Механика. Динамика вращательного движения

1.

Лекция 2
1. Механика
1.2. Динамика
Динамика вращательного движения. Момент
импульса материальной точки и механической
системы. Момент силы. Уравнение моментов. Закон
сохранения момента импульса. Основное уравнение
динамики вращательного движения твердого тела с
закрепленной осью вращения. Момент импульса
тела. Момент инерции. Теорема Штейнера.

2.

Вращение тела вокруг закрепленной оси
Сила, действующая на тело, закрепленное на оси, только тогда
может вызвать вращение тела вокруг этой оси, когда направление
силы не проходит через ось вращения.
Плечо силы
Плечом силы называется кратчайшее расстояние (опущенный
перпендикуляр) от оси вращения до линии действия силы.
Момент силы (вращающий момент)
Моментом силы относительно неподвижной оси вращения
называется векторная физическая величина, численно равная
произведению величины силы на плечо силы, и направленная по
оси вращения по правилу правого винта.
M r F
M F h F r sin
n
M M1 M1 M i
i 1
h
0
r
Fд
Fвр
F
Момент силы считается положительным,
если сила должна была бы вращать тело
в направлении по часовой стрелке, и
отрицательным, если против часовой
стрелки.

3.

Правило моментов
Тело, способное вращаться вокруг закрепленной оси, находится в
равновесии, если сумма моментов сил относительно этой оси,
вращающих тело по часовой стрелке, равна сумме моментов сил
относительно той же оси, вращающих его против часовой стрелке.
Правило рычага
Рычаг находится в равновесии, когда отношение приложенных к
нему сил обратно пропорционально отношению плеч.
Простые механизмы
F1 l1 F2 l2
Рычаг Тачка Двойной блок (ворот, кабестан, лебедка)
Подвижный блок Сложные блоки (тали, полиспасты).
Центр инерции (масс) тела
Поступательное движение тела можно заменить движением одной
материальной точки, масса которой равна массе тела. Эта точка
называется центром инерции или центром масс тела.
Центр инерции (масс) тела всегда двигается так, как двигалась бы
материальная точка с массой равной массе тела, если бы к ней
были приложены те же внешние силы, что и к телу.

4.

Момент инерции материальной точки
Момент инерции – скалярная физическая величина,
характеризующая инертность тела во вращательном движении,
числено равная произведению массы тела на квадрат расстояния
до оси вращения.
J m r2
Момент инерции твердого тела
Момент инерции твердого тела относительно неподвижной оси
находится как сумма моментов инерции всех материальных точек,
n
из которых состоит тело.
2
2
J mi ri ri dmi
i 1
Момент инерции некоторых симметричных тел
1. Момент инерции сплошного однородного
1
2
J
m
R
0
цилиндра (диска) радиусом R
2
2. Момент инерции тонкостенного цилиндра
J0 m R2
(кольца) радиусом R
2
2
J
m
R
0
3. Момент инерции однородного шара радиусом R
5
1
2
J
m
l
4. Момент инерции однородного стрежня длиной l
0
12

5.

Теорема Штейнера
Момент инерции тела относительно произвольной оси
равен сумме момента инерции относительно
параллельной оси, проходящей через центр симметрии
тела (центр масс) и произведения массы тела на
квадрат расстояния между осями.
J J0 m d
2
Я́ коб
Ште́йнер
1796-1863
Момент импульса (момент количества движения)
Момент импульса – векторная физическая величина,
характеризующая меру вращательного движения твердого тела
относительно неподвижной оси, численная равна произведению
момента инерции тела на угловую скорость и направленная вдоль
оси вращения по правилу правого винта.
Момент импульса материальной точки
v
L J mr 2 m v r
r
L J

6.

Основной закон динамики вращательного движения
Основной закон динамики вращательного движения устанавливает
связь между моментом сил, действующих на вращающееся тело, и
угловым ускорением этого тела.
M dt J d d ( J )
d
M J J
dt
M dt – импульс момента силы
Изменение момента импульса вращающегося тела равно импульсу
вращательного момента, действующего на это тело.
Закон сохранения момента импульса
Если на тело или систему тел не действуют внешние силы
(замкнутая система) или момент действующих тел равен нулю, то
момент импульса системы (тела) не меняется.
d ( J ) M dt 0
L J const

7.

Аналогия поступательного и вращательного движений
Поступательное движение
Вращательное движение
– угол поворота
– линейный путь
– линейная скорость
– угловая скорость
– линейное ускорение
– угловое ускорение
– масса тела
J – момент инерции тела
M – момент силы
– сила
L J – момент импульса тела
– импульс тела
– импульс силы
M dt – импульс момента силы
Основной закон динамики
Основной закон динамики
S
v
a
m
F
P m v
F dt
d (m v) F dt
m a F
d ( J ) M dt
J M
Закон сохранения импульса Закон сохранения момента импульса
n
P mi v i const
n
L J i i const
P m v const
L J const
i 1
i 1