Лекция2 СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ

1. § 2. Определители

1. Понятие определителя
2. Свойства определителя
3. Миноры и алгебраические дополнения
4. Методы вычисления определителей

2. Понятие определителя (окончание)

1.
Понятие определителя
(окончание)

3. 1. Понятие определителя (напоминание)

Всякое произведение элементов матрицы
11 12
22
A 21
...
...
n1 n 2
... 1n
... 2 n
... ...
... nn
,
взятых по одному и только одному из каждой строки и каждого
столбца, можно записать в виде
,
i j i j ... i j
i1
j1
i2 in
j2 jn
1 1
2 2
(1)
n n
где
– некоторая подстановка множества
{1,2,…,n}.
Ясно, что если изменить порядок сомножителей, то ни само
произведение (1), ни его подстановка не изменятся – изменится только
их запись.
В частности, различных таких произведений можно составить столько,
сколько подстановок n -ой степени, т.е. n! .
Имея это в виду, введем

4. 1. Понятие определителя (напоминание)

Опр. 1. Определителем квадратной матрицы A порядка n
с элементами из поля P (или просто определителем n -го
порядка) называется число, равное сумме n! всевозможных
произведений элементов, взятых по одному и только одному
из каждой строки и каждого столбца матрицы , причем любое
такое произведение берется со знаком «плюс», если его
подстановка четная, и со знаком «минус», если его
подстановка нечетная.
Каждое произведение указанного выше вида вместе с его
знаком называется членом определителя.

5. Простейшие свойства определителя (напоминание)

Из опр. 1 вытекают следующие простейшие свойства определителя n-го
порядка.
10. Каждое произведение, входящее в определитель n-го порядка,
содержит n сомножителей.
20. Каждое произведение, входящее в определитель n-го порядка, имеет
вид
i j i j ... i j
1 1 2 2
n n
(1);
если расположить сомножители в порядке возрастания номеров строк, то
оно будет иметь вид
1k1 2 k 2 ... nk n
(2)
где k1, k2 …, kn – некоторая перестановка множества {1,2,…,n}.
30. Каждому произведению, входящему
в определитель n-го порядка,
соответствует подстановка n-ой степени , наоборот, а разным
произведениям соответствуют разные подстановки.

6. Простейшие свойства определителя (напоминание)

40. При n 2
половина произведений, входящих в определитель
n-го порядка, берется со знаком «плюс», а половина со знаком
«минус», так как среди n! подстановок имеется n!/2 четных и n!/2
нечетных.
50. Каждый член определителя можно записать в
( 1) r 1k1 2k 2 ... nk n
где
r –
число инверсий
в перестановке
виде
,
k1, k2 …, kn.

7. Простейшие свойства определителя (напоминание)

Определитель матрицы обозначают det(A) или буквами , D, d и т.д.;
но чаще всего пользуются обозначением |A| или в развернутом виде
11 12 ... 1n
21 22 ... 2n
...
...
n1 n 2
...
...
n1 n 2
.
Последнее обозначение хотя и громоздко, но позволяет
формулировать ряд свойств определителя без вычисления самого
определителя.
Из определения 1 вытекает, что
11 12
21 22
... ...
... nn
... 1n
... 2 n
( 1) I ( ) 1 (1) 2 ( 2) ... n ( n )
... ... S n
... nn
,
где – знак суммы, I( ) – число инверсий в перестановке .
Подчеркнем, что определитель – это число, а матрица – таблица.

8. Определители 2-го и 3-го порядков (напоминание)

На основании определения легко получить правила
вычисления определителей 2-го т 3-го порядков:
α
α
11 12 13
21 22 23
31 32 33
α
α α α α
α
11 22 33 12 23 31 13 21 32
13 32 31 12 21 33 11 23 32
.
(правило треугольников)
Пример 1.
1
2
4
2 3
3
1
5
3
1 3 3 + 2 1 4 + 2 5 (-3) - (-3) 3 4 -1 1 5 - 2 2 3 =
= 9 + 8 – 30 +36 – 5 – 12 = 53 -47 = 6.

9. !!! 2. Свойства определителя

10. 2. Свойства определителя

Многие из приведенных ниже свойств легко вытекают из опр. 1
и их доказательства будут опускаться.
Свойство 1. Определитель не меняется при транспонировании его
матрицы. ◘
Замечание 1. Свойство 1 устанавливает равноправность строк и
столбцов определителя: всякое свойство, доказанное для строк,
справедливо для столбцов и наоборот.
Исходя из этого, мы будем дальнейшие свойства 2-10
формулировать и доказывать для строк определителя;
аналогичные свойства для столбцов не будут требовать особого
доказательства.

