Плоскость в пространстве

1. Плоскость в пространстве

Общее уравнение плоскости
Уравнение плоскости в отрезках
Уравнение плоскости, проходящей через три точки
Угол между двумя плоскостями
Расстояние от точки до плоскости

2. Общее уравнение плоскости

Если в пространстве фиксирована произвольная декартова
система координат Oxyz, то всякое уравнение первой степени с
тремя переменными x y z определяет относительно этой системы
плоскость.
Ax + By + Cz + D = 0
(1)
A; B; C; D – некоторые постоянные, причем из чисел A; B; C хотя бы
Общее уравнение плоскости
одно отлично от нуля.
Пусть точка М0(x0; y0; z0) принадлежит плоскости:
Ax0 + By 0 + Cz0 + D = 0 (2)
Вычтем из уравнения (1) тождество (2):
A(x − x0 ) + B(y − y 0 ) + C(z − z0 ) = 0
Общее уравнение плоскости
(3)

3. Общее уравнение плоскости

Произвольная точка М(x; y; z) лежит на
плоскости, если ее координаты
удовлетворяют уравнению (3):
N
М0
М
A(x − x0 ) + B(y − y 0 ) + C(z − z0 ) = 0
Уравнение (3) является условием
перпендикулярности двух векторов:
M0M = x − x0 ; y − y 0 ; z − z0 и
N = A; B;C
Таким образом, точка М лежит в плоскости, если
M0M ⊥ N .
Значит N перпендикулярен любому вектору, лежащему в
плоскости и, следовательно, самой плоскости.
Нормальный вектор
Общее уравнение плоскости называется полным,плоскости
если все
коэффициенты А; B; C; D отличны от нуля.
В противном случае уравнение называется неполным.

4. Общее уравнение плоскости

Виды неполных уравнений:
1) D = 0;
2) A = 0;
Ax + By + Cz = 0 Плоскость проходит через точку О.
By + Cz + D = 0 ll (OX )
z
3) B = 0;
Ax + Cz + D = 0
4) C = 0;
Ax + By + D = 0 ll (OZ )
ll (OY )
5) A = 0; B = 0
Cz + D = 0 ll ( XOY )
6) B = 0; C = 0 Ax + D = 0 ll (YOZ )
7) A = 0; C = 0
0
By + D = 0 ll ( XOZ ) x
8) B = 0; C = 0; D = 0
Ax = 0 x = 0
9) A = 0; C = 0; D = 0
By = 0 y = 0
Cz = 0 z = 0
10) A = 0; B = 0; D = 0
(YOZ )
( XOZ )
( XOY )
y

5. Уравнение плоскости в отрезках

Рассмотрим полное уравнение плоскости:
Ax + By + Cz + D = 0
Ax By Cz
+
+
=1
−D −D −D
Уравнение плоскости
в отрезках
Ax + By + Cz = −D
x
y
z
+
+
=1
−aD −bD −cD
A
B
C
=a
=c
=b
Уравнение в отрезках
используется для построения
плоскости, при этом a, b и с –
отрезки, которые отсекает
плоскость от осей координат.
z
с
0
x
a
b
y

6. Уравнение плоскости, проходящей через три точки

Пусть точки М1(х1 ; у1 ; z1 ), М2(х2 ; у2 ; z2 ) и М3(х3 ; у3 ; z3 ) не лежат
на одной прямой.
Тогда векторы: M1M 2 = x 2 − x1; y 2 − y 1; z2 − z1
и
M1M3 = x3 − x1; y 3 − y1; z3 − z1
Точка М(х ; у ; z ) лежит в
одной плоскости с точками
М1 , М2 и М3 только в том
случае, если векторы:
не коллинеарны.
М3
М
М1
М2
M1M2 ; M1M3 и M1M = x − x1; y − y 1; z − z1 компланарны.
x − x1
(M M M M ) M M = x − x
y − y1
z − z1
1
y 2 − y1
z2 − z1 = 0
x3 − x1
y 3 − y1
z3 − z1
1
1
2
1
3
Уравнение плоскости,
проходящей через 3 точки
2

7. Угол между двумя плоскостями

Пусть две плоскости заданы общими уравнениями:
p1 : A1x + B1y + C1z + D1 = 0
p2 : A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0
Углом между этими плоскостями называется угол между
нормальными векторами к этим плоскостям.
N1
N2
p2
N1 = A1; B1; C1
N2 = A2 ; B2 ; C2
N1 N2
cos =
=
N1 N2
p1
=
A1 A2 + B1 B2 + C1 C2
A12 + B12 + C12 A22 + B22 + C22

8. Угол между двумя плоскостями

Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей
аналогичны условию параллельности и перпендикулярности
нормальных векторов:
N2
p2
N1
p1
A1 B1 C1
N1 ll N 2
=
=
A2 B2 C2
N1
N2
p2
p1
N1 ⊥ N2 A1 A2 + B1 B2 + C1 C2 = 0

9. Расстояние от точки до плоскости

Пусть точка М1(x1; y1; z1) – основание перпендикуляра, опущенного
из точки М0(x0; y0; z0) на плоскость p : Ax + By + Cz + D = 0
М0
d = M1M0
d
p
М1
d=
Ax0 + By 0 + Cz0 + D
A2 + B 2 + C 2

10. Пример

Найти длину высоты тетраэдра ABCD , опущенной из точки A.
Координаты вершин: A(1; 1; 1), B(0; 2; 5), C(3; -1; 4), D(4; 2; 1)
A
Уравнение плоскости BCD:
x −0
y −2
z −5
3 − 0 − 1− 2 4 − 5 = 0
4 − 0 2 − 2 1− 5
−3
0
−1 = 0
−4
B
D
С
x y −2 z −5
3
4
h
− 3 −1
3 −1
3 −3
x
− (y − 2)
+ ( z − 5)
=0
0 −4
4 −4
4 0
12x + 8(y − 2) + 12(z − 5) = 0
3 x + 2y + 3z − 19 = 0

11. Пример

Расстояние от точки A до плоскости BCD:
h=
3 1 + 2 1 + 3 1 − 19
9+4+9
A
h
11
h=
2.34
22
B
D
С