Определители и методы их вычисления. Лекция 2

1.

Линейная алгебра
Определители второго и третьего порядка.
Определители n – ого порядка.
Свойства определителей.
Методы вычисления определителей.

2.

Определители широко применяются во многих
разделах высшей математики, в теоретической
механике, физике и т.д. для сокращения записей и
удобства вычислений.
Любой квадратной матрице порядка n можно
сопоставить число, которое называется
определителем.
Обозначается det A или
A или .
Определитель матрицы также называется её
детерминантом.

3.

Определители 2 порядка
Определитель 2 - го порядка - это число, записанное в
виде: a11 a22 a12 a21
a11 a12
a11a22 a12 a21
a21 a22
ai j
Номер строки
Элементы определителя,
Индексы
Номер столбца
из произведения элементов главной диагонали вычитается
Главная
диагональ
произведение элементов
побочной
диагонали.
определителя
Побочная диагональ
определителя

4.

Определители 3 порядка
Определитель 3 - го порядка - это число, записанное в
a11a22 a33 a12 a23 a31 a13 a21a32
a13 a22 a31 a12 a21a33 a11a23 a32
Метод треугольников
или схема Саррюса
_
виде:
+
1
3
0
2 1 4
5
6
1
1 ( 1) 1 3 4 5 2 6 0 5 ( 1) 0
2 3 1 1 6 4 29
Метод треугольника применим только для определителей 3 порядка

5.

Определители n – ого порядка
Определителем n – ого порядка называется число:
a11
a12
a1n
a 21
a 22
a 2n
an1 an 2 ann
Методы вычисления определителей n – ого порядка
рассмотрим на примере вычисления определителей
третьего порядка.

6.

Методы вычисления определителей
1
Метод разложения определителя по элементам строки
(столбца)
Определитель (n-1)-ого порядка, который получается из
определителя n - ого порядка путем вычеркивания i - ой строки и
j - ого столбца, т.е. строки и столбца, на пересечении которых стоит
элемент
ai j называется минором элемента и обозначается Mi j
Алгебраическим дополнением элемента
Ai j ( 1)i j M i j
aa1111 aa1212 aa1313
aa2121 aa2222 aa2323
aa3131 aa3232 aa3333
ai j
называется
aa2211 aa2312
MM1123
aa3231 aa3332
2 3 1 1
( 1) M
23
M M 23
AA23 M
( 1)
11
11
11

7.

Методы вычисления определителей
Величина определителя равна сумме произведений элементов
какой – либо строки (столбца) определителя на их
алгебраические дополнения:
n
ai j A i j
Разложение определителя по элементам
i – ой строки
ai j A i j
Разложение определителя по элементам
j – ого столбца
j 1
n
i 1
2 1 0
3 1
0 1
0 3 1 2
( 1)
( 1) 1
2 1
5
1
2 5 1
1 1
2 (3 1 5 1) 1 (0 1 2 1) 2
1 2
0
0 3
2 5
( 1)1 3

8.

Методы вычисления определителей
2
Использование свойств определителя
Свойства определителя:
Величина определителя:
равна нулю, если элементы какого - либо столбца или строки
равны нулю:
0 0
a21 a22
0 a22 0 a21 0
равна нулю, если соответствующие элементы двух строк
(столбцов) равны
a11 a12
a11 a12
a11 a12 a11 a12 0

9.

меняет знак, если поменять местами строки (столбцы):
a11 a12
a21 a22
a11 a22 a12 a21 a12 a21 a11a22
a12 a11
a22 a21
увеличивается в k раз, если элементы какого - либо столбца
(строки) увеличить в k раз:
k a11 k a12
a21
a22
k a11 a22 k a12 a21 k
a11 a12
a21 a22
не меняется при замене строк соответствующими столбцами:
a11 a12
a21 a22
a11 a21
a12 a22

10.

Методы вычисления определителей
не меняется, если к элементам какой-либо строки (столбца)
прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца),
умноженные на произвольный множитель
a11
a12
a 21 ka11 a 22 ka12
a11a 22 a 21a12
a11a 22 a11ka12 a 21a12 ka11a12
a11 a12
a 21 a 22
Если определитель имеет так называемый треугольный вид,
то он вычисляется как произведение чисел, стоящих на
главной диагонали: a a a
11
12
13
0 a 22 a 23 a11a 22 a 33
0 0 a 33

11.

Методы вычисления определителей
1
3 1
1
3
1
1
3
1
5 1
1 3 0 5 1 0 5 1 1
7
1 4 1
1 4 1 0 7 2
2
5 2 7 1 17
2
( 1)1 1
Выберем 1
К элементам
2
Разложим
столбец
и
К элементам
3
строки
прибавим
определитель
по
превратим
второй
строки
прибавим
элементы 11строки,
элементам
столбца
и третий
элементы
1
строки
умноженные на (-2)
элементы в нули
Также, используя свойства, можно привести определитель к
треугольному виду и вычислить по последнему свойству.

12.

Методы вычисления определителей
1. Определители 3-го порядка вычисляются с
помощью правила треугольников или путем
приписывания справа первых двух столбцов и
тогда определитель равен произведению
элементов главной диагонали минус произведение
элементов побочной диагонали.
1
2
3 1 2
1 0 0 2 1 2 3 ( 8) 3
8 0 1 8 0 2 0 3 1 1 ( 3) 2 ( 8) 0
79
2 3 0 2 3

13.

2. Метод разложения определителя по
элементам строки (столбца) или метод
понижения порядка определителя.
3. Метод использования элементарных
преобразований или метод приведения
к треугольному виду.
4. Метод рекуррентных соотношений.