Дифференциальные уравнения

1.

Российская академия народного хозяйства и
государственной службы при Президенте РФ
Институт права и национальной безопасности
Факультет национальной безопасности
Тема № 6
«ОБЫКНОВЕННЫЕ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ
УРАВНЕНИЯ »
Лекция № 1
профессор Резниченко Александр Васильевич
Москва – 2020

2.

УЧЕБНЫЕ ВОПРОСЫ:
1. Основные понятия
2. Дифференциальные уравнения первого
порядка. Задача Коши
3. Дифференциальные уравнения первого
порядка с разделяющимися переменными
4. Линейные дифференциальные
уравнения первого порядка
5. Дифференциальные уравнения
второго порядка

3. Литература

1. Красс М.С., Чупрынов Б.П. Математика для экономистов:
Учебное пособие. – СПб: Питер, 2016.
2. Ахтямов М.А. Математика для социологов и экономистов.
– М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004.
3. Попов А.М. Сотников В. Н. Высшая математика для
экономистов: учебник и практикум для прикладного
бакалавриата. – М.: Изд. "Юрайт", 2014.
4. Высшая математика для экономического бакалавриата:
Учебник и практикум / Под ред. проф. Кремера Н.Ш. – М.:
Изд. "Юрайт", 2016.

4.

ПЕРВЫЙ ВОПРОС
Основные понятия.

5.

Определение.
Дифференциальным уравнением называется уравнение,
связывающее искомую функцию некоторой переменной, эту переменную и производные различных порядков данной функции:
G( x, y, y , y , ..., y ( n ) ) 0,
где G – некоторая функция от n + 2 переменных (n ≥ 1).
Определение.
Термин зависит
«дифференциальные
Если искомая функция
от одной переменной, то дифуравнения» ввел Г.В. Лейбниц.
ференциальные уравнения
называются
обыкновенными,
а если
«Data
aequatione
И.Ньютон
при
создании
исчис«Полезно
решать
от нескольких – уравнениями
в
частных
производных.
ления
«флюксий»
и «флюент»
quotcunque fluentes
ставил
две задачи:
дифференциальные
quantitae
involvente ме1. По данному соотношению
Пример.
уравнения».
ждуfluxiones
флюентами
определить
invenire
et соотношение
между флюксиями;
Задачу нахождения
первообразной
F(x) для заданной функции
И.Ньютон
vice
versa»
2. По данному уравнению, содерf (x) можно рассматривать
как задачу
о нахождении
функции F(x),
жащему флюксии,
найти
соотноИсаак Ньютон (1643–1727)
Г.В. Лейбниц (1646–1716)
шение между F
флюентами.
удовлетворяющую
уравнению
´(x) = f (x).

6.

Определение.
Порядок n старшей производной, входящей в уравнение, называется порядком этого дифференциального уравнения:
F´(x) = f (x) – уравнение первого порядка;
x 2 ( y ) 4 x( y )5 8 0 – уравнение третьего порядка.
Определение.
Дифференциальное уравнение n-го порядка называется разрешенным относительно старшей производной, если оно
имеет вид
(n)
( n 1)
y
F ( x, y, y , y , ..., y
),
где F – некоторая функция от n + 1 переменной.
Пример.
y 2 y 7 x 2 – разрешено относительно старшей производной,
y sin y 4 y 3 3x 2 0 – нет.

7.

Определение.
Решением дифференциального уравнения
G( x, y, y , y , ..., y ( n ) ) 0,
называется такая функция у = у(х), которая при подстановке ее в
уравнение обращает его в тождество.
Пример.
Функция y = sin x есть решение дифференциального уравнения
y y 0.
Функции y = cos x, y = ⅔ ·sin x – решения; y = sin x + ⅔ – нет.
Определение.
Решение, заданное в неявном виде – уравнением G(х,y) = 0,
называется интегралом дифференциального уравнения
График решения (интеграла) дифференциального уравнения
называется интегральной кривой этого уравнения.

8.

Пример.
Решить уравнение y x.
Решение.
dy
, то данное уравнение равносильно dy хdx.
Поскольку y
dx
x2
C1 , где
Выполняя почленное интегрирование получаем y
2
С1 – произвольная постоянная.
Аналогично, записывая производную как отношение дифференциалов, получаем
x3
x2
y C1 x C2 ,
dy C1 dx и
6
2
где С2 – произвольная постоянная.
Замечание.
Решение дифференциального уравнения неоднозначно.
Дифференциальное уравнение задает семейство интегральных кривых на плоскости.