11. 2. Свойства определителя

Свойство 2. Определитель, имеющий две одинаковые строки, равен
нулю. ◘
Свойство 3. Если все элементы какой-нибудь строки определителя
умножить на одно и тоже число, то и сам определитель умножится на
это число. ◘
Свойство 4. Если все элементы какой-нибудь строки имеют общий
множитель, то его можно вынести за знак определителя. ◘
Свойство 5. Определитель, имеющий две пропорциональные строки,
равен нулю. ◘
Следствие 1. Определитель, имеющий нулевую строку, равен нулю. ◘

12. 2. Свойства определителя

Свойство 6. Определитель D, у которого каждый элемент i-ой строки
есть сумма двух слагаемых, равен сумме двух определителей D1 и D2
того же порядка, у которых все строки, кроме i-ой те же, что и у D, а
i-ая строка D1 состоит из первых слагаемых, а i -ая строка D2 – из
вторых слагаемых. ◘
Замечание 2. Свойство 6 распространяется на любое число
слагаемых.

13. 2. Свойства определителя

Свойство 7. Определитель не изменится, если к одной строке
прибавить другую строку, умноженную на некоторое число.
□ Для простоты записи к первой строке определителя прибавим
вторую, умноженную на число . Тогда ввиду свойств 6 и 5 имеем:
11 21 12 22
21
22
...
...
n1
n2
11 12
21 22
...
... 2 n
.... ...
n1 n 2
... nn
...
... 1n
... 1n 2 n
...
2n
....
...
...
nn
21 22
21
22
... 2 n
...
2n
...
...
...
n1
n2
....
...
nn
D
.◘

14. 2. Свойства определителя

Свойство 8. Если поменять
местами
две строки, то абсолютная
2. Свойства
определителя
величина определителя не изменится, а его знак изменится на
противоположный.
□ Для простоты записи предположим, что меняются местами первая и
вторая строки.
Этого можно добиться следующими преобразованиями:
11 12
21 22
...
...
n1 n 2
... 1n 11 21 12 22
... 2 n
21
22
... ...
...
...
... nn
n1
n2
... 1n 2 n
...
2n
...
...
...
nn
11 21 12 22 ... 1n 2 n
11
12
...
1n
...
...
n1
n2
...
...
...
nn
21
22 ... 2 n
11 12 ... 1n
...
n1
n2
...
...
...
nn
21 22 ... 2 n
11 12 ... 1n
...
...
n 2 n1
... ...
... nn
.◘

15. 2. Свойства определителя

Опр. 2. Определитель n-го порядка будем называть определителем
треугольного вида первого типа, если все его элементы по одну
сторону главной диагонали равны нулю, и определителем треугольного
вида второго типа, если все его элементы по одну сторону побочной
диагонали равны нулю,
Свойство 9. Определитель треугольного вида первого типа равен
произведение элементов главной диагонали; определитель
треугольного вида второго типа равен произведение элементов
побочной диагонали, умноженному на число
n( n 1)
( 1) 2
т. е.
,

16. 2. Свойства определителя

11
0
21 22
...
...
n1 n 2
2. Свойства определителя
... 0
... 0
11 22 nn
... ...
... nn
11 1n 1 1n
21 2n 1 0
...
n1
...
...
0
...
0
( 1)
n ( n 1)
2
1n 2n 1 n1;
11 12 ... 1n
0 22 ... 2 n
...
0
0
0
...
n1
...
0
... ...
... nn
11 22 nn
0
1n
n ( n 1)
2n 1 2n
2
( 1)
1n 2n 1 n1
...
...
...
nn 1 nn
□ Из опр. 1 следует, что ненулевым произведением определителя
треугольного вида может оказаться лишь произведение элементов
диагонали.
Если все элементы ниже или выше главной диагонали равны нулю, то
это произведение 11 22 … nn берется со знаком «+», так как
соответствующая ему тождественная подстановка четная.

