Лекция 8 СДУ-26

1. ДУиЧМ 2 семестр

Лекция 8
Приемы решения СДУ.

2.

Метод интегрируемых комбинаций
Решить СДУ методом интегрируемых комбинаций:
4

3.

2. Решить СДУ
5

4.

Пример 3.
dx
dy
dz
2 x y y 3z 3z 2 x
6

5.

Линейные СДУ
Введение
• Существуют методы решения систем
дифференциальных уравнений, сходные с теорией
решения ЛДУ.
7

6.

Основные понятия теории СЛДУ
Определение. Нормальная система ДУ называется
линейной, если в каждом ее уравнении функции
xi t fi t , x1 t , , xn t ; i 1, n линейны относительно
неизвестных функций, т. е. если она имеет вид:
n
dxi
aij x j bi (t ), i 1, n.
dt
j 1
Запишем систему в векторной форме: x A t x B t ,
T
где x x1 t , , xn t .
При B t 0 получим систему ОЛДУ вида x A t x
t a, b
8

7.

Свойства решений СОЛДУ
Пусть Y множество всех решений СОЛДУ порядка n,
Y – линейное пространство.
Теорема. Любые n линейно независимых решений
СОЛДУ x A t x
образуют базис пространства Y.
Определение. Базис пространства всех решений СОЛДУ
x A t x называется фундаментальной системой решений
(ФСР) СОЛДУ.
Матрица, столбцы которой являются ФСР, называется
фундаментальной матрицей СОЛДУ x A t x .
9

8.

Теорема о структуре общего решения СОЛДУ
Если xk t k 1 – ФСР СОЛДУ x A t x на a, b ,
n
n
то ее общее решение имеет вид
xоо t ck xk t
k 1
,
где сk R
10

9.

СОЛДУ с постоянными
коэффициентами

10.

11. СОЛДУ с постоянными коэффициентами

n=3
,
Рассмотрим ОСЛДУ X AX , где aij const .
При рассмотрении систем дифференциальных уравнений ограничимся случаем системы трех уравнений (n = 3). Все нижесказанное справедливо для систем произвольного порядка.
Запишем соответствующую систему:
dx1 a x a x a x ,
11 1
12 2
13 3
dt
dx2
a 21x1 a 22 x2 a 23 x3 ,
dt
dx3
dt a31x1 a32 x2 a33 x3.
СЗ :
a11
a21
a31
a12
a22
a32
a13
a23 0
a33

12.

Рассмотрим различные варианты.
1. Все корни 1, 2 , 3 характеристического уравнения различны, i R .
1
Ищем решение системы X AX в виде X e t , где 2 .
3
,
Тогда e t A e t ,
A E ,
A E 0 .
Для каждого СЗ i находим СВ i .
Так как все i различны, то соответствующие им собственные векторы
линейно независимы, т.е. образуют ФСР однородной системы:
i
1
i
i
1 t
2 t
3 t
ФСР СОЛДУ={ X1 e 1 , X 2 e 2 , X 3 e 3 }, где 2 .
i
3
Тогда общее решение ОСЛДУ имеет вид: X оо C1 X1 C2 X 2 C3 X 3 .

13.

2. Среди корней характеристического уравнения есть комплексные (причем обязательно сопряженные).
Пусть 1 a bi, 2 a bi , тогда 3 R .
1 a bi t
X1 Re e
3
1 a bi t :
, X 3 e 3t ,
ФСР СОЛДУ: X кр e
1 a bi t
X 2 Im e
1
2
где , – векторы с комплексными координатами,
причем взаимосопряженные.
Bp комплексного решения Re X 1 и Im X1 по свойству решений ОСЛДУ –
самостоятельные решениями системы.
Т.О.: X оо C1 Re e
1
a bi t
C Im e
1
2
a bi t
C e .
3
3
3t

14.

3. Случай кратных корней.
Пусть характеристическое уравнение имеет корень кратности
r 2 . Соответствующее этому корню решение системы будем искать в виде:
X оо t e t при r 2 и
1
2
1 2 t 3 t 2
1
1
1
1
2
3
1
2
3 2 t
X оо t t e 2 2 t 2 t 2 e t при r 3 .
1
2
3
2
3 3 t 3 t
Коэффициенты j определим, приравнивая коэффициенты при
i
одинаковых степенях t , после подстановки данного решения X в ОСЛДУ
,
X AX .

15.

Замечание.
Если
имеется
ОСЛДУ
,
X AX
с
симметричной
матрицей A , то кратность каждого характеристического числа совпадает
с количеством линейно независимых собственных векторов 1 ,..., r ,
соответствующих данному значению . Поэтому данному
соответствовать решение C1 e t ... Cr e t .
1
r
будет

16.

Способ 2.
18

17.

Задание 1. Найти общее решение СОЛДУ методом Эйлера
x 2 x
y x 6 y
19

18.

Задание 2. Найти общее решение СОЛДУ методом Эйлера
1 1
x
x
2 1
20

19.

Задание 3. Найти общее решение СОЛДУ методом Эйлера
2 1
x
x
1 0
21

20.

Способ 2.
22