Теория электрических цепей. Лекция 1

1. Фриск Валерий Владимирович

ТЕОРИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ
Лекция 1
( ТЭЦ -2, семестр 4 )
© В.В. Фриск, 2014
1

2. 4 семестр

Практ. зан. (8 зан. по 2 б) = 16 б.
(-1 б. за пропуск занятия).
Лаб. раб (8 защ. по 3 б) = 24 б.
(-1 б. за пропуск занятия).
Экстра баллы = 30 б.
Тест-экзамен (на комп., 15 ТЗ по 2 б.) = 30 б.
Всего 100 б. (макс.)
2

3. Границы оценок на экзамене

Студент защитил все лаб. работы.
>= 35 б. – автомат «удов.»
<35 б. – экзамен на комп.
«2» = 0 - 12 б.
«3» = 13 - 18 б.
«4» = 19 - 24 б.
«5» = 25 - 30 б.
3

4. Лекция 1

Спектральное
представление
негармонических
периодических
сигналов
4

5. Частотный метод анализа колебаний в линейных ЭЦ

Анализ этим методом заключается в
следующем.
Даны линейная электрическая цепь и
значения всех элементов.
Требуется рассчитать отклик на
негармоническое воздействие, путем
применения тригонометрического ряда
Фурье или интеграла Фурье.
5

6. Жан Батист Жозеф Фурье

Французский
математик, физик
Фурье (1768-1830).
Иностранный
почетный член
Петербургской АН
Fourier
6

7. Негармонический сигнал

Все сигналы,
отличные от
гармонических,
называются
негармоническими.
7

8. Анализ частотного состава колебаний

Если к R-цепи последовательно
присоединить несколько
источников напряжения с
разными амплитудами и
начальными фазами, имеющих
кратные частоты, то напряжение
и ток в этой цепи окажутся
несинусоидальными.
8

9. Например

u( 1t ) 10 sin( 1t ) 5 sin( 3 1t )
9

10.

u( 1t ) 10 sin( 1t ) 5 sin( 3 1t )
10

11. Ряд Фурье и его сходимость

Пусть функция f c периодом 2 ,
интегрируемая на отрезке [0, 2 ].
Тогда ей можно поставить в
соответствие её тригонометрический
ряд Фурье.
Коэффициенты этого ряда называются
коэффициентами Фурье и они
вычисляются по формулам ЭйлераФурье.
11

12. Тригонометрический ряд Фурье

A0
f ( 1t )
Ak cos( k 1t ) Bk sin( k 1t ) ,
2 k 1
1
A0
2
Ak
Bk
1
1
2
f ( t )d ( t ),
1
1
1t [0, 2 ]
0
2
f ( t ) cos(k t )d ( t ),
1
1
1
0
2
f ( t ) sin( k t )d ( t ).
1
0
1
1
12

13. Частичная сумма

A0 n
f ( 1t ) S ( 1t , n)
Ak cos( k 1t ) Bk sin( k 1t ) .
2 k 1
13

14. Ряд Фурье по синусам

C0
f ( 1t )
Ck sin( k 1t k ) ,
2 k 1
C0 A0 , Ck A B ,
2
k
2
k
Ak
k arctg при Ak 0, Bk 0.
Bk
14

15. Ряд Фурье по косинусам

C0
f ( 1t )
Ck cos( k 1t k ) ,
2 k 1
C0 A0 , Ck A B ,
2
k
Bk
k arctg
Ak
2
k
при Ak 0, Bk 0.
15

16. Спектр

Совокупность
гармонических
составляющих, на которые
раскладывается сигнал
называется спектром.
16

17. Частота и время

17

18. Пусть сигнал дан в виде ряда Фурье

u ( 1t ) U 0
U m1 sin( 1t 1 )
U m 2 sin( 2 1t 2 )
U m3 sin( 3 1t 3 ) ...
18

19. Где

• U0 – постоянная составляющая
(нулевая гармоника);
• Um1sin( 1t+ψ1) – первая (основная)
гармоника;
• Um2sin(2 1 t+ψ2) – вторая
гармоника;
• Um3sin(3 1 t+ψ3) – третья
гармоника и т. д.;
19

20. Где

1 =2 /Т – основная частота;
• Т - период сигнала;
• Um1, Um2, Um3 – амплитуды
гармоник;
• ψ1, ψ2 , ψ3 – начальные фазы
гармоник.
20

