3Ранг матрицы. Обратная матрица

1.

ЛЕКЦИЯ 3
РАНГ МАТРИЦЫ. ОБРАТНАЯ МАТРИЦА

2.

Ранг матрицы
a11 a12 ... a1n
a21 a22 ... a2 n
В матрице Am n =
... ... ... ...
a
a
...
a
m2
mn
m1
выделим произвольные k строк и k столбцов,
k ≤ min{m; n}.
Минором k-того порядка Mk матрицы A
называется определитель k-того порядка,
образованный из элементов матрицы A,
расположенных на пересечении выделенных рядов.
Минор второго порядка
a11 a12
M2 =
матрицы А:
a21
a22

3.

Пример. Для матрицы
третьего порядка:
Выделяем три строки
5 3
Выделяем три столбца
A = 4 2
Выписываем элементы,
стоящие на пересечении 3 4
выделенных рядов
5 3 7
4 2 1,
3 4 2
А найти все миноры
7
1
1 − 2 .
2 − 3
5
4
3
3
1
2 −2 ,
4 −3
3
2
4
7
1
1 −2.
2 −3
5
4
3
7
1
1 −2 ,
2 −3

4.

Рангом матрицы А называется
наибольший порядок отличного от нуля минора
этой матрицы (обозначение rA, r(A), rang A ).
Рассмотрим два метода вычисления ранга матрицы.
Метод окаймляющих миноров
Окаймляющим минор Mk называется минор Mk+1,
содержащий в себе ранее выбранный минор Mk.
Пусть матрица A имеет минор Mk ≠ 0.
Если все миноры Mk+1 окаймляющие Mk,
равны нулю, то rA=k.
Иначе, рассматриваем миноры Mk+2 (если они
существуют), окаймляющие Mk+1 ≠ 0.

5.

1 − 2 3 0
A = − 1 2 4 3 .
0 − 5 0 2
Пример. Найти ранг матрицы
Выберем ненулевой минор 1-го порядка:
M1 = 1 ≠ 0.
Найдём окаймляющий М1 ненулевой минор
2-го порядка: 1 − 2
1 3
M2 =
= 0, M 2 =
=7 0,
−1 2
−1 4
Найдём окаймляющий М2 ненулевой минор
3-го порядка:
1 −2 3
1 3
3+ 2
= 5 (4 + 3) = 35 0.
M 3 = − 1 2 4 = − 5 (−1)
−1 4
0 −5 0
Миноров 4-го порядка матрица А не имеет. Значит, rA=3.

6.

Метод элементарных преобразований
В соответствии со свойствами определителей
элементарные преобразования матрицы не меняют
её ранг. Поэтому ранг матрицы равен числу
ненулевых строк эквивалентной ей
трапециевидной матрицы.
1 4 7
Пример. Найти ранг матрицы A = 2 5 8 .
3 6 9
Приведем матрицу А к трапециевидной форме:
1 4 7
2 5 8 ~
3 6 9
4
7
1
0 − 3 − 6 ~
0 − 6 − 12
1 4 7
0 3 6 .
0 0 0
В трапециевидной матрице две ненулевые
строки. Значит, rA=2.

7.

Невырожденной называется квадратная матрица
порядка n, ранг которой равен n (Δ ≠ 0).
Вырожденной называется квадратная матрица
порядка n, ранг которой меньше n (Δ = 0).
Матрица из
вырожденной
предыдущего примера является
или
невырожденной?

8.

Обратная матрица
Обратной невырожденной квадратной матрице А
называется матрица А-1 такая, что их произведение
равно единичной матрице:
АА-1=А-1А=Е .
Построение обратной матрицы Как?
1. Проверяем матрицу на невырожденность.
2. Если обратная матрица существует,
транспонируем данную матрицу.
3. В матрице АТ заменяем каждый элемент
его алгебраическим дополнением
(получаем
~
присоединённую матрицу A ).
~
4. Делим каждый элемент матрицы A
1~
−1
A = A.
на определитель матрицы А:

9.

Пример. Найти матрицу обратную А, если
3 − 1
.
A =
2 1
Решение.
1.
3 −1
=
= 5 0, значит А-1 существует.
2
1
3 2
Т
.
2. Транспонируем А: A =
− 1 1 ~
3. Строим присоединённую матрицу A.
A12 = (−1) (−1) = 1,
2+ 2
2+1
A21 = (−1) 2 = −2, A22 = (−1) 3 = 3.
A11 = (−1) 1 = 1,
1+1
1+ 2
1
1
1
1
−1
Значит, A =
= 5
5 − 2 3 − 2
5
1
5 .
3
5