Цифровая обработка сигналов и изображений
Дискретное преобразование Фурье и его свойства
Ортогональность сигналов
Семейство преобразований Фурье
Прямое и обратное непрерывное преобразование Фурье
Основная идея дискретного преобразования Фурье
Дискретное преобразование Фурье
Основные свойства ДПФ
Основные свойства ДПФ
Основные свойства ДПФ. Теорема свертки
Основные свойства ДПФ. Теорема корреляции
Теорема Парсеваля
0.96M
Category: electronicselectronics

Цифровая обработка сигналов и изображений. Дискретное преобразование Фурье и его свойства

1. Цифровая обработка сигналов и изображений

2. Дискретное преобразование Фурье и его свойства

3. Ортогональность сигналов

Множество непрерывных функций действительного переменного
{Un(t)} = {U0(t), U1(t), …} называется ортогональным на интервале
[t0; t0+T], если
t 0 T
c, m n,
t U m (t )U n (t )dt 0, m n.
0
При c = 1 множество {Un(t)} называется ортонормированным.
Для вычисления сигнала через коэффициенты разложения используется:
x(t ) anU n (t ).
n 0

4.

Ортогональность сигналов
Коэффициенты разложения an из указанного соотношения можно определить, если
умножить обе его части на Un(t) и проинтегрировать в интервале [t0; t0+T]:
t 0 T
x(t )U m (t ) an
n 0
t0
В силу условий ортогональности получим
1
an
C
t 0 T
x(t )U
t0
n
(t )dt
t 0 T
U
t0
n
(t )U m (t )dt

5.

Теорема Парсеваля
Для доказательства теоремы Парсеваля возведем обе части соотношения в квадрат:
x(t ) U n (t ) a a p aqU p (t )U q (t ).
2
2
n 0
2
n
p 0 q 0
Проинтегрируем обе части:
1
2
2 1
2
x(t ) an U n (t ) dt a p aq U p (t )U q (t )dt.
TT
TT
n 0
p 0 q 0
T
По условию ортогональности:
1
C 2
2
x(t ) dt an .
TT
T n 0

6.

Ряд Фурье. Разложение в ряд Фурье
Впервые в 1807 году французский математик и физик Жан Батист
Жозеф Фурье показал, что любую произвольную функцию x(t ) можно
представить в виде бесконечной суммы синусных и косинусных членов:
n 1
n 1
x(t ) a0 an cos n 0t bn sin n 0t
где 0 (рад/с) – основная угловая частота, которая связана с
периодом T функции соотношением n 0 . Частоты T 2 0
называют гармониками, так как они кратны основной частоте.
В данном случае речь идет о системе ортогональных функций вида
1, cos n 0t, sin n 0t
a0
1
x(t )dt;
TT
an
2
x(t ) cos n otdt;
TT
bn
2
x(t ) sin n otdt
TT

7.

Ряд Фурье
Коэффициенты {a0, an, bn} можно вычислить с учетом ортогональности множества
функций {cos n 0t, sin n 0t} на периоде T:
T 2 , m n,
T cos n 0t cos m 0tdt 0, m n;
(1)
cos n 0t sin m 0tdt 0, m, n;
(2)
T
T 2 , m n,
T sin n 0t sin m 0tdt 0, m n.
(3)
С учетом этих соотношений получаем:
a0
1
x(t )dt ;
T T
(4)
an
2
x(t ) cos n 0tdt;
TT
(5)
bn
2
x(t ) sin n 0tdt.
T T
(6)

8.

