Динамика вращательного движения твёрдого тела

1.

Доцент кафедры «Теплоэнергетики и Физики»,
кандидат технических наук,
Алджамбекова Гулдана Тлеужановна
g.aldzhambekova@aues.kz
Алджамбекова Г.Т.,доц.каф."ФЭТ"АУЭС
1

2. Динамика вращательного движения твердого тела

«Для составления физических представлений следует освоиться с
существованием физических аналогий. Под физической
аналогией я понимаю то частное сходство между законами двух
каких-нибудь областей науки, благодаря которому одна из них
является иллюстрацией для другой»
Максвелл
Динамика вращательного
движения твердого тела
Алджамбекова Г.Т.,доц.каф."ФЭТ"АУЭС
2

3.

План лекции:
1. Момент импульса. Момент силы. Момент инерции
твердого тела.
2. Теорема Штейнера.
3. Уравнение динамики вращательного движения
твердого тела относительно неподвижной оси.
4. Аналогия между описанием вращательного и
поступательного движений.
Алджамбекова Г.Т.,доц.каф."ФЭТ"АУЭС
3

4. Литература:

⚫
Савельев И.В. Курс общей физики .- М.: Наука, 2005. - т. 1, 2, 3.
Детлаф А.А. , Яворский Б.М. Курс физики. -М.: Высш. шк., 2006.
Трофимова Т.И. Курс физики. -М.: Высш. шк. , 2004.
⚫
Грабовский Р.И., Курс физики, 2008.
⚫
Кикоин А. Вращательное движение тел (№1, 1971)
⚫
⚫
Стрелков С.П. Механика. Москва, 1979 г.
⚫ http://elementy.ru/trefil/21152
⚫ Physclips . Мультимедийное введение в физику.
http://www.animations.physics.unsw.edu.au/jw/rotation.htm.
⚫
⚫
http://physics.nad.ru/Physics/Cyrillic/mech.htm
https://www.youtube.com/watch?v=tCHEvq_5VnY
⚫ https://www.youtube.com/watch?v=UZk2-xIrb3c
⚫ https://www.youtube.com/watch?v=8IKEOoNMJQM
⚫ https://www.youtube.com/watch?v=UZk2-xIrb3c&t=8s
Читайте книги: Орир Д. Популярная физика. М.: Мир, 1964, или Купер Л. Физика для всех. М.: Мир,
1973. Т. 1. Из них вы узнаете много интересного о движении планет, колёс, волчков, вращении
гимнаста на перекладине и... многое другое про вращательное движение.
⚫
Алджамбекова Г.Т.,доц.каф."ФЭТ"АУЭС
4

5. Введение

Вращательным движением
твёрдого тела или системы тел
называется такое движение,
при котором все точки
движутся по окружностям,
центры которых лежат на
одной прямой, называемой
осью вращения, а плоскости
окружностей перпендикулярны
оси вращения.
Введение
Примеры: роторы турбин, шестерни и валы станков и
машин и др.
Алджамбекова Г.Т.,доц.каф."ФЭТ"АУЭС
5

6. Абсолютно твёрдое тело — физическая модель

Абсолютно твердое тело (а.т.т.) - не деформируемое тело,
расстояние между любыми двумя точками которого при всех
условиях остается постоянным.
Алджамбекова Г.Т.,доц.каф."ФЭТ"АУЭС
6

7. Динамика вращательного движения

Динамика поступательного
движения материальной
точки оперирует такими
понятиями, как сила, масса,
импульс.
Ускорение поступательно
движущегося тела зависит от
действующей на тело силы
(суммы действующих сил) и
массы тела (второй закон
Ньютона):
• Основная задача динамики
вращательного движения:
Установить связь углового
ускорения вращательного
движения тела с силовыми
характеристиками его
взаимодействия с другими
телами и собственными
свойствами вращающегося тела.
F
a=
m
Алджамбекова Г.Т.,доц.каф."ФЭТ"АУЭС
7

8.

