Дифференциальные уравнения

1. Дифференциальные уравнения

2. Линейные дифференциальные уравнения II порядка с постоянными коэффициентами

3.

Линейные неоднородные дифференциальные
уравнения
II
порядка
с
постоянными
коэффициентами имеют вид:
y py qy f ( x),
где p и q – постоянные числа.
Если f ( x) 0, то уравнение примет вид:
y py qy 0
и
называется
линейным
однородным
дифференциальным уравнением II порядка с
постоянными коэффициентами.

4.

Структура
общего
решения
линейного
неоднородного дифференциального уравнения II
порядка
с
постоянными
коэффициентами
определяется следующей теоремой:
Теорема:
Общее
решение
линейного
неоднородного дифференциального уравнения II
порядка с постоянными коэффициентами
y py qy f ( x)
представляет собой сумму общего решения у0
соответствующего
линейного
однородного
уравнения II порядка и какого-либо частного
решения y линейного неоднородного уравнения II
порядка.

5. Линейные однородные дифференциальные уравнения II порядка с постоянными коэффициентами

6.

Определение:
Два
решения
у1
и
у2
дифференциального уравнения y py qy 0
называются линейно независимыми на [a; b], если
их отношение на этом отрезке не является
постоянным, то есть y1
const.
y2
Теорема: Если у1 и у2 два линейно независимыми
решения дифференциального уравнения
y py qy 0,
то y C1 y1 C2 y2
– есть общее решение этого
уравнения, где С1 и С2 – произвольные постоянные.

7.

Рассмотрим линейное однородное ДУ II порядка:
y py qy 0.
Чтобы найти общее решение этого уравнения,
достаточно найти два линейно независимых
частных решения.
Частные решения будем искать в виде:
y ekx , k const , тогда
y e kx k e kx , y k e kx k 2 e kx .
Подставляя выражения производных в уравнение,
получим:
k 2 ekx p k ekx q ekx 0,

8.

ekx (k 2 p k q) 0.
Так как e 0 при любом k, то k p k q 0 –
характеристическое уравнение по отношению к
уравнению y py qy 0.
kx
2
Характеристическое
уравнение
является
квадратным уравнением, поэтому при его решении
возможны три случая:
1. D 0, k1 k2 R;
2. D 0, k1 k2 R;
3. D 0, k1 k2 C.

9.

Структура общего решения однородного ДУ
Дифферен
циальное
уравнение
y py qy 0
Характерис
тическое
уравнение
k 2 pk q 0
Корни
ФСР
Общее
решение
k1 k2 R
y1 e
y2 ek2 x
k1x
k1 k2 R
y1 ek1x
y2 x ek1x
y C1ek1x C2ek2 x y ek x C1 C2 x
1
k1 i
k2 i
y1 e x cos x
y2 e x sin x
y e x (C1 cos x
C2 sin x)

10.

Пример: Решить уравнение y y 2 y 0.
Решение:
Характеристическое уравнение, соответствующее
данному дифференциальному уравнению имеет вид:
k 2 k 2 0.
Корни этого уравнения: k1 1; k2 2.
Корни действительны и различны, тогда
фундаментальная система решений принимает вид:
y1 e x ;
y2 e 2 x .
Общее решение: y C1e x C2e 2 x .

11.

Пример: Решить уравнение y 4 y 4 y 0.
Решение:
Характеристическое уравнение, соответствующее
данному дифференциальному уравнению имеет вид:
k 2 4k 4 0.
Корни характеристического уравнения: k1 k2 2.
Корни уравнения действительны и равны, тогда
фундаментальная система решений примет вид:
y1 e 2 x ;
y2 xe 2 x .
Общее решение: y e2 x C1 C2 x .

12.

Пример: Решить уравнение y 2 y 5 y 0.
Решение:
Характеристическое уравнение: k 2 2k 5 0.
D 4 20 16.
Корни характеристического уравнения:
2 16 2 4i
k1
1 2i; k2 1 2i.
2
2
Корни уравнения комплексные, следовательно,
фундаментальная система решений принимает вид:
y1 e x cos 2 x;
y2 e x sin 2 x.
Общее решение: y e x C1 cos 2 x C2 sin 2 x .

13.

Пример:
Найти
решение
уравнения,
удовлетворяющее начальным условиям:
y 9 y 0, y x 0 0, y x 0 3.
Решение:
Характеристическое уравнение: k 2 9 0.
Корни уравнения: k1 3i; k2 3i 0, 3 .
Корни характеристического уравнения чисто
мнимые, тогда фундаментальная система решений
принимает вид:
y1 cos3 x; y2 sin 3 x.
Общее решение: y C1 cos3 x C2 sin 3 x.

