Дифференциальные уравнения и численные методы. Лекция 4

1. Дифференциальные уравнения и численные методы

Лекция 4

2.

Линейные дифференциальные уравнения
высших порядков (ЛДУ ВП)
Уравнение вида
называется линейным дифференциальным уравнением
(ЛДУ) порядка n, где а1(х), а2(х),…, аn(х), f(x) –
непрерывные на некотором промежутке (a, b) функции.
(a, b) называется интервалом непрерывности ДУ.
- Если f(x)≡0, то уравнение называется однородным
линейным дифференциальным уравнением (ОЛДУ).
- Если f(x)≠0, то уравнение называется неоднородным
линейным дифференциальным уравнением (НЛДУ).
2

3.

Оператор
Пусть Х и У – два линейных пространства над одним и
тем же числовым полем Р .
Определение. Оператором Â, действующим из Х в У
называется отображение, сопоставляющее каждому
элементу x X некоторый элемент y Y .
Обозначение: Â x y
или
Âx y
(скобки иногда опускают).
При этом элемент x называют образом элемента ,
а y – прообразом элемента x.
3

4.

Линейный оператор
Определение линейного оператора. Оператор Aˆ : X Y называется линейным, если выполнены условия:
10. x1, x2 X
ˆ Ax
ˆ (свойство аддитивности);
Aˆ x1 x2 Ax
1
2
20. x X P
ˆ (свойство однородности).
Aˆ x Ax
Условия 10 – 20 в определении называются линейными.
4

5.

Введем оператор дифференцирования n -го порядка:
При действии его на функцию у(х), получим
т.е. левую часть линейного ДУ n -го порядка.
Вследствие этого ЛДУ можно записать Ln[y]=f(x).
Операторная
форма записи ДУ
5

6.

Ln[ ] является линейным оператором, т.к.
выполнены свойства линейности:
1) Ln[ у1(х)+у2(х)] = Ln[у1(х)]+ Ln[у2(х)] –
(свойство аддитивности;)
2) Ln[ λ у(х)] = λ Ln[у(х)] (свойство однородности).
Следует из аналогичных свойств производных этих
функций.
6

7.

Рассмотрим ОЛДУ
Ln [ y] y ( n ) a1 ( x) y ( n 1) ... an 1 ( x) y an ( x) y 0
Свойства решений ОЛДУ:
1. Свойство аддитивности.
Если у1(х), у2(х) − решения ОЛДУ, то у1(х)+у2(х) так же
является решением этого уравнения.
Доказательство.
у1(х), у2(х) − решение Ln[у1(х)]≡0 и Ln[у2(х)]≡0.
Тогда Ln[ у1(х)+у2(х)] = Ln[у1(х)]+ Ln[у2(х)]≡0.
7

8.

2. Свойство однородности.
Пусть у(х) − решение ОЛДУ, λ P (P–числовое поле).
Тогда λ у(х) −решение ОЛДУ.
Доказывается аналогично (ДЗ).
Следствие.
Если у1(х), у2(х),…, уk(х) − решения ОЛДУ, то
λi P (i=1, 2,…, k)
− решение ОЛДУ.
8

9.

3. Если y(x)=u(x)+i·v(x) − комплекснозначное решение
ОЛДУ, то u(x), v(x) – действительнозначные решения
этого уравнения.
Доказательство.
Если y(x)=u(x)+i·v(x) – решение ОЛДУ, то при
подстановке y(x) в уравнение обращает его в тождество, т.е.
Ln[u(x)+i·v(x)]=0.
В силу линейности оператора , левую часть последнего
равенства можно записать так: Ln[u(x)]+ i Ln[v(x)]=0.
Это значит, что Ln[u(x)]=0, Ln[v(x)]=0,
т.е. u(x), v(x) – действительнозначные решения ОЛДУ.
9

10.

Последующие свойства решений ОЛДУ связаны с
понятием «линейная зависимость».
Система функций {g1(x), g2 (x),…, gn (x)} называется
линейно зависимой, если найдется нетривиальный
набор чисел { 1 , 2,…, n} такой, что линейная
комбинация функций с этими числами тождественно
равна нулю, т.е.
В противном случае, система функций называется
линейно независимой, т. е.
тогда и
только тогда, когда все i=0.
10

11.

Пример. {ex, 2ex}− линейно зависима,
т.к. {2, −1}: 2·ex −1· 2ex=0.
Теорема (о необходимом условии линейной
зависимости конечной системы функций).
Пусть
− линейно зависимая и n раз
дифференцируемая система функций на (a, b). Тогда
для любого х (a, b) определитель Вронского
(вронскиан)
11

12.

Пример. Найти вронскиан системы функций {ex, 2ex}.
Следствие.
Если х0 (a, b): W[g1(x0),…, gn (x0)]≠0, то система
линейно независима.
12

13.

Пример. Проверить линейную зависимость системы
функций {1, sin x, cos x}.
13

14.

Общая теория однородных линейных
дифференциальных уравнений (ОЛДУ)
Рассмотрим однородное уравнение
или в операторной форме Ln[у]=0,
(a, b) – интервал непрерывности.
14

15.

Теорема (о необходимом и достаточном условии
линейной независимости решений ОЛДУ).
Пусть
– система решений ОЛДУ на (a, b).
Система решений линейно независима на (a, b)
х (a, b) определитель Вронского
15

16.

Фундаментальная система решений ОЛДУ
Всякая линейно независимая на (a, b) система из n
решений ОЛДУ Ln[у]=0, называется
фундаментальной системой решений ОЛДУ на (a, b)
(ФСР ОЛДУ).
Теорема (о ФСР ОЛДУ)
Для любого ОЛДУ Ln[у]=0, х (a, b) существует ФСР.
16

17.

