Системы обыкновенных дифференциальных уравнений

1. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений

Системы линейных
дифференциальных уравнений

2. Дана система n уравнений с n неизвестными функциями

y1( x ), y2 ( x ), , yn ( x )
Нормальная система дифференциальных уравнений (1)
называется линейной, если функции f1( x ), f 2 ( x ), , f n ( x ) ,
входящие в правые части, линейны относительно
неизвестных функций
:
y1 a11( x )y1 a12 ( x )y2 a1n ( x )yn b1( x )
y2 a21( x )y1 a22 ( x )y2 a2 n ( x )yn b2 ( x )
yn an1( x )y1 an 2 ( x )y2 ann ( x )yn bn ( x )
(3)

3. Система (3) называется неоднородной, если хотя бы одна из функций не равна тождественно нулю.

Система (3) называется неоднородной, если хотя бы
одна из функций bi ( x ) ( i 1 n ) не равна
тождественно нулю.
Система (3) называется однородной, если все
функции bi ( x ) 0 ( i 1 n )

4. Запись системы (3) в матричной форме.

Обозначим
y1( x )
Y( x )
y ( x )
n
a11( x )
A( x )
a ( x)
n1
a1n ( x )
ann ( x )
Y ( x ) A( x )Y( x ) B( x )
Коротко:
Y AY B
b1 ( x )
B( x )
b ( x )
n

5. Линейные однородные системы с постоянными коэффициентами

Пусть в системе (3) все коэффициенты
постоянны и bi 0( i 1 n ) .
y1 a11 y1 a12 y2 a1n yn
y2 a21 y1 a22 y2 a2 n yn
yn an1 y1 an 2 y2 ann yn
aij ( i, j 1 n )
(4)
Или в векторной форме Y AY .
Какой вид имеет общее решение системы ( 4)?

6. Пусть

y1[1] ( x )
[1]
y
(
x
)
Y1( x ) 2
[1]
y
(
x
)
n
одно решение системы (4),
y1[2] ( x )
[2]
y
(
x
)
Y2 ( x ) 2
[2]
yn ( x )
- второе решение системы (4)
y1[n ] ( x )
[n ]
y
(
x
)
Yn ( x ) 2
[n ]
y
(
x
)
n
- n-ое решение системы (4)

7. Определитель Вронского системы решений

В случае системы определителем Вронского для
функций Y1( x ),Y2 ( x ), ,Yn ( x ) называется:
W( Y1 ,Y2 , ,Yn )
Система решений
[a;b], если W(Y1 ,Y2 ,
y1[1]
y1[2]
y2[1]
y2[2]
yn[1]
yn[2]
y1[n ]
y2[n ]
yn[n ]
образует ФСР на
,Yn ) 0 x [a;b]

8. Теорема о структуре общего решения системы

Если решения
образуют ФСР, то
общее решение этой системы находится по
формуле:
Y( x ) C1Y1( x ) C2Y2 ( x ) CnYn ( x ) , где
C1 ,C2 , ,Cn произвольные постоянные.

9. Пусть n = 3

y1 a11 y1 a12 y2 a13 y3
y2 a21 y1 a22 y2 a23 y3 (5)
y a y a y a y
31 1
32 2
33 3
3
Решаем (5) методом Эйлера. Ищем частное
решение y1 , y2 , y3 в виде:
y1 1ekx ; y2 2ekx ; y3 3ekx
Определим постоянные 1 , 2 , 3 ,k так, чтобы
было решением системы (5):

10. После подстановки в (5) получим

следующую систему:
1kekx a11 1ekx a12 2e kx a13 3e kx
kx
kx
kx
kx
2 ke a21 1e a22 2e a23 3e
kekx a ekx a ekx a e kx
31 1
32 2
33 3
3
или
( a11 k ) 1 a12 2 a13 3 0
a21 1 ( a22 k ) 2 a23 3 0
a a ( a k ) 0
33
3
31 1 32 2
(6)
Это система линейных однородных алгебраических
уравнений относительно неизвестных 1 , 2 , 3
имеет ненулевые решения, если ее основной
определитель равен нулю:

11. То есть

получаем характеристическое уравнение системы (5):
a11 k
a12
a21
a31
a22 k
a32
a13
a23 0
a33 k
Получим уравнение третьей степени относительно k.
Значит оно имеет 3 корня, действительных или
комплексных, простых или кратных.

