Дифференциальные уравнения высших порядков

1. Дифференциальные уравнения высших порядков

Основные понятия
Дифференциальные уравнения,
допускающие понижения порядка
8

2. Основные понятия

9
Основные понятия
Дифференциальные уравнения порядка выше первого
называются ДУ высших порядков.
Символически ДУ высших порядков можно записать:
F x, y, y , y ,..., y n 0
y ( n ) F x, y, y , y ,..., y n 1
или
если его можно разрешить относительно старшей производной.
Общее решение ДУ n – ого порядка является функцией вида:
y x,C1,C2,..., Cn
Начальные условия для ДУ n – ого порядка задаются в виде:
y ( x0 ) y 0 ; y ( x0 ) y 0 ; y ( x0 ) y 0 ; ; y ( n 1) ( x0 ) y 0( n 1)
Решение, получающееся из общего решения при конкретных
значениях произвольных постоянных, называется частным
решением:
0
0
0
y x,C1 ,C2 ,..., Cn

3. Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка

10
Одним из методов интегрирования ДУ высших порядков является
метод понижения порядка.
Рассмотрим 3 вида уравнений, допускающих понижение порядка.
y (n) f ( x )
(1)
Общее решение данного уравнения находится с помощью
последовательного интегрирования :
y
(n )
d y ( n 1)
dx
d y ( n 1)
f (x)
dx
d y ( n 1) f ( x )dx y ( n 1)
f ( x )dx C
1
В результате получается ДУ на порядок ниже. Проинтегрировав
уравнение n раз, получим искомую функцию.

4. Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка

Найти общее решение ДУ:
y sin 2 x
1
y sin 2 x dx cos 2 x C1
2
1
1
y cos 2 x C1 dx sin 2 x C1x C2
4
2
1
y sin 2 x C1x C2 dx
4
1
C1x 2
y cos 2x
C2 x C3
8
2
11

5. Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка

y f ( x; y )
12
(2)
- уравнение второго порядка, не содержащее явно искомой
функции y,
Сделаем замену переменной:
y p(x )
тогда
y p
и получим уравнение первого порядка:
p f ( x; p )
p ( x;C1) - решение данного уравнения.
y ( x;C1)
Заменим функцию p на y :
Это уравнение вида (1), поэтому:
Пусть:
y ( x;C1 ) dx C2
В общем случае, порядок уравнения:
F ( x; y ( k ) ; y ( k 1) ; ; y ( n ) )
можно понизить на k единиц с помощью подстановки:
y ( k ) p( x )

6. Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка

Найти частное решение ДУ:
Сделаем замену:
y p;
13
y
y 0
x
y (1) 1; y (1) 2
p
y p p 0
x
Это уравнение с разделяющимися переменными.
dp p
dx x
dp
p
dx
ln p ln x ln C1
x
p C1x y C1x Найдем С1 с помощью начального условия:
y (1) 2 2 C1 1 C1 2 y 2 x
y 2 x dx y x 2 C2
Найдем С2 с помощью начального условия:
1 1 C2
2
C2 0
y (1) 1
y x2

7. Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка

14
y f ( y ; y )
(3) - уравнение второго порядка,
не содержащее явно независимой переменой x.
Сделаем замену переменной:
y p ( y )
тогда
dp dp dy dp y
d y
y
dy dx
dy
dx
dx
dp
y
p
dy
Теперь уравнение (3) запишется в виде:
dp
p f ( y ; p) Пусть: p ( y;C1 ) - решение данного ДУ
dy
dy
dy
dy
dx
( y ;C1 )
x C2
( y ;C1 )
dx
( y ;C1 )

8. Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка

15
Найти частное решение ДУ:
y y y ( y 1) 0
2
Сделаем замену:
y p;
dp
p p 2 p( y 1) 0
dy
p y 0
Так как
dp
p 1 y
dy
y (0) 2;
y
y (0) 2
dp
p
dy
(по начальному условию), получим:
- линейное уравнение 1 порядка.
dp
p u v
u v uv u v uv uv 1 y
dy
dv
v
u v u(v v ) 1 y v v 0
dy
dv
dy ln v y v e y
v

9. Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка

16
du
1 y e y du 1 y e y dy
dy
u e y 1 y
u 1 y
y
dv
e
du dy
u e y 1 y e y dy
y
v e
e y 1 y e y C1 e y y C1
p uv e y e y y C1
y C1e y y
Найдем C1 с помощью начальных условий:
y y
y e x C2
dy
y
dx
dy
dx
y
2 C1e2 2 C1 0
ln y x C2
y C2e x 2 C2e 0 C2 2
y 2e x