Дифференциальные уравнения высших порядков. (Лекция 2.10)

1. Лекция 2-10. 12.2.4 Дифференциальные уравнения высших порядков.

Определение. Порядком дифференциального
уравнения называется наивысший порядок производной,
n
входящей в уравнение
F æç x, y, y¢, y¢¢,..., y ( ) ö÷ = 0.
è
ø
Дифференциальное уравнение, разрешенное
n)
(
y
относительно производной
имеет вид
n
n -1) ö
y ( ) = f æç x, y, y¢,..., y (
÷.
è
ø
Общее решение дифференциального уравнения имеет
y = j ( x, C1, C2 ,..., Cn ) .
вид
Частные решения дифференциального уравнения
определяются из начальных условий
n -1)
(
n -1)
(
y x = x = y0 , y¢ x = x = y0¢ , ..., y
= y0
.
0
0
x = x0

2. Теорема о существовании и единственности решения.

n -1) ö
(
æ
¢
Если функция f ç x, y , y ,..., y
÷ и ее производные
è
ø
¶f ¶f
¶f
,
,....,
n -1) непрерывны в окрестности значений
(
¶y ¶y¢
¶y
n -1)
(
æ
¢
ç x0 , y0 , y0 ,..., y0
è
ö
÷ , то дифференциальное уравнение
ø ( n)
n -1) ö
(
æ
¢
y
= f ç x, y , y ,..., y
÷
è
ø
в достаточно малом интервале ( x0 - h, x0 + h ) имеет
единственное решение y = y ( x ) , удовлетворяющее
заданным начальным условиям n -1
( n -1) .
)
y x = x = y0 , y¢ x = x = y0¢ , ..., y (
= y0
0
0
x = x0

3. 12.3. Линейные дифференциальные уравнения. 12.3.1. Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка.

Определение.
Линейным
дифференциальным
уравнением 2-го порядка называется дифференциальное
уравнение 1-й степени относительно неизвестной функции
и ее производных
(*)
y¢¢ + a1 ( x ) y¢ + a2 ( x ) y = f ( x ) .
Функция f ( x )называется правой частью
дифференциального уравнения.
Если f ( x ) º 0, то уравнение называется однородным.
В противном случае - уравнение называется
неоднородным.

4.

• Если "x Î ( a, b )
f ( x ) , a1 ( x ) , a2 ( x ) непрерывны, то
" y x = x = y0 , y¢ x = x = y0¢ x0 Î ( a, b )
существует
0
0
единственное решение y = y ( x ) , удовлетворяющее
заданным начальным условиям.
Дифференциальное уравнение
p0 ( x ) y¢¢ + p1 ( x ) y¢ + p2 ( x ) y = q ( x )
можно привести к виду (*), разделив на p0 .
Там, где p0 = 0 - особые точки.

5. 12.3.2. Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка без правой части. (**)

12.3.2. Линейные дифференциальные
уравнения 2-го порядка без правой части.
y¢¢ + a1 ( x ) y ¢ + a2 ( x ) y = 0.
(**)
Считаем, что a ( x ) , a ( x ) непрерывны на ( a, b ) .
1
2
y º 0.
Тривиальное решение
y1 ( x ) , y2 ( x )
Теорема 1. Если
- решения
дифференциального уравнения (**), то их линейная
y = C1 y1 ( x ) + C2 y2 ( x ) также является
комбинация
решением уравнения (**) для любых C1, C2 .
y¢ = C1 y1¢ + C2 y2¢ ,
Доказательство: y = C1 y1 + C2 y2 ,
y¢¢ = C1 y1¢¢ + C2 y2¢¢ .
Подставим в уравнение
C1 y1¢¢ + C2 y2¢¢ + a1 ( C1 y1¢ + C2 y2¢ ) + a2 ( C1 y1 + C2 y2 ) =
= C1 ( y1¢¢ + a1 y1¢ + a2 y1 ) + C2 ( y2¢¢ + a1 y2¢ + a2 y2 ) = 0.

6. Теорема 2.

Если y1 ( x ) , y2 ( x ) - решения дифференциального
y2
уравнения (**) и
¹ const , то y = C1 y1 ( x ) + C2 y2 ( x )
y1
общее решение дифференциального уравнения.
¢
¢
Доказательство: Покажем, что " y x = x0 = y0 , y x = x0 = y0
можно подобрать C1, C2 так, чтобы решение y
удовлетворяло начальным условиям. Подставим
начальные условия в выражения для y и y¢.
C1 y10 + C2 y20 = y0 ,
¢ + C2 y20
¢ = y0¢ .
C1 y10
y10 y20
W0 = ¢
¹ 0.
¢
y
y
10 20
Определитель системы
{

7.

y10 y20
W
=
Покажем, что определитель 0 y10
¢ y20
¢ ¹ 0.
Если это так, то система имеет решение "y0 , y0¢ .
Предположим обратное. Определитель равен нулю.
Тогда система
C1 y10 + C2 y20 = 0,
{ C y¢
¢ =0
1 10 + C2 y20
при нулевых начальных условиях помимо нулевого,
имеет бесконечное множество ненулевых решений.
Пусть C10 , C20 одно из них. Тогда C10 y1 + C20 y2 º 0.
C10
y2
Следовательно
== const ,что противоречит
y1
C20
условию.