Fi = mi ai
ai = ri
ri
Основное уравнение динамики
вращательного движения
2
ri Fi = mi ri . (1)
ri Fi = M i
mi ri = I i
2
Алджамбекова Г.Т.,доц.каф."ФЭТ"АУЭС
8

9. Основное уравнение динамики вращательного движения

M i = I i
M i = I i
M = I
М – суммарный момент сил
относительно некоторой
оси; J – момент инерции
тела относительно данной
оси;
- угловое ускорение.
Момент вращающей силы, приложенной к телу, равен
произведению момента инерции на угловое ускорение – это
основной закон вращательного движения.
Алд ж амбекова Г.Т.,доц.каф."ФЭТ"АУЭС
9

10.

Момент инерции
2
M i = mi ri . (1)
mi ri = I i
2
Моментом инерции тела называется скалярная величина, являющаяся
мерой инертности тела во вращательном движении и равная сумме
произведений масс всех частиц тела на квадраты их расстояний от оси
вращения.
2
i i
I = m r
Алджамбекова Г.Т.,доц.каф."ФЭТ"АУЭС
10

11.

Момент инерции
Моментом инерции является мерой инертности при
вращательном движении.
Моментом инерции абсолютно твердого тела зависит:
1) От массы тела;
2) От формы и размеров тела;
3) От распределения массы относительно оси вращения (при
переносе оси вращения, изменения ее направления, а также
переносе отдельных частей тела его момент инерции
изменяется).
Алджамбекова Г.Т.,доц.каф."ФЭТ"АУЭС
11

12.

Момент инерции
Моменты инерции некоторых тел
Шар
I =
2
mr 2
5
Однородная пластинка
I =
Тонкостенная сфера
I =
1
I =
ml 2
12
2
mr 2
3
Сплошной цилиндр
1
m( a 2 + b 2 )
12
I =
1
mr 2
2
Однородный стержень
Толстостенный цилиндр
I =
1
m( r12 + r22 )
2
Алджамбекова Г.Т.,доц.каф."ФЭТ"АУЭС
Диск
Диск
1
mr 2
4
1
I = mr 2
2
I =
Тонкостенный цилиндр
Произвольное тело
I = mr 2
I = mi ri 2
12

13.

Теорема Штейнера
• Теорема Штейнера: момент инерции твёрдого тела относительно
произвольной оси I равен сумме момента инерции этого тела
I0 относительно оси, проходящей через центр масс тела
параллельно рассматриваемой оси, и произведения массы тела m
на квадрат расстояния d между осями:
I = I 0 + md
Алджамбекова Г.Т.,доц.каф."ФЭТ"АУЭС
2
13

14. Теорема Штейнера

I = I 0 + md 2
• Применение теоремы Штейнера.
• Задание. Определить момент инерции
однородного стержня длиной l
относительно оси, проходящей через один
из его концов перпендикулярно стержню.
• Решение. Центр масс однородного стержня
расположен посредине, поэтому момент
инерции стержня относительно оси,
проходящей через один из его концов, равен
2
1
1
l
2
I =
ml + m = ml 2 .
12
3
2
При переносе оси вращения из центра масс в конец стержня его момент инерции увеличился в 4 раза.
Алджамбекова Г.Т.,доц.каф."ФЭТ"АУЭС
14

15. Момент силы

Моментом силы F относительно неподвижной
точки O называется физическая величина,
определяемая векторным произведением радиусавектора, проведенного из точки O в точку N
приложения силы, на силу:
M = r, F
Модуль момента силы: M = Frsina = Fl,
l = rsina - плечо силы - кратчайшее расстояние между линией
действия силы и точкой; a- угол между r и F
Алджамбекова Г.Т.,доц.каф."ФЭТ"АУЭС
15

16.

Поступательное движение
Вращательное движение
Масса
m, m = кг
Момент инерции I = kmr2 , I = кг м 2
Сила
F,
Момент силы
F = Н
M = Fl ; М , M = Н м
Основное уравнение динамики
F
a=
m
Основное уравнение динамики
M
=
I
Ускорение поступательно
движущегося тела прямо
пропорционально сумме всех
действующих на него сил и обратно
пропорционально массе тела.
Угловое ускорение вращающегося
тела прямо пропорционально сумме
моментов всех действующих на него
сил относительно оси вращения тела
и обратно пропорционально
моменту инерции тела относительно
этой оси вращения.
Принципиальная разница: масса является инвариантом и не зависит от того, как тело движется. Момент
инерции изменяется при изменении положения оси вращения или её направления в пространстве.
16

17.

