Основы символического метода расчёта цепей синусоидального тока. Лекция №1

1. Дисциплина: Теоретические основы электротехники

2.

2

3. Лекция №1

Лекция №7
Тема: «Основы
символического
метода расчёта цепей
синусоидального
тока»

4. Учебные вопросы

1. Представление синусоидальных
величин комплексными
числами.
2. Комплексное сопротивление
пассивного двухполюсника.
Закон Ома в комплексной форме.
3. Комплексная схема замещения
цепи. Законы Кирхгофа в
комплексной форме.

5. Литература

1. Бессонов Л.А.
Теоретические основы
электротехники.
Электрические цепи:
учебник для бакалавров. –
М. : Издательство Юрайт,
2012, с. 79-84.

6.

1. Представление синусоидальных
величин комплексными числами
Способы представления гармонических токов и
напряжений:
1) с помощью временных диаграмм;
2) с применением векторных диаграмм;
3) с использованием комплексных чисел.
Геометрические операции с векторами можно
заменить алгебраическими операциями с
комплексными числами, что существенно повышает
точность получаемых результатов.
Каждому вектору на комплексной плоскости
соответствует определенное комплексное число, которое
может быть записано в различной форме.
6

7. 1.1 Сущность символического метода

Символический метод комплексных амплитуд
(комплексный метод) основан на
представлении гармонических функций
времени в виде комплексных чисел.
При использовании комплексного метода
алгебраически интерпретируется векторная
диаграмма.
Автор метода – инженер Штейнмец Ч.П.
(США) – 1893 г.,
развил в России академик Миткевич В.Ф.

8.

+ ij (Im) Комплексная плоскость
B
a
jс
с
-1
C
A
+1 (Re)
- ij
в
Показательная
форма
Алгебраическая
форма
8

9.

ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФОРМА
9

10.

АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ФОРМА
10

11.

Связь между модулем,
вещественной и мнимой частями
комплексного числа
устанавливается при помощи
прямоугольного треугольника и
теоремы Пифагора:
11

12.

Из треугольника АВС
+j
B
a
A
с
в
+1
C
12

13.

Эти соотношения
позволяют выполнить переход
из алгебраической формы
в показательную форму
13

14.

Из треугольника АВС
+j
B
a
A
с
в
C
+1
14

15.

Эти соотношения
позволяют выполнить переход
из показательной формы
в алгебраическую форму
15

16.

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКАЯ ФОРМА
16

17. 1.2 Действия с комплексными числами

A a jb A e j a
A B (a jb) (c jd ) (a c) j(b d ),
B c jd B e j b
A B (a jb) (c jd ) (a c) j(b d )
A B Ae
j A
Be
j B
A Be
j ( A B )
A [ A e j A ]n [ A ]n e jn A
j A
A
e
A j ( A B )
A
;
e
;
j B
B Be
B
n
j j sin(
2
j
) e 2
j
j A A e 2 Ae
j ( A )
2
, j A A e
1A Ae j A e j ( B )
j
2
Ae
j ( A )
2
,

18.

Действия с комплексными числами
Показательная форма
Тригонометрическая форма
Алгебраическая форма
Показательная форма
Тригонометрическая форма
Алгебраическая форма
18

19.

Умножение:
(модули перемножаются,
аргументы суммируются)
19

20.

Деление:
(модули делятся,
аргументы вычитаются)
20

21.

Сложение:
модуль аргументаргумент
модуль
(отдельно суммируются вещественные
и отдельно суммируются мнимые части)
21

22.

Если вещественная часть
комплексного числа
отрицательная, то к
полученному аргументу
комплексного числа
следует прибавить 180
градусов.
22

23.

ПРИМЕРЫ
23

24.

24

25. 1.3 Представление гармонических токов и напряжений в комплексной форме

Комплексный мгновенный синусоидальный ток есть комплексная
величина, зависящая от времени, модуль которой равен амплитуде, а
аргумент - аргументу заданного синусоидального тока.
Синусоидальному току
i I m cos( t i )
соответствует вращающийся вектор
Вращающемуся вектору тока ,
помещённому на комплексную плоскость
соответствует комплексное число

26. Комплексная амплитуда и комплексный действующий ток

Комплексная амплитуда
синусоидального тока есть
комплексная величина, модуль
которой равен амплитуде, а
аргумент – начальной фазе данного
синусоидального тока.
а)
б)
а)- комплексная
амплитуда тока;
б)- комплексный
действующий ток.
Комплексный действующий
синусоидальный ток есть комплексная
величина, модуль которой равен
действующему значению
синусоидального тока, а аргумент –
начальной фазе этого тока.

27.

Поставим в соответствие реальной
функции времени
амплитуда
комплексное число
модуль
фаза колебаний
аргумент
в тригонометрической форме
реальная часть (Re)
мнимая часть (Im)
27

28.

Мнимая часть
комплексного числа
полностью соответствует
реальной функции времени
28

29.