17. 2. Свойства определителя

11 1n 1 1n
21 2n 1 0
...
n1
...
...
0
...
0
( 1)
n ( n 1)
2
1n 2n 1 n1;
0
0
...
n1
0
1n
n ( n 1)
2n 1 2n
2
( 1)
1n 2n 1 n1
...
...
...
nn 1 nn
Если все элементы ниже или выше побочной диагонали равны нулю, то
произведение 1n 2n-1 … n1 необходимо умножить на число
n( n 1)
( 1) 2
,
поскольку число инверсий в нижней строке соответствующей
этому произведению 1n 2n-1 … n1 подстановки
2 n 1 n
1
n
n
1
2
1
равно
(n 1) (n 2) 2 1
n(n 1)
2
.◘

18. 2. Свойства определителя

Свойство 10. Определитель D равен нулю тогда и только тогда,
когда по крайней мере одна из его строк является
линейной
комбинацией остальных.
□ Необходимость. Пусть D = 0 и предположим, что ни одна из строк
не является линейной комбинацией остальных строк.
Тогда понятно, определитель с помощью свойств 7 и 8 приведется к
виду
11 12 ... 1n
0 22 ... 2 n
...
0
...
0
... ...
... nn
,
где ii 0 ( i = 1,2,…,n), а = 1, или = -1 .
В силу св. 9 D = 11 22… nn 0, что противоречит равенству D = 0 .
Т. о., по крайней мере одна из строк определителя D является линейной
комбинацией остальных.

19. 2. Свойства определителя

Свойство 10. Определитель D равен нулю тогда и только тогда,
когда по крайней мере одна из его строк является
линейной
комбинацией остальных.
Достаточность. Пусть, по крайней мере, одна из строк
определителя является линейной комбинацией остальных.
На основании свойства 7 эту строку можно сделать нулевой, не
меняя определителя.
Но тогда ясно, что D = 0 ◘
В заключение этого подпараграфа приведем без доказательства
ещё одно важное свойство определителя.
Свойство 11. Определитель произведения двух квадратных матриц A,
B равен произведению определителей этих матриц, т. е.
det(AB) = det(A) det(B) .

20. 3. Миноры и алгебраические дополнения

21. 3. Миноры и алгебраические дополнения

В теории определителей важную роль играют тесно связанные понятия
минора и алгебраического дополнения.
Определение 3. Минором Mik элемента ik квадратной
матрицы A
порядка n называется определитель (n-1)-го порядка, который
получается из A вычеркиванием i -ой строки и k-го столбца.
Пример 2.
Пример 3.
11 12
A 21 22
31 32
4
1
A
0
3
0
3
1
1
13
11 12
23 , M 23
31 32
33
5
4
4
4
7
4 5 7
7
, M 32 1 4 7
5
3 4 7
7
.
.

22. 3. Миноры и алгебраические дополнения

Определение 4. Минор Mik элемента ik кв. матрицы A
порядка n , умноженный на (-1)i+k, называется
алгебраическим дополнением элемента ik матрицы A и
обозначается через Aik, т.е.
Aik = (-1)i+k Mik.
Пример 4. Для матрицы примера 2 имеем
4
1
A
0
3
0
3
1
1
5
4
4
4
7
7
5
7
,
A ( ) M
.
Таким образом, алгебраическое дополнение либо совпадает с
соответствующим минором, либо отличается от него знаком.

23. 3. Миноры и алгебраические дополнения

Т е о р е м а 1. Если все элементы некоторой строки (некоторого
столбца) определителя, кроме одного, равны нулю, то определитель
равен произведению этого неравного нулю элемента на его
алгебраическое дополнение. ◘
Т е о р е м а 2. Определитель D n-го порядка равен сумме произведений
элементов любой его строки (любого столбца) на их алгебраические
дополнения, т.е.
D = i1Аi1 + i2 Аi2 + … + inАin (i =1, 2, …, n);
D = 1k А1k + 2k А2k + … + nk Аnk (k =1, 2, …, n) .
Эту теорему несложно доказать, используя св-во 6
определителей и Теорему 1.

24. 3. Миноры и алгебраические дополнения

D = i1Аi1 + i2 Аi2 + … + inАin (i =1, 2, …, n);
D = 1k А1k + 2k А2k + … + nk Аnk (k =1, 2, …, n)
□ Докажем эту теорему для первого столбца, т.е. при k = 1. Имеем
D
11 12
21 22
...
...
n1 n 2
11 12
0 22
св.6
...
0
Т .1
...
n2
... 1n
... 2 n
... ...
... nn
11 0 ... 0 12
0 21 ... 0 22
...
...
0 0 ... n1 n 2
... 1n
0 12
... 2 n 21 22
... ...
...
...
... nn n1 n 2
α11 A11 α21 A21 ... αn1 An1
... 1n
... 2 n
... ...
... nn
св.6
... 1n
0 12
... 2 n
0 22
...
... ...
...
...
... nn
n1 n 2
.◘
... 1n
... 2 n
... ...
... nn
Т .1