12. Первый случай: корни характеристического уравнения действительные и различные.

В этом случае мы получаем три следующих
частных решения системы (5):
1( 3 )ek3x
1( 1 )ek1x
1( 2 )ek2 x
( 3 ) k3x
( 1 ) k1x
( 2 ) k2 x
Y1 2 e ; Y2 2 e ; Y3 2 e
3( 1 )ek1x
3( 2 )ek2 x
3( 3 )ek3x
При этом найдем значения постоянных 1 , 2 , 3 как
решение системы (6), полагая последовательно
k k1 ,k2 ,k3 .

13. Можно показать, что .

Можно показать, что W(Y1 ;Y2 ;Y3 ) 0.
Следовательно, Y1 ;Y2 ;Y3 образуют
фундаментальную систему решений для (5), и тогда
общее решение системы (5) будет:
Y( x ) C1Y1( x ) C2Y2 ( x ) C3Y3( x ).
Или подробнее
y1( x ) C1 1( 1 )ek1x C2 1( 2 )ek2 x C3 1( 3 )ek3x ;
y2 ( x ) C1 2( 1 )ek1x C2 2( 2 )ek2 x C3 2( 3 )ek3x ;
y3( x ) C1 3( 1 )ek1x C2 3( 2 )ek2 x C3 3( 3 )ek3x .

14. Пример (первый способ)

dx
dt 5 x 4 y
dy 3x y
dt
d 2x
dx
dy
5
4
,
2
dt
dt
dt
dx
4 y 5x
dt
x 6 x 7 x 0
d 2x
dx
5
4( 3x y ),
2
dt
dt
d 2x
dx
dx
5
12
x
5 x,
2
dt
dt
dt
d 2x
dx
5
12 x 4 y,
2
dt
dt
d 2x
dx
6
7x 0
2
dt
dt
x ekt , k 2 6k 7 0, k1 7, k2 1
x C1e7t C2e t ,
1 dx
1
1
3
1
y 5 x (7C1e7t C2e t 5C1e7t 5C2e t ) (2C1e7t 6C2e t ) C1e7t C2e t
4 dt
4
2
2
4
x C1e7t C2e t
1 7t 3
y
C1e C2e t
2
2

15. Пример (второй способ)

Дана та же система дифференциальных уравнений
. Ищем решение в виде: x 1ekt , y 2ekt ,
x 1kekt , y 2kekt ,
1kekt 5 1ekt 4 2ekt
kt
kt
kt
ke
3
e
e
2
1
2
( 5 k ) 1 4 2 0
3 1 ( 1 k ) 2 0
k 2 6k 7 0; k1 7; k2 1
k1 7
( 5 7 ) 1 4 2 0
k2 1
( 5 1 ) 1 4 2 0
1
2
2 1
3
2 1
2
5 k
4
3
1 k
1( 1 )e7t
Y1 1 ( 1 ) 7t
e
1
2
1(2) e t
Y2 3 (2) t
1 e
2
0

16. Общее решение:

По теореме о структуре общего решения
Y C1Y1 C2Y2
x( t )
Y
y(
t
)
1(2) e t
Y2 3 (2) t
1 e
2
x( t ) C1 1( 1 )e7t C1 1( 2 )e t
1
3
( 1 ) 7t
( 2 ) t
y(
t
)
C
e
C
1 1
1 1 e
2
2
Пусть C1 C1 1( 1 ) ,C2 C2 1( 2 ) тогда
x( t ) C1e7t C2e t
1 7t 3
t
y
C
e
C
e
1
2
2
2

17. Случай комплексных корней характеристического уравнения

Пусть корни характеристического уравнения - комплексносопряженные.
Y и Y заменим на пару действительных решений:
Y Y
2
и
Y Y
2i

18. Пример

y1 3 y1 2 y2
y2 y1 y2
y1 1ekx ,y2 2ekx ,
k 1 3 1 2 2 ( 3 k ) 1 2 2 0
k
1 ( 1 k ) 2 0
2
1
2
3 k
2
1
1 k
0
( 3 k )( 1 k ) 2 0 3 k 3k k 2 2 0 k 2 4k 5 0
k1,2 2 i
k1 2 i
( 3 2 i ) 1 2 2 0
( 1 i ) 1 2 2 0
( 1 i ) 0
(
1
2
i
)
0
1
2
1
2
( 1 i ) 1 2 2
1 ( 1 i ) 2
2 1, 1 1 i
( 1 i )e( 2 i )x
Y1
( 2 i )x
e

