Ряд Фурье. Преобразование Фурье. Дискретное преобразование Фурье

1. Ряд Фурье Преобразование Фурье Дискретное преобразование Фурье Быстрое преобразование Фурье Спектральный анализ Оценка спектра

2. Преобразование Фурье

3. Разложение в ряд Фурье Коэффициенты ряда Фурье

k 1
k 1
x(t ) a0 ak cos( kwt ) bk sin( kwt )
T 2
2
a0
x(t )dt
T T 2
T 2
2
ak
x t cos kwt dt
T T 2
T 2
2
bk
x t sin kwt dt
T T 2
t – здесь - время, но может быть чем
угодно
w – циклическая частота первой
гармоники
T – период изменения сигнала
T = 2p/w
k = 1, 2, 3, 4, …

4. Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций

cos(- kwt) = cos(kwt)
sin(- kwt) = - sin(kwt)
Ряд Фурье четной
функции содержит только
косинусоидальные члены:
Ряд Фурье нечетной
функции содержит только
синусоидальные члены:
x(t ) a0 ak cos( kwt )
k 1
x(t ) a0 bk sin( kwt )
k 1

5. Экспоненциальное представление ряда Фурье

связь с коэффициентами
действительного ряда Фурье:
x t C k e jkwt
k
T 2
1
jkwt
Ck
x
t
e
dt
T T 2
a k jbk
, k 1,2,...
2
a0
Ck
2
a k jbk
, k 1, 2,...
2
амплитудный и фазовый спектр:
C k C k
a k2 bk2
2
bk
arg C k arg Ck arctg
ak

6. Спектр последовательности прямоугольных импульсов

действительная часть
коэффициентов ряда Фурье –
коэффициенты при косинусе
мнимая часть
коэффициентов ряда Фурье –
коэффициенты при синусе
амплитудный спектр
сигнала
спектр мощности сигнала

7. Разложение непериодических сигналов Интегральное преобразование Фурье

T
w dw
kw w
Ck X w
1
jwt
x t
X
w
e
dw
2p
X w x t e jwt dt

8. Свойства преобразования Фурье

Линейность:
X w FT x t
Y w FT y t
FT ax t by t aX w bY w
Сдвиг сигнала во времени:
FT x t e jw X w
e jw X w X w

9. Свойства преобразования Фурье

Подобие:
1 w
FT x at X
a a
Теорема Парсеваля:
1
2
x t dt 2p X w dw
2

10. Дискретное преобразование Фурье

N 1
1
C k xi e
N i 0
N 1
xi C k e
k, i = 0, 1, 2,…, N-1
x1, x2, x3,…xN-1 – отсчеты дискретного сигнала
2p
j
ki
N
2p
j
ki
N
e
k 0
e
j
j
2p
ki
N
2p
N k i
N
e
j
e
2p
k N i
N
j
2p
k i
N
Ck Ck N
C N k C k C k
период дискретизации – 2 мкс
кол-во отсчетов в выборке - 1000

11. Быстрое Преобразование Фурье

N 1
X k x i e
j
2p
ki
N
i 0
WN e
j
2p
N
N 1
X k x i W N
k = 0, 1, 2,… N-1
x(i), i = 0, 1, 2,... N-1
x1(i) = x(2i), i = 0, 1, 2,... N/2 – 1
x2(i) = x(2i+1), i = 0, 1, 2,... N/2 – 1
WN
ki
k N i N
WN
W Nk N 2 W Nk
i 0
N 2 1
N 2 1
i 0
i 0
ki
WN2 WN 2
X k x 2i WN2 ki x 2i 1 WNk 2i 1 X 1 k WNk X 2 k
N
k
X 1 k WN X 2 k , 0 k 2 1,
X k
X 1 k N WNk X 2 k N , N k N 1.
2
2 2

12. Быстрое преобразование Фурье Вычисление 8-точечного БПФ

X(0) = X1(0) + W0X2(0); X(4) = X1(0) – W0X2(0); … и так далее

13. Быстрое преобразование Фурье Вычисление 8-точечного БПФ

операция
инверсии битов:
i
i2
i2-1
i-1
0
000
000
0
1
001
100
4
2
010
010
2
3
011
110
6
4
100
001
1
5
101
101
5
6
110
011
3
7
111
111
7

14. Проблемы спектрального анализа Эффекты конечного размера реализации

Составляющая сигнала на
частоте f? не может быть
представлена в спектре.
Возможный вариант решения
проблемы – использование
дополняющих нулей.
«гребешковое искажение»
Исходная реализация
содержит N точек отсчитанных
через T секунд.
Дополненная реализация –
N+N` точек через те же T
секунд.
f
1
N N ' 1 T

15. Эффекты конечного размера реализации

Просачивание спектральных
составляющих и размывание спектра.
Выборка данных в течение
некоторого времени эквивалентна
умножению сигнала на функцию
(временное окно)
T
1
,
t
,
2
t
0, t T .
2
спектр которой
(спектральное окно) равен
W f T
sin pfT
pfT

16. Проблемы спектрального анализа Случайный характер измеряемых величин

Каждой выборке или реализации случайного процесса соответствует
выборочный спектр, так же имеющий случайный характер.
Для детерминированных сигналов выборочный спектр при увеличении
времени измерения сходится к истинному спектру сигнала.
Для случайных сигналов выборочный спектр не сходится к какомулибо предельному значению.
Для случайных сигналов можно говорить только об оценке спектра
Оценка спектра, являясь статистической величиной, может быть
охарактеризована смещением и дисперсией.

17. Немного статистики

Математическое ожидание величины x(i):
1 N 1
E x i x i x i
N i 0
Дисперсия ряда x(i):
E x i x i
2
2
1 N 1
2
x i x i
N i 0
Если оценка спектра величина статистическая, то она должна иметь
функцию распределения плотности вероятности
Смещение оценки спектра:
B f P f E P f
– истинный спектр случайного процесса
P f
E P f – статистическая оценка этого спектра

18. Метод периодограмм

x(i), i = 0 ... N-1
– дискретный временной ряд
C k DFT x i
– коэффициенты дискретного
преобразования Фурье
Величина C k называется периодограммой и представляет собой
оценку спектра мощности E P f случайного сигнала в дискретном
представлении
Для больших N смещение периодограммы является незначительным и
E P f сходится к P f
Дисперсия периодограммы не равна 0 и не стремится к нему при
увеличении N
2

19. Модифицированные периодограммы

метод Бартлетта
метод Уэлча
дисперсия оценки
по методу Уэлча
меньше, но
перекрывающиеся
сегменты
коррелируют
между собой.

20. Взвешивание

узкое временное окно (широкое спектральное окно, малое М) –
дисперсия оценки малая, но большое смещение;
широкое временное окно (узкое спектральное окно, большое М) –
дисперсия увеличивается, но смещение оценки становится малым

21. Небольшой пример

реализация шумового сигнала...
...он же, растянутый во времени

22. Небольшой пример