Лекция 2.8. 12.1.5. Дифференциальные уравнения вида
2) Если производят замену переменных
Примеры. 1)
2)
12.1.6. Линейные дифференциальные уравнения.
Метод Лагранжа (метод вариации произвольной постоянной).
Метод Бернулли (метод замены переменной).
Решим их последовательно.
Уравнение Бернулли.
1) Метод Бернули:
12.1.7 Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах.
Примеры. 1)
2)
Интегрирующий множитель.
Пример.
379.50K
Category: mathematicsmathematics

Дифференциальные уравнения вида. (Лекция 2.8)

1. Лекция 2.8. 12.1.5. Дифференциальные уравнения вида

Лекция 2.8.
12.1.5. Дифференциальные
y¢ = f
уравнения
вида
Рассмотрим два
случая.
æ ax + by + c ö
ç Ax + By + C ÷ .
è
ø
1) Если aB - bA ¹ 0, производят замену переменных
x = x - x0 , y = y - y0 ,
x0 , y0 находятся из решения системы
где
алгебраических уравнений
{
ax + by + c = 0,
Ax + By + C = 0,
cB - bC
aC - cA
x0 = , y0 = .
aB - bA
aB - bA
В результате дифференциальное уравнение сводится к
однородному уравнению.

2. 2) Если производят замену переменных

2) Если
aB - bA = 0,
производят замену
переменных
{
x = x,
y = ax + by.
• В результате дифференциальное уравнение
сводится к уравнению с разделяющимися
переменными.

3. Примеры. 1)

-7 x + 3 y - 2
y¢ =
.
-3 x + 4 y - 5
aB - bA = -19 ¹ 0.
Первый случай.
-8 + 15 7
35 - 6 29
x0 =
= , y0 =
= .
19
19
19
19
7
ì
ï x = x - 19 ,
í
29
ïy = y - ,
19
î
7
ì
x
=
x
+
,
ï
19
í
29
ïy = y + .
19
î
7 × 7 3 × 29
-7 x + 3 y +
-2
-7 x + 3 y
19
19
¢
y =
=
.
3 × 7 4 × 29
-3 x + 4 y +
- 5 -3 x + 4 y
19
19
Дифференциальное уравнение свелось к
однородному дифференциальному уравнению.

4. 2)

-x + y - 2
y¢ =
.
x- y
{
aB - bA = -1( -1) - 1 ×1 = 0.
{
x = x,
x = x,
Второй случай
y = y + x, y¢ = y¢ + 1.
y = - x + y,
Дифференциальное уравнение примет вид
2
y -2 2
или
y¢ = - 2.
y¢ + 1 =
= -1
y
-y
y
Это дифференциальное уравнение с разделяющимися
переменными
( 1 - y - 1) dy
- ydy
1- y
= -2 x + C ,
=
2
dx
+
C
,
ò
y¢ = 2
,
ò 1- y
ò
1- y
y
- x + y + ln 1 + x - y = -2 x + C .
y + ln 1 - y = -2 x + C ,
Окончательно
y + ln 1 + x - y = - x + C.

5. 12.1.6. Линейные дифференциальные уравнения.

Определение. Дифференциальное уравнение
y¢ + p ( x ) y = q ( x ) ,
вида
т.е. линейное относительно неизвестной функции y
ее производной y¢ называется линейным.
и
Для решения такого типа уравнений рассмотрим два
метода: метод Лагранжа и метод Бернулли.

6. Метод Лагранжа (метод вариации произвольной постоянной).


Метод Лагранжа (метод вариации произвольной
y¢ + p ( x ) y = q ( x ) .
постоянной).
Рассмотрим однородное дифференциальное
уравнение y¢ + p ( x ) y = 0. Это уравнение с разделяющимися переменными dy
= - p ( x ) dx, ln y = - ò p ( x ) dx + ln C.
y
- ò p( x ) dx
y
=
Ce
. Общее решение
Решение уравнения
неоднородного линейного дифференциального уравнения имеет такой же вид, но C считается функцией C = C ( x ) ,
- ò p( x ) dx
y
=
C
x
e
.
( )
т.е.
Найдем производную
- ò p( x ) dx
- ò p( x ) dx
¢
¢
y = C ( x) e
- C ( x) e
p ( x)
и подставим в исходное уравнение y и y¢.
C¢( x ) e
- ò p( x ) dx
- C ( x) e
- ò p( x ) dx
p ( x) + p ( x) C ( x) e
- ò p ( x ) dx
= q ( x) ,

7.

