lektsia_5 (2)

1. Лекция №5

Тема: Метод
комплексных
амплитуд

2. Способы представления гармонических токов и напряжений:

1) с помощью временных диаграмм;
2) с применением векторных диаграмм;
3) с использованием комплексных чисел.
A = a + jb

3. Сущность метода комплексных амплитуд

Символический метод комплексных
амплитуд (комплексный метод) основан на
представлении гармонических функций
времени в виде комплексных чисел.
При использовании комплексного метода
алгебраически интерпретируется векторная
диаграмма.
Автор метода – инженер Штейнмец Ч.П.
(США) – 1893 г.,
развил в России академик Миткевич В.Ф.

4. Понятие о комплексных числах

A = a + jb
a = Re[ A]
b = I m [A]
A = a +b
2
2
b
tg =
a
a = Re[ A] = A cos
A = A (cos + j sin ) e j = cos + j sin
−
b = Im[ A] = A sin
A = A e j

5. Формы записи комплексных чисел

Тригонометрическая
A = A (cos + j sin )
Алгебраическая
A = a + jb
Показательная
A = Ae
j

6. Действия с комплексными числами

A = a + jb = A e j a
A + B = (a + jb) + (c + jd ) = (a + c) + j(b + d ),
B = c + jd = B e j b
A − B = (a + jb) − (c + jd) = (a − c) + j(b − d )
A B = Ae
j A
Be
j B
= A Be
j ( A + B )
A = [ A e j A ]n = [ A ]n e jn A
n
j = j sin(
2
j
)=e 2
j
j A = A e 2 = Ae
j A
A
e
A j ( A − B )
A
;
=
= e
;
j B
B Be
B
j ( A + )
2
, − j A = A e
−1A = Ae j = A e j ( B )
−j
2
= Ae
j ( A − )
2
,

7. Комплексный мгновенный синусоидальный ток есть комплексная величина, зависящая от времени, модуль которой равен амплитуде, а

аргумент - и
аргументу заданного синусоидального тока.
Синусоидальному току
i = I m cos( t + i )
соответствует вращающийся вектор
Im
Вращающемуся вектору тока ,
помещённому на комплексную
плоскость соответствует комплексное
число

8. Комплексная амплитуда и комплексный действующий ток

Комплексная амплитуда
синусоидального тока есть
комплексная величина, модуль
которой равен амплитуде, а
аргумент – начальной фазе данного
синусоидального тока.
а)
б)
а)- комплексная
амплитуда тока;
б)- комплексный
действующий ток.
Комплексный действующий
синусоидальный ток есть комплексная
величина, модуль которой равен
действующему значению
синусоидального тока, а аргумент –
начальной фазе этого тока.

9. Пример. Пусть имеется гармонический ток

i(t ) = 5 cos( t + 53 ) A
Записать его комплексный мгновенный ток, комплексную
амплитуду и комплексный действующий ток.
- комплексный мгновенный ток
Im
Комплексная амплитуда тока:
j 53
– в показательной форме;
= 5e A
I m = (5 cos 53 + j5 sin 53 ) A
I m = (3 + 4 j ) A
5 j 53
I=
e A
2
5
I =(
2
– в тригонометрической форме;
– в алгебраической форме.
Комплексный действующий ток:
– в показательной форме;
cos 53 + j
5
– в тригонометрической форме;
sin 53 ) A
2
3
4
I =(
+j
) A – в алгебраической форме.
2
2

10. Сложение комплексных токов

I 3 = a3 + jb3 = (a1 + a2 ) + j (b1 + b2 ) = (a1 + jb1 ) + (a2 + jb2 ) = I 1 + I 2
Геометрической сумме векторов синусоидальных
электрических величин соответствует
алгебраическая сумма комплексных чисел,
изображающих эти векторы.

11. Выводы

1. При переходе от синусоидальных электрических
величин (оригиналов) к их символам (комплексным
числам) удаётся полностью алгебраизовать все
операции над синусоидальными электрическими
величинами.
◼ 2. Это позволяет существенно упростить анализ
линейных цепей синусоидального тока, т.к. даёт
возможность заменить систему интегро-дифференц.
уравнений цепи, составленную для мгновенных
значений токов и напряжений, системой
алгебраических уравнений для комплексных
амплитуд соответствующих токов и напряжений.
◼

12. Комплексное сопротивление пассивного двухполюсника

u=
2U cos( t + u ) = U m cos( t + u )
Um
j u
U me
U m j ( u − i )
Z=
=
=
e
j i
Im
I me
Im
Z = Ze j
Z = r + jx
Z = Z cos + jZ sin
Z=
Um
Im
=
U
I
-модуль комплексного
сопротивления (полное
входным сопротивление)
= u − i

13. Закон Ома в комплексной форме

Георг Симон Ом
1789 – 1854

14. 1 закон Кирхгофа в комплексной форме:

Густав Роберт
Кирхгоф
1824 - 1887
I
mk
=0
k
I
k
k
=0
сумма комплексных
амплитуд
(комплексных
действующих
значений) токов всех
ветвей, подключённых
к каждому из узлов
электрической цепи,
равна нулю.

15. 2 закон Кирхгофа в комплексной форме:

U
n
Густав Роберт
Кирхгоф
1824 - 1887
E = I Z
j
j
i
i
i
mn
=0
U
n
=0
n
сумма комплексных амплитуд
(комплексных действующих значений)
напряжений всех ветвей, входящих в
замкнутый контур электрической цепи,
равна нулю (1-я формулировка)
сумма комплексных ЭДС,
действующих в замкнутом контуре
электрической цепи, равна сумме
комплексных падений напряжений на
комплексных сопротивлениях
участков этого контура (2-я
формулировка)

16.

Закон Ома для активного сопротивления, индуктивности и емкости в комплексной форме
i = 2 I sin( t + i )
I = Ie j ( t + i )
U r = Ie j ( t + i ) r
u = U sin( t + u ) = I m sin( t + i ) r
Закон Ома для r в комплексной форме
dI sin( t + i )
uL = L m
dt
j ( t + i )
d
I
dIe
U = L = L
= j LIe j ( t + i ) = Ie j ( t + i ) jxL
dt
dt
Закон Ома для L в комплексной форме
1
uC =
I m sin( t + i )dt
C
U r = I r
U L = I jxL
1
1
U =
Ie j ( t + i ) dt =
Ie j ( t + i ) = Ie j ( t + i ) (− jxC )
C
j C
Закон Ома для C в комплексной форме
U L = −I jxC
16