Основы символического метода расчета электрических цепей переменного тока

1. Основы символического метода расчета электрических цепей переменного тока

2.

Символический метод
Комплексные числа
0
2
А =А еjα- показательная форма;
A = Acosα +jAsinα
2
A=1
A=j
A =- j
A =- 1
Изображение производной от синусоидальной функции
i(t) =Imsinωt
Imejωt
di(t )
Im sin( t )
dt
2
di(t )
dt
Imωej(ωt+π/2) = Imωejωtejπ/2 =jωIm ejωt
Imejωt jω
Переменный ток

3.

Символический метод
Изображение производной от некоторой функции равно
изображению самой функции умноженному на jω.
Изображение интеграла от синусоидальной функции
i(t) =Imsinωt
Imejωt
Im
i(t )dt
sin( t )
2
I m j t
e e
2
Изображение интеграла от некоторой функции
изображению самой функции деленному на jω.
Переменный ток
1
I me j t
j
равно

4.

Символический метод
Комплексное сопротивление
i(t)
R
L
С
u(t)= ur(t)+uc(t)+uL(t)
uR(t)
uL(t)
uC(t)
u(t)
i(t)=Imsinωt
U me
j t
RI m e
1
u(t ) i(t )R
C
di(t )
i(t )dt L
dt
Im e jωt
j t
1 1
I m e j t Lj I m e j t
c j
Переменный ток

5.

Символический метод
1 j t
1
Im (R j L j
)e
I m [R j( L
)]e j t
c
c
I m [R j(xL xc )]e j t
Z
Z = R+ j (xL-xc) –
i(t) = Imsin (ωt+φ)
полное сопротивление участка
электрической цепи.
Im e jωt ejφ
I m= Im e jφ- комплексная амплитуда
Переменный ток

6.

Символический метод
I = I e jφ- комплексное действующее значение
I e jωt
i(t)
Вращающий множитель
Комплексная проводимость
Y
Im
Um
I
U
Y = Ye jφ=Y
φ = g- jb
1
1
g jb
g
b
z
2
j 2
2
Y
g jb g jb
g b
g b2
Z = R- jX
R=
g
g2 b2
Переменный ток
X =
b
g2 b2

7.

Символический метод
Законы Кирхгофа в символической форме
1.Первый закон Кирхгофа
n
I
n
i (t ) 0
k
k 1
k 1
k
0
2.Второй закон Кирхгофа
n
di k (t ) 1
i k (t )Rk Lk
dt
c
k 1
n
I
k 1
k
n
i (t)dt e (t)
k
k
k 1
zk
Переменный ток
n
E
k 1
k

8.

Символический метод
Законы Ома и Кирхгофа, записанные в символической форме
абсолютно аналогичны, законам Ома и Кирхгофа записанным для цепей
постоянного тока. Отсюда следует, что все методы расчета,
разработанные для цепей постоянного тока, могут быть использованы
для расчета цепей синусоидального тока с формальной заменой
действительных чисел на комплексные.
Пример
Е1
Е2
I1
I2
R
XL
2
1
Е3
I3
Xc
U 21
Рис.1
Переменный ток
E
E
I
I
R
Z
g
Y

9.

Символический метод
На постоянном токе
На переменном токе
n
E g
k
U1 2
k 1
m
g
n
k
(1)
U1 2
k
k 1
E
k 1
m
k
Yk
Y
k 1
(2)
k
Воспользуемся формулой(2) для схемы рис 1.
U21
E1
1
1
1
E2
E3
R
jxL
jxc
1
1
1
R
jxL
jxc
Переменный ток
1
Zc
j c
1
j
j
Zc jxc

10.

Символический метод
I1
U 21 E1
I2
R
U 21 E2
jxL
I3
U 21 E3
jxc
Комплекснaя мощность
*
S UI
φ =φu- φi
*
I
-сопряженный комплекс тока ( I=2
U =U
100 ,
*
I 2 100 ).
φU
I=I
φi
S U U I i UI u i UI cos jUI sin
Переменный ток
P
Q

11.

Символический метод
S= P+jQ
В электрической цепи переменного тока соблюдается
баланс мощностей в символической форме, т. е. Р потр.=Ротд.;
Qпотр=Q отд.; Sотд= S потр.
I
Z
U =I Z
U
*
*
S ï î òð . UI ZII I Z
Sïîòð .
Sîòä
n
2
I 2 Z Pïîòð jQïîòð .
k 1
n
E
k 1
*
k
I
n
U
k 1
Переменный ток
*
ik
Ik