19. Выделяем действительную и мнимую части

Получим:
( 1 i )e( 2 i )x ( 1 i )e2 x ( cos x i sin x ) e2 x ( cos x i sin x icos x sin x )
Y1
( 2 i )x
2x
2x
e ( cos x i sin x )
e
e ( cos x i sin x )
e2 x [cos x sin x i( sin x cos x )]
;
2x
e ( cos x i sin x )
e2 x ( cos x sin x )
e2 x ( sin x cos x )
Y1
; Y2
2x
2x
e
cos
x
e
sin
x
Общее решение:
Y C1Y1 C2Y2
значит
e2 x ( cos x sin x )
e2 x ( sin x cos x )
Y C1
C2
2x
2x
e
cos
x
e
sin
x

20. Кратные корни характеристического уравнения

Например, корень характеристического уравнения имеет
кратность 3, то решение нужно искать в виде:
y1 ( 1 1 x 3 x 2 )e kx
2
kx
y
(
x
x
)e
2
2
2
3
y ( x x 2 )e kx
3
3
3
3
Числа i , i , i ( i 1 3 ) находятся
методом неопределенных
коэффициентов.

21. Пример

Дана система двух уравнений:
y1 2 y1 y2
y2 y1 4 y2
2 1
A
,
1
4
характеристическое уравнение: | A kE |
2 k
1
1
4 k
( 2 k )( 4 k ) 1 0 k 2 6k 9 0 k1,2 3
Ищем решение системы в виде:
y1 ( 1 1 x )e3 x
3x
y
(
x
)e
2
2
2
Найдем производные и подставим в данную систему:
y1 3( 1 1x )e3 x 1e3 x , y2 3( 2 2 x )e3 x 2e3 x ,
3( 1 1 x )e3 x 1e3 x 2( 1 1 x )e3 x ( 2 2 x )e3 x
3x
3x
3x
3x
3
(
x
)e
e
(
x
)e
4
(
x
)e
2
2
2
1
1
2
2
0

22. Разделим на

e3x
Получим:
3 1 3 1 x 1 2 1 2 1 x 2 2 x
3 2 3 2 x 2 1 1 x 4 2 4 2 x
3 1 x 3 1 1 (2 1 2 ) x 2 1 2
3 2 x 3 2 2 ( 1 4 2 ) x 1 4 2
Приравняем коэффициенты при x :
3 1 2 1 2
1 2
3
4
1 2
2
1
2
Приравняем коэффициенты при x 0 :
3 1 1 2 1 2
1 1 2
3
4
2 2 1
2
1
2
2

23. Получаем систему:

1 1 2
2 1
2 уравнения с 4-мя неизвестными, 2 из них являются
свободными. Пусть 1 C1, 1 C2 тогда
2 C2 , 2 C1 C2 .
Ответ:
y1 ( C1 C2 x )e3 x
3x
y
(
C
C
C
x
)e
2
1
2
2

24. Неоднородные системы дифференциальных уравнений

Найти общее решение:
dy
dx - z cos x
dz y 1
dx
(1)
Соответствующая однородная система:
Ее общее решение: y C1cos x C2sin x .
dy
dx - z 0
dz y 0
dx
z C1sin x C2cos x
Подставляем эти значения в (1), считая C1 ,C2
неизвестными функциями x.

25. После приведения, получим систему:

dC2
dC1
cos
x
sin x cos x
dx
dx
dC1 sin x dC2 cos x 1
dx
dx
dC1 dC2
Решая ее относительно dx , dx и затем интегрируя,
получим
dC1
cos 2 x sin x,
dx
dC2
sin x cos x cos x
dx
x 1
sin x cos x cos x C1 ,
2 2
1
C2 cos2 x sin x C2
2
C1

26. Подставляя найденные выражения в y и z, получим

Общее решение неоднородной системы
x
y
C
cos
x
C
sin
x
cos x 1
1
2
2
z C sin x C cos x x sin x 1 cos x
1
2
2
2