14.

Найдем частное решение, удовлетворяющее
заданным начальным условиям. Для этого найдем
производную от его общего решения:
y 3C1 sin 3x 3C2 cos3 x.
Подставим начальные условия:
C1 cos0 C2 sin 0 0;
C1 0;
C1 0;
3C1 sin 0 3C2 cos0 3.
3C2 3.
C2 1.
Тогда частное решение, удовлетворяющее
заданным начальным условиям принимает вид:
y sin 3 x.

15. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения II порядка с постоянными коэффициентами

16.

Рассмотрим линейное неоднородное ДУ II порядка:
y py qy f ( x),
где p и q – постоянные числа, f(x) – непрерывная
функция.
Если функция f(x) представляет собой многочлен,
либо тригонометрическую функцию вида sin x или
cos x, либо показательную функцию, либо их
линейную комбинацию, то частное решение может
быть
найдено
методом
неопределенных
коэффициентов,
исключающим
процесс
интегрирования.

17.

Рекомендации по определению частного решения
линейных неоднородных ДУ II порядка:
Вид правой части
f ( x) Pn ( x)
f ( x) e x Pn ( x)
Вид частного решения
y Qn ( x) x r , где Qn(x) – многочлен той же
степени, что и Pn(x); r – число корней
характеристического уравнения равных 0.
y e xQn ( x) x r , где Qn(x) – многочлен той
же степени, что и Pn(x); r – число корней
характеристического уравнения равных α.
y A cos x B sin x x r , где A и B –числа,
которые подлежат определению; r – число
корней характер-го уравнения равных βi.
x
r
y
e
Q
(
x
)cos
x
Q
(
x
)sin
x
x
f ( x) ( Pn ( x)cos x
s1
s2
Pm ( x)sin x)e x r – число корней характеристического
уравнения равных α+βi.
f ( x) a cos x
b sin x

18.

Qs1 ( x ) и Qs 2 ( x ) – многочлены степени s max n, m .
Теорема: Если y1 – частное решение уравнения
y py qy f1 ( x), а y2 – частное решение уравнения
y py qy f 2 ( x), то y y1 y2 – частное решение
уравнения y py qy f1 ( x) f 2 ( x).

19.

x
y
4
y
3
y
e
10sin 3x.
Пример: Решить уравнение
Решение:
Найдем
общее
решение
однородного
дифференциального уравнения.
Характеристическое уравнение имеет вид:
k 2 4k 3 0, его корни: k1 1; k2 3.
x
3x
y
e
;
y
e
.
Фундаментальная система решений: 1
2
x
3x
y
C
e
C
e
.
Общее решение: 0
1
2
Так как правая часть состоит из суммы двух
функций, то частное решение данного уравнения
следует искать в виде: y y1 y2 .

20.

x
f
(
x
)
e
, то y1 следует находить в виде
Так как 1
y1 Ae x x1 Axe x , поскольку α=1 и среди корней
характеристического уравнения имеется один
корень k1=1, то и r=1.
y1 Ae x Axe x e x ( A Ax),
y1 e x ( A Ax) Ae x e x (2 A Ax).
Подставим полученные данные в ДУ:
e x (2 A Ax) 4e x ( A Ax) 3 Axe x e x ,
e x (2 A Ax 4 A 4 Ax 3 Ax) e x ,
1
2 A 1 A .
2
1 x
Тогда y1 xe .
2

21.

f 2 ( x) 10sin 3 x, следовательно, y2 следует находить
в виде y2 ( B cos3 x C sin 3 x) x 0 B cos3 x C sin 3x.
Поскольку среди корней характеристического
уравнения нет корней равных 3i, то и r=0.
y2 3B sin 3x 3C cos3x,
y2 9 B cos3x 9C sin 3x.
Подставим полученные данные в ДУ:
9 B cos3 x 9C sin 3 x 4( 3B sin 3 x 3C cos3 x)
3( B cos3 x C sin 3 x) 10sin 3 x,
6 B cos3x 6C sin 3x 12 B sin 3x 12C cos3x 10sin 3x.

22.

Приравняем
функциях:
коэффициенты
при
одинаковых
1
C
;
cos3 x 6 B 12C 0
3
sin 3 x
6C 12 B 10
B 2 .
3
2
1
y2 cos3x sin 3 x.
3
3
1 x 2
1
y y1 y2 xe cos3x sin 3x.
2
3
3
Общее решение данного дифференциального
уравнения:
1 x 2
1
x
3x
y y0 y C1e C2e xe cos3x sin 3x.
2
3
3