Л3-2

1.

2.

Тема №3. Основы теории сигналов
Лекция №1. Математические модели сигналов
1. Способы представление сигналов
2. Спектральное представление дискретных
сигналов

3.

Вопрос 1. Способы представление сигналов
-аналитическое;
-временное;
-спектральное;
-векторное

4. МОДЕЛЬ НЕПРЕРЫВНОГО СИГНАЛА НА ВЫХОДЕ УПС

U (t)
Um
0
t
Т
U ( t ) = U m s i n ( ω t + ), где
ω= 2π
T
РЕАЛЬНАЯ МОДЕЛЬ НЕПРЕРЫВНОГО СИГНАЛА НА
ВЫХОДЕ УПС
U (t)
Umk
0
t
U
(t ) = U mk sin( k t + k ),
k =1

5. СПЕКТР АМПЛИТУД И СПЕКТР ФАЗ ГАРМОНИЧЕСКОГО СИГНАЛА

U ( t ) = U m s in ( ω t + )
Ак
um
0
1
2
3
1
2
3
f
fk
F, кГц
φ
φк
0
f
fk
F, кГц

6. МОДЕЛЬ НЕГАРМОНИЧЕСКОГО СИГНАЛА

U
(t ) = U 0 + U mk sin( k t + k ),
k =1
СПЕКТР АМПЛИТУД НЕГАРМОНИЧЕСКОГО СИГНАЛА
Ак
um1
um2
umк
u0
0
1
2
3
f
fk
F, кГц

7.

МОДЕЛЬ ЦИФРОВОГО СИГНАЛА ВО ВРЕМЕННОЙ
МОДЕЛЬ ДИСКРЕТНОГО
ОБЛАСТИСООБЩЕНИЯ
НА ВЫХОДЕ УПС
U (t)
E
0
Тk
tи
Tk
E , Tk-1 t
2
U(t)=
Tk
0,
t Tk
2
СКВАЖНОСТЬ
t
, ГДЕ k =1, 2..N
q = Tк = 2
tи

8.

Вопрос 2 Спектральное представление
дискретных сигналов

9.

ОБОБЩЕННЫЙ РЯД ФУРЬЕ
u(t) = a k x k (t);
k =1
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД ФУРЬЕ
a0
U(t) = + ( a k cos k 1t + b k sin k 1t )
2 k =1
постоянная составляющая:
tи
a0 1
А0 = = U(t)dt;
2 T0

10.

11.

Коэффициенты ряда Фурье:
tи
2
a k = U(t)cos k 1tdt;
T0
tи
2
b k = U(t)sin k 1tdt
T0

12.

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД ФУРЬЕ
В КОМПАКТНОЙ ФОРМЕ
u(t) = A 0 + A k cos(k 1t + k )
k =1
где
a0
A0 = ;
2
2
k
u(t)
2
k
Ak = a + b ;
bk
.
k = arctg
ak
bk
0
φk
ak
(6)

13.

Равенства Парсеваля для периодического
сигнала
2
a0 1
2
2
P = + ( ak + bk )
2 2 k =1

14.

2.1 Периодическая последовательность
прямоугольных импульсов
u(t)
E
0
tu
T
t

15.

Применим ряд Фурье в компактной форме :
U (t ) = А0 + Ak cos( k 1t + k )
k =1
t
a0 1 u
Et
А0 = = Edt = u
2 T 0
T
t
2u
E
ak = E cos k 1tdt =
sin k 1tu
T0
k
t
2u
E
bk = E sin k 1tdt =
(1 − cos k 1tu )
T0
k
k 1tu
2E
Ak = a + b =
sin
k
2
2
k
2
k
k 1tu
b
2 = k 1tu
k = arctg k = arctg
k t
ak
2
sin 1 u
2
1 − cos

16.

Ряд Фурье, для расчета спектра периодической
последовательности прямоугольных импульсов:
k
sin
tu
E
q
U (t ) = 1 + 2
cos k 1 (t + ) ,
k
q
2
k =1
q
T
где q = − скважность сигнилаU (t )
tu

17.

Пусть скважность q = 2
, тогда
k
sin
E
2 cos(k 2 f t )
U (t ) = + E
1
k
2
k =1
2
Рассчитаем амплитуды гармоник при к = 1,2,3….
к =1
A1 =
E sin
2 = 2E
k =5
2
k =2
k =3
k =4
A2 =
A3 =
sin
=0
3
2 = 2E
3
3
2
E sin
A4 = 0
k =6
A5 =
5
2 = 2E
5
5
2
E sin
A6 = 0

18.

Спектр амплитуд периодической
последовательности прямоугольных импульсов
Ak
2E/π
E/2
2E/3π
0
1
3F1
2F1 =
tи
F1
2E/5π
2
4F1 =
tи
5F1
f

19.

Периодическая последовательность
прямоугольных импульсов
q=2
q=4
E
0
E
0
t
tu
T1
Ak
Ak
E/2
E/4
0
F1
2
tи
3F1
4
tи
f
t
T2
0
T2=2T1
F1 2F1 3F1
5F1
f

20.

Периодическая последовательность
прямоугольных импульсов
q=2
q=4
u(t)
u(t)
E
0
T
t
tu1
0
Ak
Ak
E/2
E/4
0
F1
2 3F
1
tи
4
tи
f
0
T
t
tu2
F1 2F1 3F1 4
tи
f

21.

Аппроксимация сигнала в базисе
тригонометрических функций

22.

Выводы :
1. Спектр периодической последовательности прямоугольных
импульсов имеет дискретный спектр.
2. Изменение периода Т ведет
к изменению положения
спектральных линий на оси частот:
- увеличение периода следования импульсов приводит к сгущению
спектральных линий, амплитуды гармоник Ак - уменьшается.
- с уменьшением Т – линии разрежаются, Ак увеличивается.
3. Величина амплитуды гармоник Ак зависит от
tu
T
4. Изменение длительности имеет tи вызывает смещение нулей
огибающей, ширина спектра ΔF изменяется.
T
u
5. Изменение скважности q= t
показывает на какую по счету
составляющую приходится «0» огибающей
6. При скважности возрастании
q,
значение Ак уменьшается,
количество гармоник в лепестке увеличится.
7. Мощность составляющих Ак определяется их

23.

2.2 Модель непериодического сигнала
u(t)
E
0
tu
t
tи
A( ) = U(t) e
-j t
dt;
0
tи
1
j t
U(t) =
A(
)
e
d
2 0

24.

Спектр непериодического сигнала
A( ) = E tи
sin
tи
2 ;
tи
2
A( )
E·tи
0
2
tи
4
tи

25.

26. 1.ВЕКТОРНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СИГНАЛОВ И ПОМЕХ

z
N(t)
U3 = A3 sin Ф
U(t)
Ф
x
y
U1 = A2 соs Ф
U2 = A1 sin Ф