Сумма синусов и косинусов
=
3 sin(x)
A
+ 1 sin(3x)
B
+ 0.8 sin(5x)
C
+ 0.4 sin(7x)
D
A+B
A+B+C
A+B+C+D

9. Семейство преобразований Фурье

9
t
t
Cигнал непрерывный и апериодический
Cигнал непрерывный и периодический
N=8
t
Отсчет N-1
Отсчет 0
Cигнал дискретный и апериодический
Cигнал дискретный и периодический
t

10. Прямое и обратное непрерывное преобразование Фурье

x(t) – исходная функция времени
Прямое преобразование Фурье
x( j ) x(t )e j t dt
0
(отображение исходной функции времени в спектральную
область)
1
x
(
t
)
Обратное преобразование Фурье
2
(восстановление функции по её спектру)
j t
x
(
j
)
e
d
0

11. Основная идея дискретного преобразования Фурье

1 N 1
C x (k )
X (m)W k m
N m 0
N 1
X (m) C x (k )W km
k 0
k 0, N 1
i 2 / N
i 1 W e
Обозначения:
X(m) – значение сигнала в момент времени n;
C x (k ) – значение спектра сигнала в точке 2πk;
N – количество отсчетов;

12. Дискретное преобразование Фурье

Таким образом, если {X(m)} означает последовательность X(m) конечных
действительных или комплексных чисел, где m = 0, ..., N-1, то дискретное
преобразование Фурье этой последовательности определяется как
1
C x (k )
N
N 1
X (m)W
km
, где k = 0, …, N-1, W=e-i2π/N
m 0
N 1
X (m) C x (k )W km .
k 0
Функции W km являются N-периодическими, т.е. Wkm=W(k+N)m=Wk(m+N). Следовательно,
последовательности {Cx(k)}, {X(m)} также являются N-периодическими, т.е.
X ( m) X ( SN m);
C x ( k ) C x ( SN k ).

13. Основные свойства ДПФ

Теорема линейности
Теорема комплексной сопряженности
Теорема сдвига
Теорема свертки
Теорема корреляции

14. Основные свойства ДПФ

Теорема линейности: ДПФ является линейным, т.е. если
X (m) Cx (k )
Y ( m) C y ( k )
Z (m) aX (m) bY (m)
то
C z (k ) aC x (k ) bC y (k )
Теорема комплексной сопряженности: если
X (m) X (0), X (1),..., X ( N 1)
- такая последовательность
действительных чисел, что N/2 – целое число и X (m) Cx (k ) , то
Cx (
N
N
l ) C x ( l ), l 0, N / 2
2
2
Теорема сдвига: если Z (m) Cz (k )
то C (k ) W kh C (k )
W e i 2 / N
z
x
и
Z (m) X (m h) , h 0, N 1,

15. Основные свойства ДПФ. Теорема свертки

Если X (m) и Y (m) - последовательность действительных
Y (m) C y (k ) , X (m) Cx (k ) , а свертка этих
чисел, при которых
последовательностей определяются как
1
Z ( m)
N
N 1
X (h)Y (m h), m 0,1,..., N 1
h 0
то C z (k ) C x (k )C y (k )
Суть:
свертка временных последовательностей эквивалентна
умножению их коэффициентов ДПФ

16. Основные свойства ДПФ. Теорема корреляции

Если X (m) и Y (m) - последовательность действительных
Y (m) C y (k ) , а корреляция
чисел, при которых
X (m) Cx (k ),
этих последовательностей определяются как
1
(
m
)
Z
N
то
N 1
X (h)Y (m h), m 0,1,..., N 1
h 0
C (k ) C x (k )C y (k )
Z

17. Теорема Парсеваля

Под теоремой Парсеваля обычно понимают унитарность преобразования Фурье. То
есть сумма (или интеграл) квадрата функции равна сумме (или интегралу) квадрата
результата преобразования
x(t ) dt
2
2
F{x(t )} dt ,
где F{*} обозначает непрерывное преобразование Фурье, которое связывает временной
или пространственный сигнал x(t) с его представлением в частотной области X(f).
В дискретном виде теорему записывают следующим образом:
N 1
i 0
1
x(i )
N
2
N 1
X (k )
2
,
k 0
где X(k) представляет собой дискретное преобразование Фурье сигнала x(i), имеющего
N отсчетов.
English     Русский Rules