Теорема (о структуре общего решения ОЛДУ)
Пусть Ln[у]=0 – ОЛДУ n-го порядка с интервалом
непрерывности (a, b);
– фундаментальная система решений ОЛДУ
на (a, b), тогда общим решением ОЛДУ на (a, b)
является линейная комбинация решений
фундаментальной системы ОЛДУ с произвольными
коэффициентами, т. е.
где i {1,…,n} Ci R.
17

18.

Правило решения ОЛДУ:
1. Найти фундаментальную систему решений ОЛДУ
на (a, b)– интервале непрерывности.
ФСР ОЛДУ = {у1(x), у2 (x),…, уn (x)}, х (a, b).
2. Найти общее решение ОЛДУ, используя теорему о
структуре общего решения:
3. Для решения задачи Коши ОЛДУ по начальным
условиям: у(х0)=у0, у'(х0)=у'0,…, у(n−1)(х0)=у0(n−1) найти
значения С1=С10, С2=С20,…, Сn=Сn 0 и подставить их в
общее решение вместо произвольных постоянных.
18

19.

Пример. Решить задачу Коши ОЛДУ y"−y=0 при
y(0)=1, y'(0)=−1.
За ФСР можно взять линейно независимую систему
функций {ex, e−x} (доказать)
19

20.

Интегрирование ОЛДУ с постоянными
коэффициентами методом Эйлера
Пусть дано ОЛДУ с п/к вида
Ln ( y ) y n a1 y n 1 a2 y n 2
an 1 y an y 0
где a1, a2,…, an R.
Решение этого уравнения будем искать в виде y = eλx.
Эту функцию подставим в исходное уравнение,
продифференцировав её n раз (подстановка Эйлера).
20

21.

Получим
или
Это равенство называется
характеристическим уравнением.
Т. к. характеристическое уравнение есть алгебраическое
уравнение, то оно по теореме Гаусса имеет хотя бы одно
решение и это решение вида y = eλx.
21

22.

Для того, чтобы подстановка Эйлера y(х) = eλx являлась
решением ОЛДУ с п/к необходимо и достаточно,
чтобы число λ в ней было решением
характеристического уравнения ОЛДУ с п/к.
22

23.

Характеристическое уравнение – алгебраическое
уравнение n-ой степени, то возможны следующие
варианты его решения:
1) Все корни характеристического уравнения
вещественные и попарно различные.
2) Среди n корней характеристического уравнения
есть кратные вещественные корни.
3) Среди n корней характеристического уравнения
есть простые комплексно-сопряжённые числа.
4) Среди n корней характеристического уравнения
есть комплексно-сопряжённые кратные корни.
23

24.

Рассмотрим подробнее эти случаи.
1. Пусть корни характеристического уравнения ОЛДУ
с п/к простые и вещественные. Тогда функции
являются решениями ОЛДУ с п/к n-го порядка.
Пример. Решить уравнение y'''−y'=0.
24

25.

2. Пусть среди корней характеристического уравнения
ОЛДУ есть вещественный корень λ кратности k>1.
Тогда этому корню соответствует ровно k линейно
независимых решений ОЛДУ вида: eλx, хeλx,…, хk−1eλx.
Пример. Решить уравнение yIV−y'''=0.
25

26.

3. Пусть среди корней характеристического уравнения
ОЛДУ есть простые комплексно-сопряжённые корни.
Например, λ1,2= ± i.
Тогда этим корням будет соответствовать комплекснозначное решение
Пусть
По формуле Эйлера:
Тогда по свойству о комплексно-значном решении ОЛДУ
– два действительно-значных решения ОЛДУ, причём
линейно независимых.
26

27.

Пример. Найти ФСР ОЛДУ y''−2y'+5у=0.
27

28.

4. Среди корней характеристического уравнения
ОЛДУ есть комплексно-сопряжённые корни
кратности k>1.
Тогда линейно-независимые решения ОЛДУ,
соответствующие этим корням, находятся по
аналогичному алгоритму, изложенному во втором
пункте. Т. е. корням λ1,2= + i кратности k
характеристического уравнения ОЛДУ соответствует
2k линейно независимых решений ОЛДУ, а именно,
28

29.

Пример. Даны корни {l } = {0, 2, 2, 2, + i, + i}
характеристического уравнения ОЛДУ с п/к восьмого
порядка. Найти ФСР этого ОЛДУ.
29

30.

Решение неоднородного линейного
дифференциального уравнения (НЛДУ)
Рассмотрим неоднородное линейное
дифференциальное уравнение с переменными
коэффициентами
или в операторной форме Ln[y]=f(x),
(a, b) – интервал непрерывности для этого уравнения.
Уравнение Ln [y]=0 − является соответствующим
однородным уравнением для данного НЛДУ.
30

31.

Теорема (о структуре общего решения НЛДУ)
Пусть
– общее решение ОЛДУ,
соответствующего данному НЛДУ на (a, b);
ỹ – некоторое решение НЛДУ на . (a, b).
Тогда общее решение НЛДУ:
31

32.

Метод вариации произвольных постоянных
(метод Лагранжа)
Применяется для нахождения частного решения НЛДУ.
Рассмотрим неоднородное линейное уравнение
Ln [y]=f(x), х (a, b).
Решение НЛДУ можно получить, если известно общее
решение ОЛДУ, соответствующее НЛДУ:
Идея метода: будем искать решение НЛДУ в виде
где Ci (x) – некоторые непрерывно дифференцируемые
на (a, b) функции, которые надо найти.
32

33.

Эти функции, а точнее, их производные находим из
системы:
33

34.

Пример. Решить задачу Коши для уравнения у'''−у"=ех
при начальных условиях у(0)=1, у'(0)=у"(0)=0.
34

35.

35