ЛА_Лек3_1_СЛУ

1.

Лекция: Системы линейных алгебраических
уравнений
Основные понятия, теорема Кронекера – Капелли и метод Гаусса
Содержание
1 Системы линейных алгебраических уравнений
1.1 Основные понятия и определения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Совместность и классификация систем . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1
2
2 Теорема Кронекера – Капелли
2.1 Формулировка и следствия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Алгоритм исследования системы по теореме Кронекера – Капелли . . .
3
3
4
3 Метод Гаусса решения систем линейных уравнений
3.1 Прямой и обратный ход метода Гаусса . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Пример решения невырожденной системы (единственное решение) . . .
5
5
6
4 Метод Гаусса в произвольных системах линейных уравнений
4.1 Алгоритм нахождения общего решения неопределенной СЛАУ . . . . .
4.2 Пример решения прямоугольной неопределенной системы . . . . . . . .
7
7
8
1
Системы линейных алгебраических уравнений
1.1
Основные понятия и определения
Определение (СЛАУ):
Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), содержащей m уравнений и n неизвестных, называется система вида:
a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = b1 ,
a x + a x + · · · + a x = b ,
21 1
22 2
2n n
2
.................................
am1 x1 + am2 x2 + · · · + amn xn = bm ,
где aij (i = 1, m, j = 1, n) — коэффициенты системы, bi — свободные члены, xj
— неизвестные.
1

2.

Определение (Матричная форма СЛАУ):
В компактной матричной форме система записывается как:
A · X = B,
где:
a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
• A =
. . . . . . . . . . . . — основная матрица коэффициентов размера
am1 am2 . . . amn
m × n;
x1
x2
• X = .. — вектор-столбец неизвестных размера n × 1;
.
xn
b1
b2
• B = .. — вектор-столбец свободных членов размера m × 1.
.
bm
Определение (Расширенная матрица):
Расширенной матрицей системы A называется основная матрица A, дополненная столбцом свободных членов B:
a11 a12 . . . a1n
b1
a21 a22 . . . a2n
b2
A=
.. .
... ... ... ...
.
am1 am2 . . . amn
bm
1.2
Совместность и классификация систем
Определение (Решение системы):
Решением СЛАУ называется совокупность значений неизвестных x1 = c1 , x2 =
c2 , . . . , xn = cn , при подстановке которых каждое уравнение системы обращается
в тождество.
Определение (Совместность и несовместность):
Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно
решение.
Система уравнений называется несовместной, если она не имеет ни одного
решения.
2

3.

Определение (Определенность и неопределенность):
Совместная система называется определенной, если она имеет ровно одно
(единственное) решение.
Совместная система называется неопределенной, если она имеет более одного (бесконечно много) решений.
Определение (Эквивалентные системы):
Две СЛАУ называются эквивалентными (равносильными), если множества
их решений совпадают. Эквивалентные системы получаются с помощью элементарных преобразований над строками расширенной матрицы.
2
Теорема Кронекера – Капелли
2.1
Формулировка и следствия
Критерий совместности произвольной СЛАУ дается следующей теоремой:
Теорема Кронекера – Капелли:
Система линейных алгебраических уравнений A · X = B совместна тогда и
только тогда, когда ранг основной матрицы системы равен рангу ее расширенной
матрицы:
r(A) = r(A).
Следствия из теоремы Кронекера – Капелли:
1. Если r(A) ̸= r(A), то система несовместна (не имеет решений).
2. Если r(A) = r(A) = n (где n — число неизвестных), то система совместна
и определенна (имеет единственное решение).
3. Если r(A) = r(A) = r < n, то система совместна и неопределенна
(имеет бесконечно много решений).
3

4.

2.2
Алгоритм исследования системы по теореме Кронекера –
Капелли
Схема исследования и решения произвольной СЛАУ:
Шаг 1. Вычислить ранги основной матрицы r(A) и расширенной матрицы
r(A).
Шаг 2. Проверить условие совместности:
• Если r(A) ̸= r(A) ⇒ Сделать вывод: система несовместна. Завершить работу.
• Если r(A) = r(A) = r ⇒ Система совместна. Перейти к Шагу 3.
Шаг 3. Выбрать базисный минор порядка r.
Шаг 4. Выделить r главных неизвестных (соответствующих столбцам базисного минора) и n − r свободных неизвестных.
Шаг 5. Оставить главные неизвестные в левой части, а свободные переносом
перенести в правую часть.
Шаг 6. Выразить главные неизвестные через свободные, получив общее
решение системы.
4

5.

