Определители и методы их вычисления

1. Линейная алгебра

Определители второго порядка
Определители n – ого порядка
Методы вычисления определителей

2. Определители 2 порядка

Определители широко применяются во многих разделах
высшей математики, в теоретической механике, физике и т.д.
для сокращения записей и удобства вычислений.
Определитель 2 - го порядка это число, записанное в виде:
a11 a12
= a11a 22 − a12a 21
a 21 a 22
ai j
Номер строки
Элементы определителя,
Индексы
Номер столбца
из произведения элементов главной диагонали вычитается
Главная
диагональ
произведение элементов
побочной
диагонали.
определителя
Побочная диагональ
определителя

3. Определители n – ого порядка

Определителем n – ого порядка называется число:
a11 a12
a 21 a 22
=
an1 an 2
a1n
a 2n
ann
Методы вычисления определителей n – ого порядка рассмотрим
на примере вычисления определителей третьего порядка.

4. Методы вычисления определителей

1
Метод треугольника
• •
• •
• •
+
1 3 0
2 −1 4
5 6 1
• •
• •
• •
_
= 1 ( −1) 1 + 3 4 5 + 2 6 0 − 5 ( −1) 0
− 2 3 1 − 1 6 4 = 29
Метод треугольника применим только для определителей 3 порядка

5. Методы вычисления определителей

2
Метод разложения определителя по элементам строки
(столбца)
Определитель второго порядка, который получается из определителя
3 - го порядка путем вычеркивания i - й строки и j - го столбца, т.е.
строки и столбца, на пересечении которых стоит элемент ai j
называется минором элемента и обозначается Mi j
Алгебраическим дополнением элемента ai j называется
A i j = Mi j ( −1)i+ j
aa1111
aa2121
aa3131
aa1212 aa1313
aa2222 aa2323
aa3232 aa3333
aa2211 aa2312
MM1123==
aa3231 aa3332
1+1 2 + 3
A
=
M
(
−
−M23
A 11 23= M11 23( −1) 1)= M=
11

6. Методы вычисления определителей

Величина определителя равна сумме произведений элементов
какой – либо строки (столбца) определителя на их
алгебраические дополнения:
n
= ai j A i j
Разложение определителя по элементам
i – ой строки
= ai j A i j
Разложение определителя по элементам
j – ого столбца
j =1
n
i =1
2 1 0
0 1
0 3
3 1
1+ 2
1+1
0 3 1 = 2
( −1) + 0
( −1)1+ 3
( −1) + 1
2 1
2 5
5 1
2 5 1
= 2 (3 1 − 5 1) − 1 (0 1 − 2 1) = −2

7. Методы вычисления определителей

3
Использование свойств определителя
Свойства определителя:
Величина определителя:
равна нулю, если элементы какого - либо столбца или строки
равны нулю:
0 0
= 0 a 22 − 0 a 21 = 0
a 21 a 22
равна нулю, если соответствующие элементы двух строк
(столбцов) равны
a11 a12
a11 a12
= a11 a12 − a11 a12 = 0

8. Методы вычисления определителей

меняет знак, если поменять местами строки (столбцы):
a11 a12
a 21 a 22
= a11 a 22 − a12 a 21 = −(a12a 21 − a11a 22 ) = −
a12 a11
a 22 a 21
увеличивается в k раз, если элементы какого - либо столбца
(строки) увеличить в k раз:
k a11 k a12
a 21
a 22
= k a11 a 22 − k a12 a 21 = k
a11 a12
a 21 a 22
не меняется при замене строк соответствующими столбцами:
a11 a12
a 21 a 22
=
a11 a 21
a12 a 22

9. Методы вычисления определителей

не меняется, если к элементам какой-либо строки (столбца)
прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца),
умноженные на произвольный множитель
a11
a12
a 21 + ka11 a 22 + ka12
= a11a 22 − a 21a12 =
= a11a 22 + a11ka12 − a 21a12 − ka11a12 =
a11 a12
a 21 a 22
Если определитель имеет так называемый треугольный вид,
то он вычисляется как произведение чисел, стоящих на
главной диагонали: a a a
11
12
13
0 a 22 a 23 = a11a 22a33
0 0 a33

10. Методы вычисления определителей

1 3 1
1
3 1 1 3 1
−5 1
2 1 3 = 0 − 5 1 = 0 − 5 1 = 1
( −1)1+1 =
7 2
−1 4 1
−1 4 1 0 7 2
= −5 2 − 7 1 = −17
Выберем 1
К элементам
2
Разложим
столбец
и
К элементам
3
строки
прибавим
определитель
по
превратим
второй
строки
прибавим
элементы 11строки,
элементам
столбца
и третий
элементы
1
строки
умноженные на (-2)
элементы в нули
Также, используя свойства, можно привести определитель к
треугольному виду и вычислить по последнему свойству.