Дифференциальные уравнения. Лекция 3

1. Дифференциальные уравнения Лекция 3

1
Дифференциальные уравнения в полных
дифференциалах
Дифференциальные уравнения
высших порядков
Основные понятия
Дифференциальные уравнения,
допускающие понижения порядка

2. Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах

Дифференциальные уравнения в полных
дифференциалах - это уравнения вида,
P( x; y)dx Q( x; y)dy 0
(1)
в котором функции P( x; y) И Q( x; y)
удовлетворяют определенному условию.

3. Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах

3
Приведем условие, по которому можно судить, что выражение
P ( x; y )dx Q( x; y )dy
есть полный дифференциал некоторой функции.
Теорема
Для того, чтобы выражение P ( x; y )dx Q( x; y )dy
где функции P(x; y), Q(x,y) непрерывны в некоторой области
D плоскости XOY, было полным дифференциалом,
необходимо и достаточно выполнения условия:
P Q
y
x
(2)

4. Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах

4
Дифференциальные уравнения в
полных дифференциалах
Таким образом, для решения уравнения (1) необходимо найти
функцию u(x,y) по ее полному дифференциалу.
Найдем эту функцию. Искомая функция должна удовлетворять
требованиям:
u
P ( x, y );
x
u
Q( x, y )
y
(3)
Если в первом уравнении зафиксировать y и проинтегрировать
его по x, получим:
u( x; y ) P ( x; y ) dx ( y )
(4)
Здесь произвольная постоянная С = φ(y) зависит от y или
При вычислении
является постоянной. Для ее нахождения продифференцируем
интеграла, считаем y
функцию u(x, y) по y.
постоянным числом

5. Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах

u
y
P( x; y )dx
y
( y ) Q( x; y )
( y ) Q( x; y ) P ( x; y )dx
y
В этом равенстве правая часть зависит только от y, если
выполняются условия (2). Находим φ(y):
( y ) Q( x; y ) P ( x; y )dx y dy C
Подставляя найденную функцию в равенство (4), найдем
функцию u(x; y).
5

6. Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах

Найти общий интеграл дифференциального уравнения:
(2xy 5)dx (3y 2 x 2 )dy 0
P( x; y ) 2xy 5; Q( x; y ) 3y 2 x 2
Проверим выполнение условий (3):
P
(2xy 5) y 2x
y
P Q
y
x
Q
(3 y 2 x 2 ) x 2 x
x
Уравнение является уравнением в полных
дифференциалах.
Условия (4) здесь будут выглядеть так:
u
2xy 5;
x
u
3y 2 x 2
y
6

7. Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах

7
u( x; y ) (2 xy 5)dx ( y ) 2y xdx 5 dx ( y )
u( x; y ) x 2 y 5 x ( y )
Q (x;y)
Продифференцируем полученную функцию по y:
u
2
x y 5 x ( y ) y x 2 ( y ) 3y 2 x 2
y
3
2 ( y ) 3 y 2dy
y
C
( y ) 3y
Подставим найденную функцию φ(y) в выражение для u(x; y)
u( x; y ) x 2 y 5 x y 3 C
Общим интегралом является:
x 2 y 5x y 3 C

8. Дифференциальные уравнения высших порядков

Основные понятия
Дифференциальные уравнения,
допускающие понижения порядка
8

9. Основные понятия

9
Основные понятия
Дифференциальные уравнения порядка выше первого
называются ДУ высших порядков.
Символически ДУ высших порядков можно записать:
F x, y, y , y ,..., y n 0
y ( n ) F x, y, y , y ,..., y n 1
или
если его можно разрешить относительно старшей производной.
Общее решение ДУ n – ого порядка является функцией вида:
y x,C1,C2,..., Cn
Начальные условия для ДУ n – ого порядка задаются в виде:
y ( x0 ) y 0 ; y ( x0 ) y 0 ; y ( x0 ) y 0 ; ; y ( n 1) ( x0 ) y 0( n 1)
Решение, получающееся из общего решения при конкретных
значениях произвольных постоянных, называется частным
решением:
0
0
0
y x,C1 ,C2 ,..., Cn

10. Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка

10
Одним из методов интегрирования ДУ высших порядков является
метод понижения порядка.
Рассмотрим 3 вида уравнений, допускающих понижение порядка.
y (n) f ( x )
(1)
Общее решение данного уравнения находится с помощью
последовательного интегрирования :
y
(n)
d y ( n 1)
dx
d y ( n 1)
f (x)
dx
d y ( n 1) f ( x )dx y ( n 1)
f ( x )dx C
1
В результате получается ДУ на порядок ниже. Проинтегрировав
уравнение n раз, получим искомую функцию.

11. Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка

Найти общее решение ДУ:
y sin 2 x
1
y sin 2 x dx cos 2 x C1
2
1
1
y cos 2 x C1 dx sin 2 x C1x C2
4
2
1
y sin 2 x C1x C2 dx
4
1
C1x 2
y cos 2x
C2 x C3
8
2
11

12. Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка

y f ( x; y )
12
(2)
- уравнение второго порядка, не содержащее явно искомой
функции y,
Сделаем замену переменной:
y p(x )
тогда
y p
и получим уравнение первого порядка:
p f ( x; p)
p ( x;C1) - решение данного уравнения.
y ( x;C1)
Заменим функцию p на y :
Это уравнение вида (1), поэтому:
Пусть:
y ( x;C1 ) dx C2
В общем случае, порядок уравнения: F ( x; y ( k ) ; y ( k 1) ; ; y ( n ) )
(k )
можно понизить на k единиц с помощью подстановки: y
p( x )

13. Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка

Найти частное решение ДУ:
Сделаем замену:
y p;
13
y
y 0
x
y (1) 1; y (1) 2
p
y p p 0
x
Это уравнение с разделяющимися переменными.
dp p
dx x
dp
p
dx
ln p ln x ln C1
x
p C1x y C1x Найдем С1 с помощью начального условия:
y (1) 2 2 C1 1 C1 2 y 2 x
y 2 x dx y x 2 C2
Найдем С2 с помощью начального условия:
1 1 C2
2
C2 0
y (1) 1
y x2

14. Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка

14
y f ( y ; y )
(3) - уравнение второго порядка,
не содержащее явно независимой переменой x.
Сделаем замену переменной:
y p ( y )
тогда
dp dp dy dp y
d y
y
dy dx
dy
dx
dx
dp
y
p
dy
Теперь уравнение (3) запишется в виде:
dp
p f ( y ; p) Пусть: p ( y;C1 ) - решение данного ДУ
dy
dy
dy
dy
dx
( y ;C1 )
x C2
( y ;C1 )
dx
( y ;C1 )

15. Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка

15
Найти частное решение ДУ:
y y y ( y 1) 0
2
Сделаем замену:
y p;
dp
p p 2 p( y 1) 0
dy
p y 0
Так как
dp
p 1 y
dy
y (0) 2;
y
y (0) 2
dp
p
dy
(по начальному условию), получим:
- линейное уравнение 1 порядка.
dp
p u v
u v uv u v uv uv 1 y
dy
dv
v
u v u(v v ) 1 y v v 0
dy
dv
dy ln v y v e y
v

16. Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка

16
du
1 y e y du 1 y e y dy
dy
u e y 1 y
u 1 y
y
dv
e
du dy
u e y 1 y e y dy
y
v e
e y 1 y e y C1 e y y C1
p uv e y e y y C1
y C1e y y
Найдем C1 с помощью начальных условий:
y y
y e x C2
dy
y
dx
dy
dx
y
2 C1e2 2 C1 0
ln y x C2
y C2e x 2 C2e 0 C2 2
y 2e x