Дифференциальные уравнения Лекция 3
Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах
Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах
Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах
Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах
Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах
Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах
Дифференциальные уравнения высших порядков
Основные понятия
Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка
Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка
Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка
Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка
Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка
Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка
Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка
1.06M
Category: mathematicsmathematics

Дифференциальные уравнения. Лекция 3

1. Дифференциальные уравнения Лекция 3

1
Дифференциальные уравнения в полных
дифференциалах
Дифференциальные уравнения
высших порядков
Основные понятия
Дифференциальные уравнения,
допускающие понижения порядка

2. Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах

Дифференциальные уравнения в полных
дифференциалах - это уравнения вида,
P( x; y)dx Q( x; y)dy 0
(1)
в котором функции P( x; y) И Q( x; y)
удовлетворяют определенному условию.

3. Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах

3
Приведем условие, по которому можно судить, что выражение
P ( x; y )dx Q( x; y )dy
есть полный дифференциал некоторой функции.
Теорема
Для того, чтобы выражение P ( x; y )dx Q( x; y )dy
где функции P(x; y), Q(x,y) непрерывны в некоторой области
D плоскости XOY, было полным дифференциалом,
необходимо и достаточно выполнения условия:
P Q
y
x
(2)

4. Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах

4
Дифференциальные уравнения в
полных дифференциалах
Таким образом, для решения уравнения (1) необходимо найти
функцию u(x,y) по ее полному дифференциалу.
Найдем эту функцию. Искомая функция должна удовлетворять
требованиям:
u
P ( x, y );
x
u
Q( x, y )
y
(3)
Если в первом уравнении зафиксировать y и проинтегрировать
его по x, получим:
u( x; y ) P ( x; y ) dx ( y )
(4)
Здесь произвольная постоянная С = φ(y) зависит от y или
При вычислении
является постоянной. Для ее нахождения продифференцируем
интеграла, считаем y
функцию u(x, y) по y.
постоянным числом

5. Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах

u
y
P( x; y )dx
y
( y ) Q( x; y )
( y ) Q( x; y ) P ( x; y )dx
y
В этом равенстве правая часть зависит только от y, если
выполняются условия (2). Находим φ(y):
( y ) Q( x; y ) P ( x; y )dx y dy C
Подставляя найденную функцию в равенство (4), найдем
функцию u(x; y).
5

6. Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах

Найти общий интеграл дифференциального уравнения:
(2xy 5)dx (3y 2 x 2 )dy 0
P( x; y ) 2xy 5; Q( x; y ) 3y 2 x 2
Проверим выполнение условий (3):
P
(2xy 5) y 2x
y
P Q
y
x
Q
(3 y 2 x 2 ) x 2 x
x
Уравнение является уравнением в полных
дифференциалах.
Условия (4) здесь будут выглядеть так:
u
2xy 5;
x
u
3y 2 x 2
y
6

7. Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах

7
u( x; y ) (2 xy 5)dx ( y ) 2y xdx 5 dx ( y )
u( x; y ) x 2 y 5 x ( y )
Q (x;y)
Продифференцируем полученную функцию по y:
u
2
x y 5 x ( y ) y x 2 ( y ) 3y 2 x 2
y
3
2 ( y ) 3 y 2dy
y
C
( y ) 3y
Подставим найденную функцию φ(y) в выражение для u(x; y)
u( x; y ) x 2 y 5 x y 3 C
Общим интегралом является:
x 2 y 5x y 3 C

8. Дифференциальные уравнения высших порядков

Основные понятия
Дифференциальные уравнения,
допускающие понижения порядка
8

9. Основные понятия

9
Основные понятия
Дифференциальные уравнения порядка выше первого
называются ДУ высших порядков.
Символически ДУ высших порядков можно записать:
F x, y, y , y ,..., y n 0
y ( n ) F x, y, y , y ,..., y n 1
или
если его можно разрешить относительно старшей производной.
Общее решение ДУ n – ого порядка является функцией вида:
y x,C1,C2,..., Cn
Начальные условия для ДУ n – ого порядка задаются в виде:
y ( x0 ) y 0 ; y ( x0 ) y 0 ; y ( x0 ) y 0 ; ; y ( n 1) ( x0 ) y 0( n 1)
Решение, получающееся из общего решения при конкретных
значениях произвольных постоянных, называется частным
решением:
0
0
0
y x,C1 ,C2 ,..., Cn

10. Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка

10
Одним из методов интегрирования ДУ высших порядков является
метод понижения порядка.
Рассмотрим 3 вида уравнений, допускающих понижение порядка.
y (n) f ( x )
(1)
Общее решение данного уравнения находится с помощью
последовательного интегрирования :
y
(n)
d y ( n 1)
dx
d y ( n 1)
f (x)
dx
d y ( n 1) f ( x )dx y ( n 1)
f ( x )dx C
1
В результате получается ДУ на порядок ниже. Проинтегрировав
уравнение n раз, получим искомую функцию.

11. Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка

Найти общее решение ДУ:
y sin 2 x
1
y sin 2 x dx cos 2 x C1
2
1
1
y cos 2 x C1 dx sin 2 x C1x C2
4
2
1
y sin 2 x C1x C2 dx
4
1
C1x 2
y cos 2x
C2 x C3
8
2
11

12. Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка

y f ( x; y )
12
(2)
- уравнение второго порядка, не содержащее явно искомой
функции y,
Сделаем замену переменной:
y p(x )
тогда
y p
и получим уравнение первого порядка:
p f ( x; p)
p ( x;C1) - решение данного уравнения.
y ( x;C1)
Заменим функцию p на y :
Это уравнение вида (1), поэтому:
Пусть:
y ( x;C1 ) dx C2
В общем случае, порядок уравнения: F ( x; y ( k ) ; y ( k 1) ; ; y ( n ) )
(k )
можно понизить на k единиц с помощью подстановки: y
p( x )

13. Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка

Найти частное решение ДУ:
Сделаем замену:
y p;
13
y
y 0
x
y (1) 1; y (1) 2
p
y p p 0
x
Это уравнение с разделяющимися переменными.
dp p
dx x
dp
p
dx
ln p ln x ln C1
x
p C1x y C1x Найдем С1 с помощью начального условия:
y (1) 2 2 C1 1 C1 2 y 2 x
y 2 x dx y x 2 C2
Найдем С2 с помощью начального условия:
1 1 C2
2
C2 0
y (1) 1
y x2

14. Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка

14
y f ( y ; y )
(3) - уравнение второго порядка,
не содержащее явно независимой переменой x.
Сделаем замену переменной:
y p ( y )
тогда
dp dp dy dp y
d y
y
dy dx
dy
dx
dx
dp
y
p
dy
Теперь уравнение (3) запишется в виде:
dp
p f ( y ; p) Пусть: p ( y;C1 ) - решение данного ДУ
dy
dy
dy
dy
dx
( y ;C1 )
x C2
( y ;C1 )
dx
( y ;C1 )

15. Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка

15
Найти частное решение ДУ:
y y y ( y 1) 0
2
Сделаем замену:
y p;
dp
p p 2 p( y 1) 0
dy
p y 0
Так как
dp
p 1 y
dy
y (0) 2;
y
y (0) 2
dp
p
dy
(по начальному условию), получим:
- линейное уравнение 1 порядка.
dp
p u v
u v uv u v uv uv 1 y
dy
dv
v
u v u(v v ) 1 y v v 0
dy
dv
dy ln v y v e y
v

16. Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка

16
du
1 y e y du 1 y e y dy
dy
u e y 1 y
u 1 y
y
dv
e
du dy
u e y 1 y e y dy
y
v e
e y 1 y e y C1 e y y C1
p uv e y e y y C1
y C1e y y
Найдем C1 с помощью начальных условий:
y y
y e x C2
dy
y
dx
dy
dx
y
2 C1e2 2 C1 0
ln y x C2
y C2e x 2 C2e 0 C2 2
y 2e x
English     Русский Rules