du
Уравнение принимает вид: u v Puv Q ,
dx
dx
dv
du
u Pv v Q
dx
dx
v -произвольна, выберем её так, чтобы
dv
dv
Pv 0,
Pdx ,
тогда
dx
v
Pdx
ln v Pdx ln c1 ,
v ce
.
1

28.

c1 1,
Положим
Подставим найденное
du
v x Q x ,
dx
u
Q x
v x
v e
.
в ДУ
Pdx
v
du Q x
,
dx v x
dx c
В итоге общее решение имеет вид:
Q x
y v x
dx c .
v x

29.

Пример.
dy
2
3
y x 1 , y ?
dx x 1
Решение.
dy
dv
du
y uv ,
u v
dx
dx
dx
dv
du
2
3
u v
uv x 1 ,
dx
dx x 1
2 du
3
dv
u
v v x 1
dx x 1 dx
dv
2
dv 2dx
v 0,
,
dx x 1
v x 1
,

30.

ln v 2ln x 1 ,
v x 1
2
Найдём u , подставив v x 1
уравнение
du
3
x 1 x 1 ,
dx
2
x 1
u
2
2
в
du
x 1
dx
2
c.
Общее решение:
x 1
y
2
4
c x 1 .
2

31.

4. Уравнение Бернулли.
ДУ вида
n
y P x y Q x y при n 0;1
называется уравнением Бернулли.
При n 1 или n 0 - это линейное уравнение,или
уравнение с разделяющимися переменными.

32.

Уравнение Бернулли также решается с
помощью подстановки
y=u(x)v(x)
Пример:
dy
3 3
xy x y , y ?
dx
Решение.
Разделим ДУ на y
3 dy
2
3
y
xy x .
dx
3

33.

Замена
z y
n 1
y
dz
3
2 xz 2 x
dx
Замена
z uv
2
- линейное.
dz
dv
du
u v ,
dx
dx
dx
dv
du
u v 2 xuv 2 x 3 ,
dx
dx
dv
du
3
u 2 xv v 2 x
dx
dx
dv
dv
2 xdx ,
v:
2 xv 0,
v
dx

34.

ln v x , v e .
x2
2
Найдём u , подставив
уравнение
du
e
2 x 3 ,
dx
du 2e
x2
u -2 e
x2
v e
x2
x 3dx ,
x dx (по частям) x e
2 x2
3
2
в
x2
e
x2
z uv x 1 ce , y x 1 ce ,
1
y
.
2
x2
x 1 ce
2
x2
2
x2
c,