3
Метод Гаусса решения систем линейных уравнений
Метод Гаусса (метод последовательного исключения неизвестных) является универсальным прямым методом решения любых СЛАУ.
3.1
Прямой и обратный ход метода Гаусса
Алгоритм метода Гаусса:
I этап: Прямой ход
1. Привести расширенную матрицу системы A к ступенчатому (трапециевидному или треугольному) виду с помощью элементарных преобразований
над строками.
2. На каждом шаге выбирается главный (ненулевой) элемент akk ̸= 0 и с его
помощью обнуляются элементы aik под ним (i > k).
3. Если в процессе возникают нулевые строки (0 = 0), их вычеркивают.
4. Если возникает строка вида (0 0 . . . 0 | bi ), где bi ̸= 0, процесс прерывают
— система несовместна.
II этап: Обратный ход
1. Записать ступенчатую систему уравнений.
2. Если система треугольная (r = n), то последовательно из последнего уравнения найти xn , затем подстановкой вверх — xn−1 , . . . , x1 .
3. Если система ступенчатая (r < n), то из каждого уравнения выразить
главные неизвестные через свободные, двигаясь снизу вверх.
5

6.

3.2
Пример решения невырожденной системы (единственное
решение)
Пример 1. Решить методом Гаусса систему:
x1 + x2 + x3 = 3,
2x1 + 3x2 + 2x3 = 7,
3x1 + x2 + x3 = 5.
Решение:
Шаг 1. Запишем расширенную матрицу системы:
1 1 1
3
7
A = 2 3 2
3 1 1
5
Шаг 2. Прямой ход:
3
1 1 1
1 1
1
0
7 ← II − 2 · I ∼ 0 1
A = 2 3 2
5 ← III − 3 · I
3 1 1
0 −2 −2
1 1 1
∼ 0 1 0
0 1 1
3
1 ← III/(−2)
−4
3
1 1 1
1 ← III − II ∼ 0 1 0
2
0 0 1
Шаг 3. Обратный ход. Получена треугольная система:
x1 + x2 + x3 = 3,
x2 = 1,
x3 = 1.
Подставляя x2 = 1 и x3 = 1 в первое уравнение, получаем:
x1 + 1 + 1 = 3 =⇒ x1 = 1.
Ответ: x1 = 1, x2 = 1, x3 = 1 или X = (1, 1, 1)T .
6
3
1
1

7.

4
Метод Гаусса в произвольных системах линейных
уравнений
Для произвольной системы линейных уравнений размерности m×n прямой ход метода Гаусса позволяет наглядно установить совместность или несовместность, а также
найти общее решение неопределенной системы.
4.1
Алгоритм нахождения общего решения неопределенной
СЛАУ
Алгоритм работы с произвольной системой (m × n):
1. Выполнить прямой ход методом Гаусса над матрицей A, приведя ее к ступенчатому виду:
′
b′1
a11 a′12 . . . a′1r . . . a′1n
0 a′22 . . . a′2r . . . a′2n
b′2
..
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
b′r
0 . . . a′rr . . . a′rn
0
0 ... 0 ... 0
b′r+1
0
..
... ... ... ... ... ...
.
2. Оценить совместность:
• Если b′r+1 ̸= 0, то строка 0 = b′r+1 противоречива ⇒ система несовместна.
• Если всех ненулевых элементов в столбце свободных членов ниже r-й строки нет, то r(A) = r(A) = r ⇒ система совместна.
3. Если r < n, определить главные неизвестные (x1 , . . . , xr ) и свободные неизвестные (xr+1 , . . . , xn ).
4. Выполнить обратный ход, выразив главные неизвестные через свободные:
xi = fi (xr+1 , . . . , xn ),
7
i = 1, . . . , r.

8.

4.2
Пример решения прямоугольной неопределенной системы
Пример 2. Решить методом Гаусса систему:
x1 − 2x2 + x3 + x4 = 1,
x1 − 2x2 + x3 − x4 = −1,
x1 − 2x2 + x3 + 3x4 = 3.
Решение:
Шаг 1. Выпишем расширенную матрицу системы и выполним элементарные
преобразования строк:
1 −2 1 1
1
1 −2 1 1
1
−1 ← II − I ∼ 0 0 0 −2
−2 ← II/(−2)
A = 1 −2 1 −1
← III − I
← III/2
3
2
1 −2 1 3
0 0 0 2
1 −2 1 1
∼ 0 0 0 1
0 0 0 1
1
1 −2 1 1
1 ← III − II ∼ 0 0 0 1
1
0 0 0 0
1
1
0
Шаг 2. Анализ рангов:
r(A) = 2,
r(A) = 2,
n = 4.
Так как r(A) = r(A) = 2 < 4, система совместна и имеет бесконечно много
решений.
Шаг 3. Выберем в качестве главных неизвестных x3 , x4 , а в качестве свободных — x1 , x2 .
Восстановим ступенчатую систему:
(
x1 − 2x2 + x3 + x4 = 1,
x4 = 1.
Шаг 4. Выражаем главные неизвестные через свободные:
x4 = 1,
x3 = 1 − x1 + 2x2 − x4 = 1 − x1 + 2x2 − 1 = −x1 + 2x2 .
Ответ (общее решение):
(
x3 = −x1 + 2x2 ,
где x1 , x2 ∈ R — свободные переменные.
x4 = 1,
Частное решение: Положив x1 = 0, x2 = 0, получим частное решение
Xчаст = (0, 0, 0, 1)T .
8