Математика Лекция 2 24-25-_1_

1.

МАТЕМАТИКА
1 СЕМЕСТР
ЛЕКЦИЯ 2. ОБРАТНАЯ МАТРИЦА. РЕШЕНИЕ
МАТРИЧНЫХ УРАВНЕНИЙ. РАНГ МАТРИЦЫ

2.

§3. Обратная матрица
Матрица B называется обратной к квадратной матрице A, если A B= B A=Е.
Обозначение: В= A−1.
Замечание. Не для всякой матрицы существует обратная.
1 0 1 a11 a12
A
, A
.
Пример 1. Пусть
0 0
a21 a22
1 0 a11 a12 a11 a12
1
A A
.
Тогда
0
0 0 a21 a22 0
Матрица A не имеет обратной, так как A A−1 Е.
Если для матрицы A существует обратная A−1, то матрица A называется обратимой
(невырожденной).

3.

Свойства операции обратимости матрицы
1. (AB) −1= B −1A −1.
2. (A −1) −1 = A.
3. (AT) −1 = (A−1)T.
4. Если для матрицы A существует обратная A−1, то она единственна.
Теорема 1. Если определитель матрицы A равен нулю, то матрица A не имеет
обратной.
Доказательство. Проведем доказательство методом от противного. Допустим, что
существует обратная матрица A−1. Тогда A A−1=Е и det(A A−1) = det E = 1.
С другой стороны, det A=0 и det(A A−1) = det A det A−1=0. Получили противоречие.
Следовательно, исходная матрица A не имеет обратной.

4.

Теорема 2. Если определитель матрицы A отличен от нуля, то
обратная матрица A −1 существует и вычисляется по формуле
A11
A
1
21
A 1
det A ...
An1
A12
A22
...
An 2
T
... A1n
... A2 n
;
... ...
... Ann
где Aij − алгебраические дополнения элементов aij матрицы A
(i, j=1, 2,…,n).

5.

Пример 2. Найти обратные матрицы для матриц
1 1 1
2 3
1 2 3 (если они существуют).
A
,
B
1
4
1 3 6

6.

7.

Вычисление обратной матрицы
методом элементарных преобразований
Рассмотрим следующие элементарные преобразования матрицы:
1) перестановка любых двух строк матрицы;
2) умножение строки матрицы на число, отличное от нуля;
3) прибавление к элементам строки соответствующих элементов другой
строки матрицы, умноженных на некоторое число.
Если матрица В получена из матрицы А с помощью элементарных
преобразований, то матрицы А и В называют эквивалентными и записывают
A B.

8.

Для нахождения обратной матрицы методом элементарных
преобразований (методом Гаусса) следует:
- построить расширенную матрицу (A|E), приписывая к матрице A
справа единичную матрицу того же порядка;
- используя элементарные преобразования строк расширенной
матрицы, получить на месте матрицы A единичную матрицу E;
тогда на месте единичной матрицы будет обратная матрица A−1.
Схема этого процесса: (A|E) … (E|A −1).

9.

Пример 3. Найти обратную матрицу для
методом элементарных преобразований.
1 1 1
A 1 2 3
1 3 6

10.

Решение матричных уравнений
С помощью обратной матрицы можно решить матричное уравнение вида
AX =B (или XA=B), где А – квадратная матрица.
Если матрица A невырожденная (det A 0), то для нее существует обратная A−1.
Тогда, умножив уравнение AX=B слева на A −1 получим
A −1AX=A −1B, откуда X=A −1B.
Уравнение XA=B умножаем справа на A −1 и получим X=BA −1.

11.

Решение матричных уравнений
методом элементарных преобразований
Рассмотрим уравнение AX =B.
Составим расширенную матрицу (A|B).
Тогда (A|B) … (E|X).
Рассмотрим уравнение XA=B.
Транспонируем обе части уравнения: (XA)Т=BТ AТXТ=BТ,
тогда (AТ|BТ) … (E|XТ) X=(XТ)Т.

12.

Понятие ранга матрицы
Рассмотрим матрицу A размера m n:
a11 a12
a
a22
21
A
...
...
am1 am 2
... a1n
... a2 n
.
... ...
... amn
Выделим в матрице k строк и k столбцов (k min(m, n)).
Из элементов, стоящих на пересечении выделенных строк и столбцов
составим определитель порядка k. Все такие определители называются
минорами порядка k.

13.

Рангом матрицы A называется наивысший порядок ненулевого минора.
Минор, порядок которого определяет ранг матрицы, называется базисным (у матрицы
может быть несколько базисных миноров).
Обозначение ранга матрицы A: r(A), rg(A), rang(A).

14.

Добавим к элементарным преобразованиям матрицы, перечисленным ранее,
вычеркивание нулевой строки (столбца) или одной из двух пропорциональных строк
(столбцов).
Свойства ранга матрицы
-
rang(A) = rang(AT);
если вычеркнуть нулевую строку (столбец), ранг не изменится;
ранг не меняется при элементарных преобразованиях матрицы.
Замечание: с помощью элементарных преобразований матрицу А приводят к
ступенчатому виду, тогда количество ненулевых строк в ступенчатом виде матрицы
равно rang(A).

15.

Пример 4. Вычислить ранг матрицы двумя способами для
1 2 3
A 0 1 1
1 0 1