Системы линейных дифференциальных уравнений (Лекция 10)

1. ДУиЧМ 2 семестр

Лекция 10
Системы линейных
дифференциальных уравнений

2. СОЛДУ с постоянными коэффициентами

,
Рассмотрим ОСЛДУ X AX , где aij const .
При рассмотрении систем дифференциальных уравнений ограничимся случаем системы трех уравнений (n = 3). Все нижесказанное справедливо для систем произвольного порядка.
Запишем соответствующую систему:
dx1 a x a x a x ,
11 1
12 2
13 3
dt
dx2
a 21x1 a 22 x2 a 23 x3 ,
dt
dx3
a31x1 a32 x2 a33 x3.
dt
(1)

3.

Будем искать решения системы в виде:
x1 1e t ,
x2 2e t ,
x3 3e t , где i const .
Подставляя эти функции в систему (1) , перенося все члены в одну
сторону и сократив на e t , получим:
(a11 ) 1 a12 2 a13 3 0,
a21 1 (a22 ) 2 a23 3 0,
a a (a ) 0.
33
3
31 1 32 2
(2)

4.

Для того
чтобы полученная система имела ненулевое решение
необходимо и достаточно, чтобы определитель системы был равен нулю,
т.е.
a11
a21
a31
В
третьей
a12
a22
a32
результате
вычисления
степени
относительно
характеристическим
a13
a23 0 .
a33
определителя
.
уравнением
Это
и
получаем
уравнение
имеет
три
уравнение
называется
корня
1, 2 , 3
(собственные значения матрицы А). Каждому из этих корней соответствует
ненулевое решение системы (1).

5.

Рассмотрим различные варианты.
1. Все корни 1, 2 , 3 характеристического уравнения различны, i .
1
Ищем решение системы X AX в виде X e t , где 2 . Тогда
3
,
e t A e t ,
A E ,
A E 0 .
Для каждого собственного значения i находим собственный вектор
i . Так как все i различны, то соответствующие им собственные векторы линейно независимы, т.е. образуют ФСР однородной системы:
X1 e 1t ,
1
X 2 e 2t ,
2
i
1
i
3
i
X 3 e 3t , где 2 .
i
3
Тогда общее решение ОСЛДУ имеет вид: X C1 X1 C2 X 2 C3 X 3 .

6.

Рассмотрим различные варианты.
1. Все корни 1, 2 , 3 характеристического уравнения различны, i .
1
Ищем решение системы X AX в виде X e t , где 2 . Тогда
3
,
e t A e t ,
A E ,
A E 0 .
Для каждого собственного значения i находим собственный вектор
i . Так как все i различны, то соответствующие им собственные векторы линейно независимы, т.е. образуют ФСР однородной системы:
X1 e 1t ,
1
X 2 e 2t ,
2
i
1
i
3
i
X 3 e 3t , где 2 .
i
3
Тогда общее решение ОСЛДУ имеет вид: X C1 X1 C2 X 2 C3 X 3 .

7.

2. Среди корней характеристического уравнения есть комплексные
(причем обязательно сопряженные).
Пусть 1 a bi, 2 a bi , тогда 3
фундаментальные решения: X1 e
1
где
1 , 2
–
векторы
взаимосопряженные.
Но
с
a bi t
. Этим корням соответствуют
X 2 e
2
,
комплексными
Re X1 и
a bi t
,
X 3 e 3t ,
координатами,
3
причем
Im X 1 по свойству решений ОСЛДУ
также являются решениями системы, поэтому в вещественной форме
решение
запишется
X C1 Re e
1
a bi t
следующим
C Im e
1
2
a bi t
C e .
3
3
3t
образом:

8.

3. Случай кратных корней.
Пусть характеристическое уравнение имеет корень кратности r 2 .
Соответствующее этому корню решение системы будем искать в виде:
X t e t при r 2 и
1
2
1 2 t 3 t 2
1
1
1
1
2
3
1
2
3 2 t
2
X t t e 2 2 t 2 t e t при r 3 .
1
2
3
2
3 3 t 3 t
Коэффициенты j определим, приравнивая коэффициенты при
i
одинаковых степенях t , после подстановки данного решения X в ОСЛДУ
,
X AX .

9.

Замечание.
Если
имеется
ОСЛДУ
,
X AX
с
симметричной
матрицей A , то кратность каждого характеристического числа совпадает
с количеством линейно независимых собственных векторов 1 ,..., r ,
соответствующих данному значению . Поэтому данному
соответствовать решение C1 e t ... Cr e t .
1
r
будет

10.

Задание 1. Найти общее решение СОЛДУ методом
Эйлера
10

11.

Задание 2. Найти общее решение СОЛДУ методом
Эйлера
11

12.