C¢ ( x ) e
- ò p( x ) dx
C¢( x ) = q ( x ) e
C ( x) = ò q( x) e
= q( x) ,
ò p ( x ) dx
ò p( x ) dx
,
dx + C1.
Общее решение линейного дифференциального
уравнения 1-го порядка имеет вид
y=e
- ò p( x ) dx æ
ç ò q( x) e
è
ò
p ( x ) dx
dx + C1 ö÷ .
ø

8. Метод Бернулли (метод замены переменной).

Метод Бернулли (метод замены
y¢ + p ( x ) y = q ( x ) .
переменной).
Представим неизвестную функцию как произведение
¢.
двух функций y = uv, y¢ = u¢v + uv
Подставим
в исходное
уравнение yи y¢Получим
.
или
u¢v + u v¢ + p x v = q x
¢
¢
u v + uv + p ( x ) uv = q ( x )
Потребуем, чтобы функция была такой, что выражение
v
( v¢ + p ( x ) v )
(
( ) )
тождественно равнялось нулю.
Тогда исходное уравнение сводится к двум уравнениям
с разделяющимися переменными
и
¢
( v¢ + p ( x ) v ) = 0
u v = q ( x) .
( ).

9. Решим их последовательно.

• 1)
dv
ò v = - ò p ( x ) dx,
v¢ + p ( x ) v = 0,
ln v = - ò p ( x ) dx,
• 2)
v=e
u¢v = q ( x ) ,
du = q ( x ) e
y=e
ò p ( x ) dx
u¢e
dx,
- ò p( x ) dx æ
- ò p( x ) dx
- ò p ( x ) dx
u = ò q( x) e
ç ò q( x) e
è
ò
p ( x ) dx
ò
.
= q( x) ,
p( x ) dx
dx + C ,
dx + C ö÷ .
ø

10. Уравнение Бернулли.

y¢ + p ( x ) y = q ( x ) y m ,
m ¹ 0, m ¹ 1.
Пример. 1) Метод Лагранжа: 3 ( xy¢ + y ) = xy 2 , y ( 1) = 3.
xy¢ + y = 0,
dx
C
dy
dy
dx dy
=
+
ln
C
,
ln
y
=
ln
x
+
ln
C
,
y
=
.
x = - y,
=- , ò
ò
y
x
x
dx
y
x
2
¢
æ
ö
C
x
x
C
x
C
x
C
x)
(
)
(
)
(
)
(
C ( x)
C¢( x ) x - C ( x )
+
=x
,
y=
, y¢ =
. 3ç x
÷
2
2
2
x
x
x
x
è
ø
x
3C ¢ ( x ) =
C2 ( x)
x
,

dC ( x )
C2 ( x)

dx
1
+ ln C1, - 3
= ln C1x .
x
C ( x)
3
3
3
1
.
y=, 3=, ln C1 = -1, C1 = e , y = x ( ln x - 1)
x ln C1x
ln C1

11. 1) Метод Бернули:

3 ( xy¢ + y ) = xy 2 , y ( 1) = 3.
1) Метод Бернули:
y = uv, y¢ = u ¢v + uv¢.
3 xu ¢v + 3 xuv¢ + 3uv = xu 2v 2 , 3 xu ¢v + 3u xv¢ + v = xu 2v 2 .
(
)
xv¢ + v = 0,
dv
dx
1
ò v = - ò x , ln v = - ln x , v = x .
1
1
2
2
2
3 xu ¢v = xu v , 3 xu ¢ = xu
,
2
x
x
dx
1
+ ln C , - 3 = ln Cx ,
x
u
u2
3
3
3
-1, y = C
=
e
.
y=, 3=, ln C = -1,
x ln Cx
ln C
x ( ln x - 1)

du
u2
3u ¢ =
,
x
3
u=.
ln Cx

12. 12.1.7 Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах.