21. Спектральная диаграмма

Амплитудные и фазовые
спектры строят в виде ряда
отрезков линий, длины
которых пропорциональны
амплитудам или начальным
фазам гармоник.
21

22. Синусоидальный сигнал

u( 1t ) U m sin( 1t )
22

23. Спектральная диаграмма синусоидального сигнала

23

24.

u( 1t ) U m sin( 2 1t )
24

25. Спектральная диаграмма синусоидального сигнала с удвоенной частотой

25

26.

u( 1t ) U m sin( 3 1t )
26

27. Спектральная диаграмма синусоидального сигнала с утроенной частотой

27

28. Задача

Пусть сигнал задан в виде
u( 1t ) 2 10 sin( 1t 400 ) 5 sin( 3 1t 600 ).
Построить его амплитудный и фазовый
спектры.
28

29.

u( 1t ) 2 10 sin( 1t 40 ) 5 sin( 3 1t 60 )
0
0
29

30.

u( 1t ) 2 10 sin( 1t 40 ) 5 sin( 3 1t 60 )
0
0
30

31. Однополупериодный сигнал

31

32. Аналитическое выражение

T
U m sin( 1t ), 1t
u ( 1t )
2,
0, 1t T
U m 1, T 2 .
32

33. Ряд Фурье однополупериодного сигнала

Um
2
2
u ( 1t )
1 sin( 1t ) cos( 2 1t ) cos( 4 1t ) ... .
2
3
15
33

34.

Um
S ( 1t , 1) S1 ( 1t )
1
sin(
t
)
.
1
2
34

35.

Um
2
S ( 1t , 2) S 2 ( 1t )
1 sin( 1t ) cos( 2 1t ) .
2
3
35

36.

S ( 1t , 3) S3 ( 1t )
Um
2
2
1
sin(
t
)
cos(
2
t
)
cos(
4
t
)
1
1
1 .
2
3
15
36

37. Действующее значение

2
m1
2
m2
2
m3
U
U
U
U U
...
2
2
2
2
0
37

38. Мощность в цепи при негармоническом периодическом воздействии

38

39. Пусть на входе линейного двухполюсника действует негармоническое периодическое напряжение

u (t ) U 0 U m1 sin( 1t u1 ) U m 2 sin( 2 1t u 2 ) ...
U mk sin( k 1t uk ) ..., B
Входной ток представим в
виде ряда Фурье
i(t ) I 0 I m1 sin( 1t i1 ) I m 2 sin( 2 1t i 2 ) ...
I mk sin( k 1t ik ) ..., A
39

40. Средняя мощность

1
1
P u (t )i(t )dt U 0 I 0 U mk I mk cos( k ),
T0
2 k 1
T
k uk ik .
Где
P – средняя мощность, Вт;
K – угол сдвига по фазе тока относительно
напряжения к-й гармоники, рад.
40

41. Вывод

Средняя мощность
равна сумме
средних мощностей
каждой гармоники.
41

42. Реактивная мощность

1
Q U mk I mk sin( k ),
2 k 1
Где
Q – реактивная мощность, вар;
K – угол сдвига по фазе тока относительно
напряжения к-й гармоники, рад.
42

43. Вывод

Реактивная мощность
равна сумме
реактивных
мощностей каждой
гармоники.
43

44. Полная мощность

2
2
S U k I k
k 0 k 0
Где
S – полная мощность, ВА;
UK – действующее значение напряжения к-й
гармоники, В;
IK – действующее значение тока к-й гармоники, А.
44

45. Коэффициент гармоник

Коэффициент гармоник - это
отношение действующего
значения высших гармоник
к действующему значению
первой гармоники.
45

46. Формула Кг

KГ
U
k 2
U1
2
k
.
46

47. На практике ограничиваются n-гармониками

THD - Total Harmonic Distortion
Коэффициент гармонических искажений
n
THD 20 lg
U
k 2
U m1
2
mk
дБ .
47

48. дБ (dB) по напряжению

60 dB 1000
40 dB 100
20 dB 10
0 dB 1
20 dB 0,1
40 dB 0,01
60 dB 0,001
48

49. Конец 1 лекции. ТЭЦ-2

49