9.

Определение.
Общим решением дифференциального уравнения n-го
порядка называется такое его решение
y ( x, C1 , C2 , ..., Cn ),
которое является функцией переменной х и n произвольных
независимых постоянных С1, С2, …, Сn
Частным решением дифференциального уравнения
называется решение, получаемое из общего решения при
конкретных числовых значениях этих постоянных.
Пример.
Составить
дифференциальное
уравнение семейства кривых
y x.
Решить уравнение
Решение.
y (C1 C2 х)e .
Решение.
x3
x3
y C1 x C2 –заданную
y 2 x 1 – частное.
общее решение,
Дифференцируя
функцию находим
6
6
y C2e x y, y 2C2e x y. Исключаем С2 - y 2 y y 0.
x

10.

ВТОРОЙ ВОПРОС
Дифференциальные уравнения
первого порядка. Задача Коши

11.

Определение.
Обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка,
разрешенное относительно y´, имеет вид:
y´ = f (x, y),
где f (x, y) – некоторая функция двух переменных, определенная и
непрерывная на открытом * множестве Г точек плоскости Оxy.
Геометрический смысл
Уравнение в каждой точке плоскости
задает направление tg α = f (x, y) касательной к интегральной кривой y = y(x),
проходящей через эту точку или поле
направлений.
Решить уравнение – найти семейство кривых, отвечающих заданному полю
направлений.
* Множество точек плоскости называется открытым, если вместе с
каждой своей точкой оно содержит и некоторую окрестность этой точки.

12.

Теорема.
Пусть в дифференциальном уравнении y′ = f (x, y) функция
f
f (x, y) и ее частная производная
y
непрерывны на открытом множестве Г
координатной плоскости Оxy.
Тогда
(x0, y0)
1. Для всякой точки (x0, y0) множества
Г найдется решение y = y (x) уравнения y′ = f (x, y), удовлетворяющее
начальному условию y0 = y (x0).
2. Если два решения y1 = y1(x) и y2 = y2(x) уравнения y ′ = f (x, y)
смысл x
теоремы
совпадают хотя Геометрический
бы для одного значения
= x0, т.е. если y1(x0) =
каждую
точку (xсовпадают
Г проходит
0, y0) множества
= Через
y2(x0) то
эти решения
для всех
значенийодна
пере-и
только
интегральная
кривая уравнения y´ = f (x, y).
менной одна
х, для
которых они определены.

13.

Определение.
Пример.
Общим решением дифференциального уравнения первого
Пример
уравнения,множестве
для которого
не выполняется
условие
порядка
на открытом
Г координатной
плоскости
Оxy
единственности
решения,
существует
точка, на
называется
функция
y = φ(x,т.е.
C ), зависящая
от такая
x и произвольной
Замечание.
плоскости С,Oxy
, через которую проходит более одной
постоянной
если:
интегральной
кривой.
– она является
решением
дифференциального
уравнения перЗадача
отыскания
частного
решения дифференциального
вого порядка при любом
значении постоянной С ;
2
уравнения
y′ = начальных
f (x, y), удовлетворяющего
начальному
условию
– при любых
условиях
y
=
y
(
x
),
(
x
y
)
Г
, сущест0
0
0,
0
3
y значение
y задачей
y0 = yединственное
(x0), называется
Коши. С = С0 такое, что функция
вует
постоянной
y =Таким
φ(x, C0 )образом
удовлетворяет
начальным условиям
y0устанавливает
= φ(x0, C0 ).
рассмотренная
теорема
Непосредственной подстановкой проусловия
существования и единственности решения задачи
Определение.
веряем, что
Частным решением дифференциального функция y = φ(x, C0 ),
Коши.
которая
из общего решения y = φ(x, C ) при опредеy 0получается
,
ленном значении
постоянной
С = C0.
–
решения
данного
3
уравнения,
Определение.
x
проходящие
y дифференциального
уравнения первого порядка на
Решение
через
точку (0,0). плоскости Оxy называется
3множестве
открытом
Г координатной
особым, если через каждую точку его интегральной кривой
проходит, по крайней мере, еще одна интегральная кривая.

14.

ТРЕТИЙ ВОПРОС
Дифференциальные уравнения
первого порядка с
разделяющимися переменными

15.