комплексная
амплитуда
– комплекс мгновенного значения
– оператор вращения
29

30.

Комплекс действующего значения
функции ЭДС, напряжения или тока
или комплекс функции имеет
вид:
30

31. Пример. Пусть имеется гармонический ток

i(t ) 5 cos( t 53 ) A
Записать его комплексный мгновенный ток, комплексную
амплитуду и комплексный действующий ток.
- комплексный мгновенный ток
Im
Комплексная амплитуда тока:
j 53
– в показательной форме;
5e A
I m (5 cos 53 j5 sin 53 ) A
I m (3 4 j ) A
5 j 53
I
e A
2
5
I (
2
– в тригонометрической форме;
– в алгебраической форме.
Комплексный действующий ток:
– в показательной форме;
cos 53 j
5
– в тригонометрической форме;
sin 53 ) A
2
3
4
I (
j
) A – в алгебраической форме.
2
2

32. 1.4 Операции над комплексными токами и напряжениями. Сложение комплексных токов

I 3 a3 jb3 (a1 a2 ) j (b1 b2 ) (a1 jb1 ) (a2 jb2 ) I 1 I 2
Геометрической сумме векторов синусоидальных
электрических величин соответствует
алгебраическая сумма комплексных чисел,
изображающих эти векторы.

33. Дифференцирование и интегрирование гармонических функций

di
I m sin( t i ) I m cos( t i )
dt
2
Im
Im
idt sin( t i ) cos( t i 2 )
idt e
Im
j ( t i
2
)
Im
e
j ( t i )
e
j
2
i
idt j

34. Выводы

1. Операции дифференцирования (интегрирования)
синусоидальных функций можно заменить алгебраическими
операциями умножения (деления) комплексных мгновенных
значений (комплексных амплитуд) этих функций на jω.
2. При переходе от синусоидальных электрических величин
(оригиналов) к их символам (комплексным числам)удаётся
полностью алгебраизовать все операции над
синусоидальными электрическими величинами.
3. Это позволяет существенно упростить анализ линейных
цепей синусоидального тока, т.к. даёт возможность заменить
систему интегро-дифференциальных уравнений
электрического равновесия цепи, составленную для
мгновенных значений токов и напряжений ветвей, системой
алгебраических уравнений для комплексных амплитуд
соответствующих токов и напряжений.

35. 2. Комплексное сопротивление пассивного двухполюсника. Закон Ома в комплексной форме.

i 2I cos( t i ) U m cos( t i ),
u
2U cos( t u ) U m cos( t u )
U me j u U m j ( u i )
Z
e
j i
Im
I me
Im
Um
Z Ze j
Z r jx
Z Z cos jZ sin
-модуль комплексного
сопротивления (полное
входное сопротивление)
u i

36. Закон Ома в комплексной форме

Георг Симон Ом
1789 – 1854

37. 3. Комплексная схема замещения цепи. Законы Кирхгофа в комплексной форме.

Идеализированному пассивному двухполюснику можно
поставить в соответствие комплексную схему замещения,
на которой рассматриваемый участок цепи представлен
комплексным сопротивлением или проводимостью, а токи
или напряжения на его зажимах – комплексными
амплитудами (рис. а) или комплексными действующими
значениями (рис. б)
Комплексная схема замещения цепи может
быть получена из схемы замещения для
мгновенных значений заменой всех
идеализированных пассивных
двухполюсников их комплексными
сопротивлениями (проводимостями) и всех
токов и напряжений – их комплексными
изображениями.

38. Первый закон Кирхгофа в комплексной форме

Густав Роберт
Кирхгоф
1824 - 1887
I
mk
0
k
I
k
k
0
Мгновенное значение токов и напряжений
различных ветвей электрической цепи
связаны между собой линейными
алгебраическими уравнениями баланса
токов и напряжений, составляемые на
основании закона Кирхгофа.
Учитывая, что суммированию гармонических
функций времени соответствует
суммирование их комплексных
изображений, перейдём от законов
Кирхгофа для мгновенных значений токов и
напряжений и законов Кирхгофа для
комплексных изображений токов и
напряжений
Сумма комплексных амплитуд
(комплексных действующих
значений) токов всех ветвей,
подключённых к каждому из узлов
электрической цепи, равна нулю.

39. Второй закон Кирхгофа в комплексной форме:

U mn 0 U n 0
n
Густав Роберт
Кирхгоф
1824 - 1887
E I Z
j
j
i
i
i
n
Сумма комплексных амплитуд
(комплексных действующих значений)
напряжений всех ветвей, входящих в
замкнутый контур электрической цепи,
равна нулю (1-я формулировка)
Сумма комплексных ЭДС,
действующих в замкнутом контуре
электрической цепи, равна сумме
комплексных падений напряжений на
комплексных сопротивлениях
участков этого контура (2-я
формулировка)

40.

Спасибо
за работу и внимание!
Конец урока

41.

41