Lek_5_TPS

1. Тема 4. Спектральный и корреляционный анализ детерминированных сигналов.

Лекция №5
Тема 4. Спектральный и
корреляционный анализ
детерминированных сигналов.

2. Вопрос 1. Сигналы и ряды Фурье

3.

Понятие о спектральном анализе и синтезе
Обобщенная спектральная теория сигналов базируется на
использовании линейного пространства ортогональных
сигналов (базисных функций) сумма которых позволяет
воспроизвести любой детерминированный сигнал (s(t)) сколь
угодно сложной формы.
n
s (t ) = ci ei (t )
i =1
Такое
представление
называется
спектральным
разложением сигнала и является теоретической основой
для расчета отклика радиотехнических цепей на воздействие
реальных сигналов сложной формы.
Располагая спектральным разложением можно решить
обратную задачу синтеза сигнала во временной области
по его спектру в частотной области. Т.е. синтез сигнала
позволяет восстановить форму и параметры входного
сигнала на выходе радиотехнической цепи, передаточная
функция которой известна.

4.

Понятие о спектральном анализе и синтезе
Спектральная плотность это коэффициент пропорциональности
между интервалом частот Δf и комплексной амплитудой сигнала ΔAf0 с
несущей частотой f0, которая соответствует данному интервалу частот.
Косвенно спектральная плотность характеризует энергию сигнала,
которая сосредоточена в полосе частот Δf.
S ( ) = s (t )e
− j t
dt
Спектральная плотность (распределение
энергии сигнала по частотам)
−
1
j t
Обратное преобразование Фурье
s (t ) =
S
(
)
e
d
(синтез сигнала по его спектру)
2 −
Эффективная ширина спектра

5.

Понятие о спектральном анализе и синтезе
Требования к системе базисных функций, которые пригодны для
спектрального разложения сигнала (s(t)):
1. Для любого сигнала ряд
s (t ) = ci ei (t ) | t t1 , t0
i =0
должен сходиться (т.е. количество членов ряда ограничено)
2. Функции ei(t) должны иметь простую аналитическую форму и
удовлетворять требованиям непрерывности на отрезке времени
существования сигнала [t1,t2]
3. Выражения для вычисления коэффициентов разложения ci всегда
должны иметь аналитическое решение на отрезке времени [t1,t2] и
вычисляться достаточно просто
Этим трем условиям удовлетворяют
системы ортогональных функций:
u(t )v(t )dt = 0
−

6.

Разложение периодического сигнала в ряд
Фурье в тригонометрической форме
s(t ) = s(t n T ),
n = 1,2,3,....
(1)
a0
s(t ) = + ( an cos n 0t + bn sin n 0t )
2 n=1
T
(2)
2 2
a0 = s (t )dt
T T
−
an =
2
T
2
2
s (t )cos n 0tdt
T T
−
bn =
– коэффициент, определяющий значение
постоянной составляющей сигнала
2
T
2
2
s (t )sin n 0tdt
T T
−
2
0 =
2
T
– коэффициенты разложения, определяющие
значения гармоник с частотами n = n 0 ,
образующих исходный произвольный
периодический сигнал s(t)
- Образующая (основная) частота периодического
сигнала. Она же –частота первой гармоники

7.

Разложение периодического сигнала в ряд Фурье в
экспоненциальной форме (комплексная форма ряда Фурье)
1
e(t ) =
exp ( ji 0t ), i = 0, 1, 2,.... (3)
T
1
s (t ) =
ci exp ( ji 0t )
(4)
T i = −
T
2
1
ci =
s (t ) exp (− ji 0t )dt
T T
−
2
a0
t
T ; a0 = И U m
2
T
T
T
2
2
Cn =
(an ) + (bn ) =
An
2
2
C0 =
N
ES = (Ci )
2
i =0
T
2
1
a0 1 N 2
2
2
PS = s (t ) = s (t ) dt = + An
T 0
2 2 n =1
(5)

8.

Основные свойства преобразования Фурье
1. Сложение, усиление и ослабление сигналов (теорема
линейности)
s1 (t )
s 2 (t )
sN (t )
S1 ( j )
S2 ( j )
S N ( j )
s (t ) = s1 (t ) + s2 (t ) + ... + sN (t )
S ( j ) = S1 ( j ) + S2 ( j ) + ... + S N ( j )

9.

Основные свойства преобразования Фурье
2. Сдвиг сигнала во времени (теорема запаздывания)
S1 ( j )
s1 (t )
S (t )
S1 (t )
s2 (t ) = s1 (t − з )
S1 (t − t0 )
t
t0
S2 ( j ) = S1 ( j )e
− j з

10.

Основные свойства преобразования Фурье
3. Смещение спектра сигнала (теорема смещения)
S1 ( j )
s1 (t )
S2 ( j ( + ))
s2 (t ) = s1 (t )e
− j t
подобное преобразование сигнала применяют в различных
радиосистемах при необходимости переноса спектра сигнала из одной
области частот в другую, например, при модуляции

11.

Основные свойства преобразования Фурье
4. Теорема масштабов
Предположим, что в исходном сигнале
s1 (t ) изменен масштаб времени
t умножен на некоторый постоянный коэффициент b
s2 (t ) = s1 (bt )
b 1 то происходит «сжатие» исходного сигнала
Если 0 b 1
исходный сигнал «растягивается» во времени
1
j
S 2 ( j ) = S1 ( )
Спектральная плотность преобразованного сигнала
Если
b
b
Таким образом, увеличение длительности импульсного сигнала любой формы в
b раз сопровождается сжатием его спектра во столько же раз, и наоборот,
уменьшение длительности приводит к расширению спектра при одновременном
уменьшении его интенсивности в
1
b
раз.

12. Вопрос 2. Спектральный анализ периодических сигналов

13.

Разложение последовательности видеоимпульсов в ряд
Фурье
Четный сигнал
Нечетный сигнал
2U m
n t И
sin
n
2
bn = 0
2
=
T
an =
n t
sin
Um 2
2
1 +
s(t ) =
cos(n t )
q n =1
n
an =
Um
sin( n t И )
n
bn =
Um
(1 − cos(n t И ) )
n
n t
sin
Um 2
n t И
2
1 +
s(t ) =
cos n 0t −
q n =1
n
2

14.

Спектральная плотность последовательности
видеоимпульсов (обратное преобразование Фурье)
n tИ
S ( n ) = An sinc
2

15. Вопрос 3. Спектральный анализ непериодических сигналов

16.

Непериодический (апериодический) сигнал
t
s (t ) = U m rect ;
tИ
0, t −0.5 + t И
rect (t ) = 1,−0.5 + t И t 0.5 + t И
0, t 0.5 + t
И
Нечетный (sin(x))
Четный (cos(x))

17.

Разложение апериодического сигнала в ряд Фурье
a0
s(t ) = + ( an cos n 0t + bn sin n 0t )
2 n=1
a0 =
T
2
2
s (t )dt
T T
−
an =
T
2
2
s (t )cos n 0tdt
T T
−
bn =
2
2
T
2
2
s (t )sin n 0tdt
T T
−
2
2
0 =
→ 0;
T
T →
= (n + 1) 0 − n 0 → 0
n→

18.

Спектральная плотность апериодического сигнала
Нечетный импульс
n tИ
sin
2
S ( n ) = U m t И
n tИ
2
Четный импульс
2U m
n tИ
S ( n ) =
sin
n
2
Среднее значение
S0 = U m t И
Энергия и мощность:
1 2
ES = S (n );
n =0 T
1 4 2
PS = 2 S (n )
4 n =0 T