Определение.
Дифференциальное уравнение первого порядка y´ = f (x, y) называется уравнением с разделяющимися переменными, если
оно может быть представлено в виде:
dy
f ( x)dx g ( y )dy f ( x) g ( y )
dx
или в более общем виде
Определение.
M ( x) N ( y )dx P( x)Q( y )dy 0.
Дифференциальное уравнение первого порядка y ′ = f (x, y) называется неполным, если функция f явно зависит либо только от
x, либо только от y.

16.

Решение неполных дифференциальных уравнений:
dy
f (x ) преобразуем к виду
1. Уравнение y´ = f (x) или
dx
dy f ( x)dx, откуда его решение y f ( x)dx.
2. Уравнение y´ = f (y) или
dy
f ( y ) преобразуем к виду
dx
dy
dx (в силу инвариантности формы дифференциала
f ( y)
dy
.
переменные x и y равноправны), откуда его решение x
f ( y)
Пример.
Решить уравнение y y.
Решение.
x
dy
~
ln | y | C , откуда y eC e x Ce x .
y
~
Общее решение уравнения при С = 0 дает частное решение y = 0,
утраченное в процессе преобразований.

17.

Решение дифференциальных уравнений с разделяющимися
переменными:
Для решения уравнения следует преобразовать его к виду, в
котором дифференциал и функции переменной х окажутся в
одной части равенства, а переменной y – в другой, а затем
проинтегрировать обе части полученного равенства:
1. f ( x)dx g ( y )dy
f ( x)dx g ( y)dy;
dy
dy
dy
f ( x) g ( y )
f ( x)dx
f ( x)dx;
dx
g ( y)
g ( y)
M ( x)
Q( y )
3. M ( x) N ( y )dx P( x)Q( y )dy 0
dx
dy
P( x)
N ( y)
2.
M ( x)
Q( y )
dx
dy.
P( x)
N ( y)

18.

Решение дифференциальных уравнений с разделяющимися
переменными:
Уравнение вида
y´ = f (ax + by)
где а и b – некоторые числа,
приводятся к уравнениям с разделяющимися переменными с
помощью замены
z = ах + by или z = ах + by + с,
где с – некоторое число.
Пример.
Решить уравнение ( x 2 y ) y 1.
Решение.
Положим z = х + 2y. Тогда z´ = 1 + 2y´, откуда y´ = (z´- 1)/2.
Теперь исходное уравнение имеет вид z(z´- 1) = 2, допускающий
разделение переменных.

19.

Действительно z z 2
z
или
zdz
dx,
z 2
где z ≠ -2.
Выполняя почленное интегрирование равенства получаем
zdz
z 2 dx или x z 2 ln | z 2 | C.
Поскольку
zdz
2
dz
1
dz
dz
2
z 2 z 2
z 2 z 2 ln | z 2 | C.
~
Тогда x x 2 y 2 ln | x 2 y 2 | C или y 2 ln | x 2 y 2 | С ,
1
~
где С С , – решение дифференциального уравнения.
2
Если z = -2, то функция y 1
1
x так же является решением
2
исходного уравнения как и вышеуказанная неявная функция.

20.

ЧЕТВЕРТЫЙ ВОПРОС
Линейные дифференциальные
уравнения первого порядка

21.

Определение.
Дифференциальное уравнение первого порядка называется
линейным, если оно имеет вид:
y' + f (х)y = g(x),
Способ
где
f (х), gрешения.
(x) – некоторые непрерывные функции переменной х.
Решение
y = y(x)g(уравнения
может быть
найдено
виде
Если функция
x) тождественно
равна
нулю, вто
уравнение
у=
u(x)∙v(x), случае – неоднородным.
называется однородным ,* в
противном
где v = v(х) – некоторое частное решение уравнения v' + f (x)v = 0,
u = u(х) – решение уравнения u'v = g(х).
Поскольку y' = u'v + v'u,
* Линейным дифференциальным уравнением первого порядка
то правой
u'v + v'uчасти
+ f (х)uv
без
. = g(x) или u'v + u(v' + f (х)v) = g(x).

22.

Пример.
Решить уравнение xy 2 y 2 x 4 .
Решение.
Разделим левую и правую части уравнения на х:
y
2
y 2 x3.
x
2
u
v
u
(
v
v) 2 x 3 .
Положим y = u∙v и тогда
x
2
dv 2
dv
dx
v
2 . Частное решение v = x2.
1. v v 0
x
dx x
v
x
du
2
u
v
2
x
2
x
u
x
C.
2.
dx
3
Откуда
y uv ( x 2 C ) x 2 x 4 Cx2 .