Момент импульса
Моментом импульса (количества движения)
материальной точки относительно неподвижной точки О
называется физическая величина, определяемая
векторным произведением:
2
2
L = ri mi i = = r = m i ri = m i ri = J
Момент импульса тела относительно оси вращения равен
произведению момента инерции тела относительно этой оси на его
угловую скорость.
dL
d
d ( I ) dL
M = I =
I=
=
M
=
dt Алджамбекова
dt Г.Т.,доц.каф."ФЭТ"АУЭС
dt
17
dt

18. Запишем основное уравнение вращательного движения для тела или системы тел:

Закон сохранения момента импульса.
Запишем основное уравнение вращательного движения для тела или
системы тел:
Если система изолирована или моменты внешних сил скомпенсированы,
то
,
следовательно
.
Или:
Если сумма моментов внешних сил, действующих на систему, равна
нулю, то момент импульса системы остается постоянным.
Последнее утверждение называется законом сохранения момента импульса
системы.
Алджамбекова Г.Т.,доц.каф."ФЭТ"АУЭС
18

19. Пример. Фигурное катание

Фундаментальный закон природы
• Закон сохранения момента импульса - один из важнейших
фундаментальных законов природы - является
следствием изотропности пространства
• Закон сохранения момента импульса не является
следствием законов Ньютона.
• Закон сохранения момента импульса выполняется для
любых физических систем и процессов, не только
механических.
20

20. Фундаментальный закон природы

Кинетическая энергия
вращающегося
тела
• Кинетическая энергия вращающегося тела равна сумме кинетических энергий
отдельных его частей:
mn n2
m1 12
m2 22
Ek =
+
+ ... +
.
2
2
2
• Поскольку угловые скорости всех точек вращающегося тела одинаковы, то,
используя связь линейной и угловой скоростей, получим:
mn 2 rn2
m1 2 r12
m2 2 r22
2
Ek =
+
+ ... +
=
(m1r12 + m2 r22 + ... + mn rn2 ).
2
2
2
2
• Величина, стоящая в скобках, представляет собой момент инерции тела
относительно оси вращения:
I = m r + m r + ... + m r .
2
1 1
2
2 2
• Формула кинетической энергии вращающегося тела:
Алджамбекова Г.Т.,доц.каф."ФЭТ"АУЭС
2
n n
I 2
Еk =
2
21

21. Кинетическая энергия вращающегося тела

Кинетическая энергия
Если твердое тело движется поступательно со скоростью v и
одновременно вращается с угловой скоростью ω вокруг оси,
проходящей через его центр инерции, то его кинетическая энергия
определяется как сумма двух составляющих:
I
m
Ek =
+
.
2
2
2
Алджамбекова Г.Т.,доц.каф."ФЭТ"АУЭС
2
22

22. Кинетическая энергия

Работа при вращательном движении
Пусть на твёрдое тело действует сила F.
Можно показать, что вращающий момент
оси Z создаёт только составляющая силы
F , касательная к траектории точки её
приложения. За время dt
тело
поворачивается на бесконечно малый угол
d и точка приложения силы проходит
путь dS=Rd . Вектор F , направлен по
касательной к дуге dS поэтому работа
силы определяется выражением:
.
A = F dS = F R d = M Z d
Алджамбекова Г.Т.,доц.каф."ФЭТ"АУЭС
23

23.

Поступательное движение
Вращательное движение
Алджамбекова Г.Т.,доц.каф."ФЭТ"АУЭС
24

24.

Контрольные вопросы:
1. Момент импульса.
2. Момент силы.
3. Момент инерции твердого тела.
4. Теорема Штейнера.
5. В чем заключается основной закон динамики вращательного
движения?
6. Чем характеризуется вращательное движение?
7. Аналогия между описанием вращательного и
поступательного движений.
Алджамбекова Г.Т.,доц.каф."ФЭТ"АУЭС
25

25.

Алджамбекова Г.Т.,доц.каф."ФЭТ"АУЭС
26