Дифференциальные уравнения. Линейные дифференциальные уравнения высшего порядка

1. Дифференциальные уравнения

Линейные дифференциальные
уравнения высшего порядка

2. Дифференциальные уравнения

Определение 1.
Линейное дифференциальное уравнение
n-го порядка имеет вид
y ( n) p n 1( x) y ( n 1) p0 ( x) y q( x)
где
p0 ( x), , pn 1 ( x) коэффициен ты,
q( x) правая часть уравнения.
ЛДУ

3. Дифференциальные уравнения

Определение 1.
Линейное дифференциальное уравнение
n-го порядка имеет вид
y ( n) p n 1( x) y ( n 1) p0 ( x) y q( x)
где
ЛДУ
p0 ( x), , pn 1 ( x) коэффициенты,
q( x) праваячасть уравнения.
Определение 2.
Линейное дифференциальное уравнение
называется однородным, если
и называется неоднородным, если
q ( x) 0
q ( x) 0
ЛОДУ ;
ЛНДУ ;

4. Дифференциальные уравнения

Определение 3.
Линейным дифференциальным
оператором n-го порядка называется
выражение:
Ly y ( n) p n 1( x) y ( n 1) p0 ( x) y
ЛОДУ:
ЛНДУ:
Ly 0
Ly q ( x)

5. Дифференциальные уравнения

Определение 4.
Общим решением ЛДУ n-го порядка
называется
функция y ( x , C1 , , Cn )
,
зависящая от х и n произвольных постоянных,
если любое решение может быть получено из
нее при некоторых конкретных значениях
постоянных.
Решение, полученное из общего решения при
конкретных значениях постоянных,
называется частным решением.

6. Дифференциальные уравнения

Задача Коши.
Найти решение ЛДУ n-го порядка
y ( n) p n 1( x) y ( n 1) p0 ( x) y q( x)
удовлетворяющее начальным условиям
y( x0 ) y0 , y ( x0 ) y1 , , y ( n 1) ( x0 ) yn 1
Теорема (
!).
Пусть в интервале
( a, b)
p0 ( x) , , pn 1 ( x)
коэффициенты
и правая часть q (x) ЛДУ n-го порядка
– непрерывные функции.
Тогда при любом x0 (a , b) найдется
некоторая окрестность ( x , x )
0
0
такая, что в этой окрестности существует
единственное решение задачи Коши.

7. Дифференциальные уравнения

Линейно зависимые и линейно
независимые системы функций.
Определение 1.
Система функций 1 ( x) , , k ( x)
называется линейно зависимой в
интервале (a , b)
если найдутся такие коэффициенты C
1
что среди них есть хотя бы один,
отличный от нуля, а линейная
комбинация функций
, , Ck
C1 1 ( x) Ck k ( x)
тождественно равна нулю в интервале
(a , b)

8. Дифференциальные уравнения

Линейно зависимые и линейно
независимые системы функций.
Частный случай.
( x) , ( x)
Система двух функций
1
2
будет линейно зависимой в интервале (a ,
тогда и только тогда, когда их отношение
b)
1 ( x)
const x (a, b)
2 ( x)
Доказательство. Необходимость.
линейно зависимы
1
2
( x) , ( x)
C1 1 ( x) C2 2 ( x) 0, C1 0
Достаточность.
1 ( x)
C 0
2 ( x)
1 ( x) C 2 ( x) 0
1 ( x)
C
2
2 ( x)
C1

9. Дифференциальные уравнения

Линейно зависимые и линейно
независимые системы функций.
Определение 2.
( x) , , ( x)
Система функций
1
k
называется линейно независимой в
интервале (a , b)
если линейная комбинация этих функций
C1 1 ( x) Ck k ( x)
тождественно равна нулю при всех
лишь в том случае, когда все
коэффициенты C , , C
1
k
равны нулю.
x (a , b)

10. Дифференциальные уравнения

Примеры.
1. Система функций
1 ( x) 1 , 2 ( x) x , 3 ( x) x 2
линейно независимая в любом интервале (a , b)
Рассмотрим линейную комбинацию
этих функций и предположим, что она
тождественно равна нулю:
2
C1 1 C2 x C3 x 0
Тогда и производные от нее должны
равняться нулю:
C2 2C3 x 0,
2C3 0
Отсюда следует:
C1 C2 C3 0

11. Дифференциальные уравнения

Примеры.
2. Система функций
rx
kx
1
2
линейно независимая в любом
интервале (a , b) :
( x) e , ( x) e , r k ,
1 ( x) e
( r k ) x
kx e
const x (a, b)
2 ( x) e
rx
В общем случае система функций
1 ( x) e , 2 ( x) e , ..., n ( x) e , ri rj , i j
r1 x
r2 x
линейно независимая при всех х .
rn x

12. Дифференциальные уравнения

Примеры.
3. Система функций
1 ( x) e , 2 ( x) e , 3 ( x) 2e
x
2x
линейно зависимая в любом
интервале (a , b) :
Положим
C1 2 , C2 0 , C3 1
и составим линейную
комбинацию функций
с этими коэффициентами
2 e 0 e 2e 0
x
2x
x
x

13. Дифференциальные уравнения

Определитель Вронского.
( x) , , ( x)
Пусть функции
1
k
имеют в интервале (a , b) непрерывные
производные до порядка k-1 включительно.
Определение.
Определителем Вронского системы функций
называется определитель
k
(x)
1 ( x)
1 ( x)
W ( x)
2 ( x)
2 ( x)
k ( x)
k ( x)
1( k 1) ( x) 2( k 1) ( x) k( k 1) ( x)

14. Дифференциальные уравнения

Определитель Вронского.
Теорема (необходимое условие линейной зависимости).
( x),
Пусть система функций
i
линейно зависима в (a , b) .
Тогда W ( x ) 0при всех
Доказательство ( при к=2).
1. C1
, C2
1 i k
x (a , b)
( хотябы одно не равно нулю )
x (a, b) C1 1 ( x) C2 2 ( x) 0
2.
Пусть , например , С2 0
C
2 ( x) 1 1 ( x) 1 ( x)
C2
1 2 1 1
W ( x)
0
1 2 1 1

15. Дифференциальные уравнения

y
Пример.
Рассмотрим две функции
y
1 x 2 и 2 x x
На отрезке
1, 1
1 x 2
они линейно независимые:
-1
C1 x 2 C2 x x 0
x 1 C1 C2 0
C1 C2 0
x 1 C1 C2 0
-1
0
1
х
2 x x
0
1
х

16. Дифференциальные уравнения

y
Пример.
Рассмотрим две функции
y
1 x 2 и 2 x x
На отрезке
1, 1
1 x 2
они линейно независимые:
-1
C1 x 2 C2 x x 0
x 1 C1 C2 0
C1 C2 0
x 1 C1 C2 0
Определитель Вронского
W ( x) 0:
1.
x2 x2
x 0 W ( x)
0
2x 2x
2.
x2 x2
x 0 W ( x)
0
2x 2x
3.
x 0 W (0) 0
-1
0
1
х
2 x x
0
1
х