Системы линейных дифференциальных уравнений

1. Математика 2 семестр

Лекция 14
Системы линейных
дифференциальных уравнений

2.

Мини-КР
1. Решить ОЛДУ
y
4 y
8y 0
y
2 y
0
y
4 y
5y 0
y
6 y
9y 0
y
4 y
4y 0
y
4y 0
2. Найти вид частного решения НЛДУ
y
4 y
8 y x sin x
2 x
y 2y e
2x
y 4y 4y 1 e
y
4 y
5 y x 2 2 e x
y
6 y
9 y xe 3 x
y
4 y sin 2 x
2

3.

Введение
•Существуют методы решения систем
дифференциальных уравнений, сходные с теорией
решения ЛДУ.
3

4.

Основные понятия теории СЛДУ
Определение. Нормальная система ДУ называется
линейной, если в каждом ее уравнении функции
xi
t fi t , x1 t , K , xn t ; i 1, n линейны относительно
неизвестных функций, т. е. если она имеет вид:
n
dxi
aij x j bi (t ), i 1, n.
dt
j 1
Запишем систему в векторной форме: x& A t x B t ,
T
где x x1 t , K , xn t .
При B t 0 получим систему ОЛДУ вида x& A t x
t a, b
4

5.

Свойства решений СОЛДУ
Обозначим через Y множество всех решений СОЛДУ,
Y – линейное пространство.
5

6.

Теорема о структуре общего решения СОЛДУ
6

7.

Теорема о структуре общего решения СНЛДУ
n
Если 1) xk t - ФСР СОЛДУ
x& A t x ;
k 1
2) t – некоторое решение СНЛДУ x& A t x B t ,
то общее решение СНЛДУ находится по формулам:
n
xобщ. СНЛДУ t xобщ. СОЛДУ t t ck xk t t
k 1
или xобщ. СНЛДУ t t c t , t a, b .
Для поиска частного решения t можно
воспользоваться методом вариации произвольной
постоянной (из СОЛДУ):
t t c t .
7

8.

t0
A t x B t , имеет решение t t c t .
СНЛДУ x
Тогда
t
t c t t c
t , т.е.
t c t t c
t A t c t B t
t A t , то t c
t B t .
Т.к.
1
c
t
t B t .
Отсюда
t
1
c
t
B d ,
Проинтегрируем обе части:
t
t0 – любое число (a,b).
t
0
t t
1 B d .
t0
t
1
x
t
t
c
t
B d Т.О. общ СНЛДУ
t0
формула Коши.
8

9.

9

10. ОСЛДУ с постоянными коэффициентами

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

‚ 1 1
sin t
X
,
X
2 0 0
τ
X
0
0;
0
.
x%
i t e t Rmi s t cos t Tmi s t sin t , i 1, n

25.

26.

27.

4. Найти общее решение СНЛДУ используя метод
Эйлера для СОЛДУ и подбор решений для СНЛДУ
27

28.

28

29.

29

30.

5. Найти общее решение СОЛДУ методом Эйлера
1
1
x.
x&=
- 2 - 1
30

31.

31

32.

6. Найти общее решение СОЛДУ методом Эйлера
2
1
x.
x&=
0
1
32

33.

33

34.

7. Решить СНЛДУ по формуле Коши
2
3
t
&
x =
x +
,
6 - 1
3
T
x ( 0) = ( 1, 0)
34

35.

35

36.

36

37.

Формула Коши
t
xобщ СНЛДУ t t c t
1 B d
t0
37

38.

38

39.

39