23.

Способ решения.
Неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка
может быть решено методом вариации произвольной постоянной, при котором сначала находят решение v однородного
уравнения.
Это решение (как и любое общее решение дифференциального
уравнения первого порядка) зависит от постоянной С (v = V(х, С )).
Предполагая затем, что С является функцией переменной x,
Определение.
находят эту функцию С = С(х) из условия, что y = V(х, С ) удовлетДифференциальное
уравнение первого порядка называется
воряет
исходному уравнению.
уравнением Бернулли, если оно имеет вид:
y' + f (x)y = g(x)∙yn,
где n ≠ 0,п ≠ 1.
Это уравнение приводится к линейному с помощью подстановки
z = у1-n.

24.

ПЯТЫЙ ВОПРОС
Дифференциальные уравнения
второго порядка

25.

Определение.
Дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение, связывающее искомую функцию некоторой
переменной, эту переменную и производные первого и второго
порядков данной функции:
G ( x, y, y , y ) 0,
где G – некоторая функция четырех переменных.
Замечание.
В некоторых случаях решение дифференциального уравнения второго порядка может быть сведено к последовательному решению двух дифференциальных уравнений
первого порядка.
Другими словами – данное дифференциальное уравнение
допускает понижение порядка.

26.

Пример.1.
Случай
y 0.
Решить
уравнение xy уравнение
Если
дифференциальное
имеет вид
Решение.
y f (x),
Положим z y .
то оно решается
последовательным интегрированием.
Тогда z y , и исходное уравнение принимает вид xz z 0.
~
Случай 2. dz
dx
C
z
.
Откуда
Если дифференциальное уравнение
имеет вид
z
x
x
G ( x, y , y ) функции,
0,
Возвращаясь к первоначальной
получаем
т.е. в запись уравнения
не входит
искомая функция у = у(х), то
~
~
‫י‬.
C достигается
Cdx
~
понижение порядка
с
помощью
замены
z
=
у
y dy
y C ln | x | C.
x
x

27.

Пример.
Решить уравнение 2 yy ( y ) 2 1.
Решение.
dz dz dy
Случай 3.
y
z z.
z
z
(
y
)
y
.
Положим
Тогда
Если дифференциальное уравнениеdx
имеет
dy видdx
G ( y, y , y ) вид:
0, 2 yzz z 2 1.
и исходное уравнение принимает
то для понижения порядка можно за независимую переменДанное уравнение – с разделяющимися переменными:
ную взять у, а за неизвестную функцию z = z (у) = у‫ י‬.
2zdz dy
... z C1 y 1.
2
z 1 y
Возвращаясь к первоначальной замене z y , получаем
С12
dy
С
dx ... C1 y 1 1 ( x C2 ) или C1 y 1
( x C2 ) 2 .
2
4
C1 y 1

28.

I этап.
Рассмотрим линейные однородные уравнения второго
порядка
с постоянными коэффициентами
Определение.
Линейным дифференциальным
второго поy py qy 0уравнением
.
рядка с постоянными коэффициентами называется уравнеТеорема.
ние вида
Если ỹ1(x) и ỹ2(x) – линейно
частные решения
y py независимые
qy f (x)
линейного однородного уравнения второго порядка с постоянными
то общее
уравнения
где у =коэффициентами,
у (х) – искомая функция,
p и q -решение
вещественные
числа, fесть
(x) линейная
комбинация функция.
этих частных решений:
заданная непрерывная
y = С1 ỹ1(xназывается
) + С2 ỹ2(x). однородным; в проЕсли f (x) 0, то уравнение
тивном случае оно называется неоднородным.
Замечание.
Дифференциальному уравнению y‫ יי‬+ pу‫ י‬+ q y = 0 ставится в
соответствие характеристическое уравнение:
λ2 + pλ + q = 0,
где λ – переменная.

29.

Теорема.
1. Если характеристическое уравнение λ2 + pλ + q = 0,
дифференциального уравнения y‫ יי‬+ pу‫ י‬+ qy = 0 имеет действительные корни λ1 и λ2, причем λ1 ≠ λ2, то общее решение уравнения имеет вид:
y( x) C1e 1x C2e 2 x .
2. Если характеристическое уравнение имеет один корень λ
(кратности 2), то общее решение уравнения имеет вид:
y( x) e x (C1 С2 x).
3. Если характеристическое уравнение имеет комплексные
корни λ = α ± i β, где α = - p/2, β = √ q – p2/4 , то общее решение
уравнения имеет вид:
y( x) e x (C1 sin x C2 cos x),
где С1 и С2 – некоторые числа.