Определение. Если левая часть уравнения
P ( x, y ) dx + Q ( x, y ) dy = 0
является полным дифференциалом некоторой функции
u ( x, y ) , то это уравнение называется дифференциальным
уравнением в полных дифференциалах.
Это выполняется, если P ( x, y ) , Q ( x, y ) и их частные
производные непрерывны в односвязной области и
¶P ¶Q
=
.
¶y ¶x

13.

du ( x, y ) = P ( x, y ) dx + Q ( x, y ) dy ,
du ( x, y ) = 0, u ( x, y ) = C ,
u=
x
y
x0
y0
ò P ( x, y ) dx + ò Q ( x0 , y ) dy = C.

14. Примеры. 1)

(
) (
Примеры. 1)
¶P
¶Q
= 1 + cos y,
= 1 + cos y.
¶x
¶y
(
)
e x + y + sin y dx + e y + x + x cos y dy = 0.
¶u
= P ( x, y ) ,
¶x
)
u = ò e x + y + sin y dx + C ( y ) = e x + xy + x sin y + C ( y ) .
¶u
= x + x cos y + C ¢ ( y ) = Q ( x, y ) = x + x cos y + e y ,
¶y
C¢ ( y ) = e y , C ( y ) = e y ,
e x + xy + x sin y + e y = C1.

15. 2)

¶Q
¶P
= 1,
= 1.
¶y
¶x
x
y
x0
y0
ò P ( x, y ) dx + ò Q ( x0 , y ) dy = C.
x0 = y0 = 0.
Положим
y
x
)
(
y + x dy = 0.
x
+
y
1
dx
+
e
(
)
x
ö
y
y = C,
y dy = C , ç
+
yx
x
+
e
÷
x
+
y
1
dx
+
e
)
ò(
ò
ç 2
÷
0
è
ø
0
0
o
x2
2
+ yx - x + e y - 1 = C ,
æ x2
x2
+ yx - x + e y = C.
2

16. Интегрирующий множитель.

¶P ¶Q
¹
,
Если ¶y ¶x то вводят интегрирующий множитель
такой m = m ( x, y ) , что ¶mP = ¶mQ .
¶y
¶x
1) Если m = m ( x ) , то
m=e
2) Если m = m ( y ) , то
m=e
ò
( ¶P / ¶y -¶Q / ¶x ) dx

Q
.
( ¶P / ¶y -¶Q / ¶x ) dy
P
.

17. Пример.

( x cos y - y sin y ) dy + ( x sin y + y cos y ) dx = 0.
¶P
¶Q
= x cos y + cos y - y sin y,
= cos y.
¶y
¶x
æ ¶P ¶Q ö
ç ¶y - ¶x ÷ x cos y - y sin y
è
ø=
= 1,
Q
x cos y - y sin y
( ¶P / ¶y -¶Q / ¶x )
m=e
ò
Q
dx
= e ò dx = e x .
e x ( x cos y - y sin y ) dy + e x ( x sin y + y cos y ) dx = 0.
¶P1
¶Q1
x
= e ( x cos y + cos y - y sin y ) ,
= e x ( x cos y - y sin y ) + e x cos y,
¶y
¶x
¶P1 ¶Q1
=
.
¶y
¶x

18.

e x ( x cos y - y sin y ) dy + e x ( x sin y + y cos y ) dx = 0.
¶u
= e x ( x cos y - y sin y ) ,
¶y
u = ò e x ( x cos y - y sin y ) dy + C ( x ) = xe x sin y + ye x cos y - e x sin y + C ( x ) .
¶u
= e x sin y + xe x sin y + e x y cos y - e x sin y + C ¢ ( x ) = e x ( x sin y + y cos y ) ,
¶x
C ¢ ( x ) = 0, C = const.
u = xe x sin y + ye x cos y - e x sin y = C.
English     Русский Rules