Линейные дифференциальные уравнения

1. Линейные дифференциальные уравнения

Лекция 3

2. §1.Основные понятия

Линейным дифференциальным
называется уравнение вида
уравнением
n-го
порядка
y ( n ) p1 ( x) y ( n 1) p2 ( x) y ( n 2) ... pn 1 ( x) y pn ( x) y f ( x),
(1.1)
где p1 ( x), p2 ( x), .., pn (x), f (x) заданные и непрерывные функции на
некотором интервале (a, b).
Если f ( x) 0, то уравнение
однородным уравнением.
(1.1)
называется
линейным

3. §2. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка

Линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид
y p( x) y q( x) y 0,
(2.1)
где p(x), q(x) – непрерывные функции.
Рассмотрим некоторые свойства решений линейного однородного уравнения (2.1).
Теорема 1. Если y1 ( x) есть решение однородного линейного уравнения (2.1) и
с – произвольная постоянная, то c y1 также является решением уравнения (2.1).
Теорема 2. Если функции y1 ( x) и y2 ( x) – решения уравнения (2.1), то функция
(2.2)
y c1 y1 ( x) c2 y2 ( x),
где c1 и c2 – произвольные постоянные, также является решением уравнения (2.1).
Подставим в левую часть уравнения (2.1) функцию
y c1 y1 ( x) c2 y2 ( x)
и её прозводные, получим
(c1 y1 c2 y2 ) p( x)(c1 y1 c2 y2 ) q( x)(c1 y1 c2 y2 ) c1 ( y1 p( x) y1 q( x) y1 ) C2 ( y2 p( x) y2 q( x) y2 ) c1 0 c2 0 0
Следовательно,
y c1 y1 ( x) c2 y2 ( x),
является решением уравнения (2.1).

4.

Функции y1 ( x) и y2 ( x) называются линейно независимыми на
интервале (a, b), если равенство
(2.3)
1 y1 ( x) 2 y2 ( x) 0, ( 1 , 2 R )
выполняется тогда и только тогда, когда 1 2 0.
Функции y1 ( x) и y2 ( x) называются линейно зависимыми на
интервале (a, b), если равенство
1 y1 ( x) 2 y2 ( x) 0, ( 1 , 2 R )
выполняется, если хотя бы одно из чисел 1 или 2 отлично от нуля.
Замечание. Функции y1 ( x) и y2 ( x) линейны независимы тогда и
только тогда, когда они не пропорциональны, т.е.
y1 ( x)
k , (k const ).
y 2 ( x)
(2.4)

5.

Функции y1 ( x) и y2 ( x) линейны зависимы тогда и только тогда, когда
они пропорциональны, т.е.
y1 ( x)
(2.5)
k.
y 2 ( x)
Например, функции
y1 x 3
x const ,
y2 x 2
y1 ( x) x 3
а функции
и
y1 5x 3
y 2 ( x) x 2
и
y2 x 3
линейны независимы, т.к.
линейно зависимы т.к.
y1 5 x3
5 const , .
y2 x 2
Если функции y1 ( x) и y2 ( x) имеют производную первого порядка, то
определитель
W ( x)
y1
y1
y2
y 2
называется определителем Вронского или вронскианом данных функции.
Теорема. Если дифференцируемые функции y1 ( x) и y2 ( x) линейно
зависимы на (a, b), то определитель Вронского на этом интервале
тождественно равен нулю.
Доказательство.
Пусть y1 и y 2 -линейно зависимы, тогда
y1
k const , y1 k y2
y2
W ( x)
y1
y1
y 2 ky2
y 2
ky 2
y2
0.
y 2

6.

Теорема. Если дифференцируемые функции линейно независимые, то
определитель Вронского на этом интервале отличен от нуля во всех
точках этого интервала.
Фундаментальной системой решений линейного однородного
дифференциального уравнения
второго порядка y p( x) y q( x) y 0
называется совокупность любых двух линейно независимых на интервале
(a, b) частных решений.
Теорема (о структуре общего решения линейного однородного
уравнения второго порядка). Если y1 ( x) и y2 ( x) - два частных решения
уравнения (2.1), образующих фундаментальную систему решений на
(а,b),то
(2.6)
y c1 y1 c2 y2 , ( c1 ,c2 -произвольные постоянные)
является общим решением линейного однородного дифференциального
уравнения (2.1).
Замечание. Рассмотренные понятия и свойства решений линейных
однородных уравнений второго порядка можно распространить на
линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка.

7. §3 Линейные неоднородные уравнения второго порядка

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка имеет
вид
y p( x) y q( x) y f ( x) ,
(3.1)
где p( x), q( x), f ( x) - известные, непрерывные на (a,b) функции.
Если в уравнении (3.1) f ( x) 0, т.е.
y p( x) y q( x) y 0 ,
(3.2)
то оно называется соответствующим однородным уравнением.
Теорема (о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения
второго порядка). Общим решением уравнения (3.1) является сумма общего
решения y соответствующего однородного уравнения (3.2) и произвольного
частного решения y неоднородного уравнения (3.1), т.е.
y y y .
(3.3)