Задание 3. Найти общее решение СОЛДУ методом
Эйлера
12

13.

13

14.

Задание 3. Найти общее решение СОЛДУ методом
Эйлера
14

15.

Общее решение НСЛДУ с постоянными коэффициентами можно
найти с помощью метода Лагранжа вариации произвольных постоянных,
если известно общее решение соответствующей ОСЛДУ. Данный метод не
предъявляет никаких требований к виду неоднородности.
Но в некоторых случаях более удобным может оказаться другой
метод – метод неопределенных коэффициентов (или его иногда
называют методом Эйлера).

16.

Метод
неопределенных
коэффициентов
применяется
в
случаях, когда
1) коэффициенты aij const ;
2) неоднородности в уравнениях имеют вид:
fi t e t Pki t cos t Qmi t sin t , i 1, n ,
где Pki t , Qmi t – многочлены степеней ki , mi соответственно ( i – номер
уравнения в системе).
Частное решение НСЛДУ будем искать в виде:
xi t e t Rmi s t cos t Tmi s t sin t , i 1, n ,
где Rmi s t , Tmi s t – многочлены степени m s , m max ki , mi , s –
кратность корня i характеристического многочлена ОСЛДУ.

17.

Замечание
1.
Число
s
является
показателем
наличия
или
отсутствия резонанса в системе.
Замечание 2. При решении одного дифференциального уравнения
частное решение неоднородного ДУ находят по формуле:
x t e t t s Rm t cos t Tm t sin t ,
т.е. в отличие от СДУ кратность корня учитывается не в степени
многочлена
при
cos t
и
(резонансный) множитель t s .
sin t ,
а
появляется
дополнительный

18.

‚
Пример. Найти частное решение СНЛДУ X AX B , при этом для
решения соответствующей СОЛДУ
‚
X AX использовать метод Эйлера,
решение СНЛДУ подобрать по виду вектор-функции B t правой части
СНЛДУ:
‚ 1 1
sin t
X
X 0 ,
2
0
τ
X
0
0;
0
.

19.

1 1
X.
Решение. Найдем решение однородной системы X
2 0
‚
Составим характеристическое уравнение:
1
2
1
0, (1 )( ) 2 0, 2 2 0 .
Найдем его корни: 1 1, 2 2 .
Для каждого собственного значения i находим собственный вектор i :
1) 1 1:
A E ,
2 1 0
2 0
,
откуда
,
0
2
1
2
0
1
t 1
2 и 1 . Тогда X1 t e – решение ОСЛДУ.
2
2

20.

2)
2 2 :
A 2E ,
1 1 0
0 , откуда
2
2
и
1
2t 1
X
t
e
. Тогда решение ОСЛДУ 2
1 .
1
2
Общее решение ОСЛДУ имеет вид: X t C1 X1 t C2 X 2 t , т.е.
e t
e 2t
X t C1
C2
.
2e t
e 2t
Найдем частное решение неоднородной системы методом неопределенных коэффициентов:
xi t e t Rmi s t cos t Tmi s t sin t , i 1, n .

21.

‚ 1 1
sin t
X
,
X
2 0
0
τ
X
0
0;
0
.
xi t e t Rmi s t cos t Tmi s t sin t , i 1, n
В нашем случае 0 , 1, m 0 , s 0 . Тогда частное решение имеет вид
A cos t B sin t
X t
.
C
cos
t
D
sin
t
‚
1 1
sin t
Коэффициенты A, B, C , D найдем из уравнения X
:
X
2 0
0
A sin t B cos t 1 1 A cos t B sin t sin t
C sin t D cos t 2 0 C cos t D sin t 0 ,

22.

A sin t B cos t A cos t B sin t C cos t D sin t sin t
,
C sin t D cos t 2 A cos t 2 B sin t
A B D 1
A 0,3
B A C
B 0,1
.
C
2
B
C
0,2
D 2 A
D 0,6
0,3cos t 0,1sin t
Тогда X t
.
0,2cos
t
0,6sin
t
Общее решение СДУ имеет вид: X t X t X t .
e t
e2t 0,3cos t 0,1sin t
Итак, X t C1
.
C2
2e t
e2t 0,2cos t 0,6sin t

23.

Найдем решение задачи Коши:
C1 C2 0,3
0
1
1 0,3 0
X 0 , C1 C2
,
,
0
2
1 0,2 0
2C1 C2 0,2
1
2
откуда C1 , C2 .
6
15
Таким образом, получили искомое частное решение НСЛДУ:
t
2t
1 e 2 e 0,3cos t 0,1sin t
X t
.
6 2e t 15 e2t 0,2cos t 0,6sin t