8. 12.3.3. Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с правой частью. (***)

12.3.3. Линейные дифференциальные
уравнения 2-го порядка с правой частью.
y¢¢ + a1 ( x ) y¢ + a2 ( x ) y = f ( x ) .
(***)
Теорема. Общее решение дифференциального
уравнения (***) есть сумма общего решения однородного
уравнения (**) и частного решения неоднородного
уравнения (***).
Доказательство: Пусть Ф ( x ) - общее решение однородного уравнения, j ( x ) - частное решение неоднородного уравнения. Рассмотрим их сумму yФ
= x ( ) + jx ( ) .
¢ = x¢ ( ) + jx¢ ( )y, ¢¢Ф= x¢¢ ( ) + jx¢¢ ( ) .
Тогда yФ
Ф¢¢ ( x ) + j¢¢ ( x ) + a1 ( Ф¢ ( x ) + j¢ ( x ) ) + a2 ( Ф ( x ) + j ( x ) ) =
= ( Ф¢¢ ( x ) + a1Ф¢ ( x ) + a2Ф ( x ) ) + ( j¢¢ ( x ) + a1j¢ ( x ) + a2j ( x ) ) = f ( x ) .
Следовательно
y = C1 y1 ( x ) + C2 y2 ( x ) + u ( x ) .

9. 12.3.4. Однородные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами.

12.3.4. Однородные дифференциальные
уравнения 2-го порядка с постоянными
y¢¢ + a1 y¢ + a2 y = 0.
коэффициентами.
rx
y
=
e
,где r - действительное
Ищем решение в виде
или комплексное число.
y¢ = re rx , y¢¢ = r 2e rx .
Подставим y , y¢, y¢¢ в дифференциальное уравнение
(
)
rx
2
rx
e r + a1r + a2 = 0, e ¹ 0.
Получили характеристическое уравнение
r 2 + a1r + a2 = 0.
Рассмотрим 3 варианта решения этого уравнения.

10. 1) действительные числа.

1) r1 ¹ r2 действительные числа.
Получили два решения дифференциального уравнения
y2
r2 - r1 ) x
(
r1x
r2 x
=
e
¹ const.
y1 = e , y2 = e .
y1
Общее решение дифференциального уравнения
y = C1e r1x + C2e r2 x ,
C1, C2 - произвольные постоянные.
r1x0
r2 x0
r1 + r2 ) x0
e
e
(
W0 = r x
=e
r2 - r1 ) ¹ 0.
(
r
x
r1e 1 0 r2e 2 0

11. Пример.

y¢¢ - y¢ - 2 y = 0. r 2 - r - 2 = 0,
y = C1e 2 x + C2e - x .
{
C1 + C2 = 2,
2C1 - C2 = -5.
r1 = 2, r2 = -1.
y x =0 = 2, y¢ x =0 = -5.
0
0
C1 = -1, C2 = 3.
2
x
x
y = -e + 3e .

12. действительное число.

2) r1 = r2 действительное число.
y1 = e
y2 = xe r1x .
Покажем, что
y2¢ = e r1x + r1xer1x ,
.
y2¢¢ = 2r1er1x + r12 xer1x .
Подставим в уравнение
2r1e r1x + r12 xe r1x + a1 er1x + r1xer1x + a2 xe r1x =
= e r1x é x r12 + a1r1 + a2 + ( 2r1 + a1 ) ù = e r1x ( 2r1 + a1 ) .
êë
úû
(
r1x
)
(
)
По теореме Виета r1 + r2 = 2r1 = - a1, т.е. ( 2r1 + a1 ) = 0.
Следовательно
e r1x0
x0er1x0
2r1x0
r1x
W
=
=
e
¹ 0.
0
r1x0 r1x0
r1x0
y = ( C1 + C2 x ) e .
r1e
e
+ r1e

13. Пример.

y¢¢ - 6 y¢ + 9 y = 0. r 2 - 6r + 9 = 0,
r1 = r2 = 3.
y = ( C1 + C2 x ) e3 x .

14. 3)

r1,2 = a ± b i, b ¹ 0.
3)
y = C1e(
a+b i ) x
+ C2e(
a-b i ) x
.
Если дифференциальное уравнение с действительными
коэффициентами имеет комплексное решение
y = u ( x ) + iv ( x ) ,
то каждая из функций u ( x ) и v ( x ) является решением
уравнения. ( u¢¢ + iv¢¢ ) + a1 ( u¢ + iv¢ ) + a2 ( u + iv ) = 0,
( u¢¢ + a1u¢ + a2u ) + i ( v¢¢ + a1v¢ + a2v ) = 0.
По формуле Эйлера
( a+bi ) x
e
Тогда
=e
ax ibx
e
=e
ax
( cos bx + i sin bx ) .
y = eax ( C1 cos bx + C2 sin b x ) .

15. Пример.

y¢¢ - 4 y¢ + 13 y = 0. r 2 - 4r + 13 = 0,
r1,2 = 2 ± 3i.
y = e2 x ( C1 cos3 x + C2 sin 3 x ) .
Для любых начальных условий существует
единственное решение.