30.

Пример.
Найти частное решение уравнения y 3 y 2 y 0 при следующих начальных условиях y (0) 3; y (0) 4.
Решение.
Решая характеристическое уравнение λ2 - 3λ + 2 = 0, получаем
его корни: λ1 = 1; λ2 = 2.
Тогда общее решение данного уравнения имеет вид:
y C1e x C2e 2 x .
Постоянные С1 и С2 находим для заданных начальных условий,
решая систему:
C1 C2 3,
C1 2C2 4,
Следовательно частное решение
откуда С1 = 2, С2 = 1.
~
y 2e x e2x .

31.

Пример.
II этап.
Рассмотрим решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными
коэффициентами.
Первый способ.
Метод вариации произвольных постоянных.
Пусть найдено общее решение у(х) = С1 ỹ1(x) + С2 ỹ2(x) соответствующего однородного уравнения.
Тогда общее решение исходного уравнения имеет вид
у(х) = С1(х) ỹ1(x) + С2(х) ỹ2(x),
где С1(х) и С2(х) – функции переменной х.
Эти функции могут быть найдены в результате решения
системы:
y1 ( x) C2 ( x) ~
y2 ( x) 0,
C1 ( x) ~
~
~
C
(
x
)
y
(
x
)
C
(
x
)
y2 ( x) f ( x).
1
2
1

32.

Второй способ.
Теорема.
Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения равно сумме общего решения соответствующего
однородного уравнения и частного решения исходного
неоднородного уравнения.
При этом вид частного решения устанавливается по виду
правой части уравнения, и задача сводится к отысканию
коэффициентов этого частного решения.
Вариант 1.
Если f (x) = Pn(x) = a0 xn + a1 xn-1 + ... + an-1 x + an – многочлен
порядка n, то частное решение ищется в виде
ỹ (x)= Qn(x)xr,
где Qn(x) – некоторый многочлен порядка n, коэффициенты
которого подлежат определению;
r – число корней характеристического уравнения, равных 0.

33.

Пример.
Найти общее решение уравнения у'' + 3y' = x2 + x +2.
Решение.
Cоставляем характеристическое уравнение λ2 + 3λ = 0.
Его корни λ1 = 0 и λ2 = -3 – действительные и различные.
Следовательно, общее решение однородного уравнения
имеет вид
y(x) = C1 + C2 e -3x.
Частное решение исходного уравнения надо искать в виде
~
y ( x) ( Ax2 Bx C ) x
поскольку n = 2 и r = 1.
Для определения коэффициентов А, В и С подставим ỹ (x) в
исходное уравнение, имея в виду, что
~
y ( x) 3 Ax 2 2Bx C, ~
y ( x) 6 Ax 2B.

34.

Получаем
6Ах + 2В + 9Ах2 + 6Вх + 3С = х2 + х + 2.
Приравнивая коэффициенты при соответствующих степенях х
в обеих частях равенства, получим систему трех уравнений для
трех неизвестных:
9 А 1,
6 А 6 В 1,
2 В 3С 2.
Ее решением являются числа А = 1/9, В = 1/18, С = 17/27.
И так, общее решение исходного линейного неоднородного дифференциального уравнения:
x
~
yобщ ( x) y ( x) у ( х) (6 x 2 3x 34) C1 C2 e 3 x .
54

35.

Вариант 2.
Если f (x) = e xPn(x), то частное решение ищется в виде
~
y ( x) Qn ( x) x r e x ,
где Qn(x) – многочлен той же степени, что и Pn(x);
Замечание.
r – число корней характеристического уравнения, равных .
Если неоднородность f (x) исходного уравнения имеет вид:
Здесь, как и в первом варианте, подлежат определению
f (х) = f1(х) + fQ2(х(x) ).+ ...+ fn(х),
коэффициенты многочлена
n
и ui (х) – частные решения уравнений y py qy f i ( x) i 1 n.
Вариант 3.n
то Если
исходного
уравнения.
u ( x) f (x) u=i (axcos
) – частное
x + b sin xрешение
, где а, b и
– известные
числа, то
i 1
частное решение ищется в виде
~
y ( x) ( A cos x B sin x) x r ,
где А и В – подлежащие определению коэффициенты;
r – число корней характеристического уравнения, равных i .

36.

Благодарю за внимание,
лекция окончена!