25. 3. Миноры и алгебраические дополнения

Т е о р е м а 3. Сумма произведений элементов какой-нибудь строки
определителя на алгебраические дополнения другой строки равна 0.
Аналогичное утверждение имеет место для столбцов.
i1Аj1 + i2 Аj2 + … + inАjn = 0 (i j =1, 2, …, n);
1k А1m + 2k А2m + … + nk Аnm = 0 (k m =1, 2, …, n) . ◘
Замечание 4. Теоремы 2 и 3 можно записать в следующем виде:
D, если i k
αi1 Ak1 αi 2 Ak 2 ... αin Akn
0, если i k
,
D, если j k
α1 j A1k α2 j A2k ... αnj Ank
0, если j k
.

26. 4. Методы вычисления определителей

27. 4. Методы вычисления определителей

Сформулированные выше свойства определителей и
алгебраических дополнений позволяют указать некоторые
приемы вычисления определителей.
1. Метод понижения порядка определителя. Этот метод
вычисления определителей основан на применении
Теоремы 2:
разложив определитель n-го порядка по элементам какойнибудь строки, получим n определителей (n-1)-го порядка,
каждый из которых снова разлагается по элементам какойнибудь строки (столбца) и т.д. –
до тех пор пока не получим сумму определителей 2-го
порядка, которые вычисляются весьма просто.

28. 4. Методы вычисления определителей

Вычисление определителей
1. Метод понижения порядка определителя.
Пример 5.
2 1 3
1 3
1 3
0 1 3 2
4
16 24 8
1 5
1 3
4 1 5
.
Описанный выше метод вычисления
определителей универсален, но в случае
определителей высоких порядков является очень
громоздким. Наиболее употребителен следующий

29. 4. Методы вычисления определителей

2. Метод получения нулей в строке или столбце.
Применяя св-во 7 определителей, получаем нули в какой-нибудь строке или
столбце за исключением одного элемента, а затем применяем Т. 1.
Пример 6. Вычислить
1
2
1
0
2
3
1
2
1
3
0
3
2
5
1
4
1 2
0 1
0 3
0 2
1
1
1
3
2
1 1 1
1
3 1 3
3
2 3 4
4
1 0 0
3 4 6 4 6 6
5 6
2 5 6
.
Хотя последний метод более эффективен, но он, как правило, применим к
определителям конкретного порядка с числовыми элементами. В случае
буквенных определителей этот метод часто приводит к весьма
громоздким вычислениям.
Существуют, однако, особые методы, позволяющие получат более
простые выражения для целого ряда буквенных определителей, а также
числовых определителей, но произвольного порядка. Мы укажем только
один из них, наиболее распространенный

30. 4. Методы вычисления определителей

3. Метод приведения определителя к треугольному виду.
Идея этого способа проста – данный определитель n-го порядка
преобразуют к треугольному виду, а такой определитель равен
произведению элементов диагонали.
Пример 7. a)
1 2
0 1
0 3
0 2
1
1
1
3
2
1
3
4
1 2
0 1
0 0
0 0
1
1
4
5
2
1
6
6
1 2 1
0 1 1
0 0 1
0 0
0
2
1
6
0
6
.

31. 4. Методы вычисления определителей

3. Метод приведения определителя к треугольному виду.
1
Пример 7. b)
1
1
1 2 1 1
D 1 1 3 1
1
1
1
1
n
Прибавим первую строку определителя D, умноженную на (-1), ко
всем остальным строкам; получим определить треугольного вида 1-го
типа :
1
1
1
0 1 0
D 0 0 2
0
0
0
1
0
0 1 2 (n 1) (n 1)!.
n 1

32. 4. Методы вычисления определителей

3. Метод приведения определителя к треугольному виду.
Пример 7. с)
D
1
1
1
1
1
1
1
1 a1
1 a2
1
1 an 1
1
1
1
1
1
1
1
1
Обратим внимание на то, что это определитель (n+1)-го порядка.
Поступая так же, как и в предыдущем примере, получим
определить треугольного вида 2-го типа:
1
1
1
1
0
D 0
0
0
0
a2
a1
0
1
0
n ( n 1)
0 ( 1) 2 a a a .
1 2
n
an 0 0 0 0 0