лекция 14

1. Лекция 14

Виды сейсмических нагрузок.
Расчетные схемы и модели.
Алгоритм расчета на сейсмические нагрузки.
Содержание
Определение инерционных сил;
Расчет на действие сейсмической нагрузки;
Акселелограммы реальных землетрясений
Динамический коэффициент

2. Разложение по собственным формам

Используя интеграл Дюамеля (задача для системы с 1
степенью свободы при действии произвольной во
времени нагрузки P=P(t)), решение для прогибов
каждой массы можно представить:
1 t
ns ( t )
Ys (t )
Qs ( )e
Sin s (t )d ,
Gs s 0
s 1,2,3
Gs –обобщенная масса s – ой формы колебания
определяется в виде:
3
G s mi y is2
i 1

3. Формулы для обобщенных инерционных сил и прогибов каждой массы

3
Qs (t ) Pi (t ) yis Z (t )mi yis
//
1
3
Ys (t )
m y
j
j 1
Gs
2
s
js
Rs (t ),
t
Rs (t ) s Z // ( )e ns ( t ) Sin s (t )d
0
величина ns – коэффициент сил сопротивления при
колебаниях s- го тона.

4.

3
3
3
s 1
s 1
s 1
Pi ( t ) m i yi// ( t ) m i Ys ( t )yis s2 Pis m i is R s ( t ),
i 1,2,3
3
yis m j y js
is
j 1
Gs
Величина ηis называется коэффициентом формы
колебаний, а величина ηisRs(t) имеет смысл ускорения,
которое приобретает масса mi под действием силы Ris
(составляющая сейсмической нагрузки, действующая на
массу mi), двигаясь в составе s-ой формы колебаний в
момент времени t и имеет размерность ускорения. При
сейсмическом расчете по СНиП величины Rs(t)
определяются не непосредственным интегрированием, а
с помощью эмпирических коэффициентов и графиков.

5. Определение собственных форм

6. Выражение для сейсмической нагрузки

7. Коэффициент динамичности

8. Составляющие сейсмической нагрузки

s11 =K1 ∙ Q1∙A∙β1 ∙ Kψ∙ η11
s12 =K1∙ Q2∙ A∙ β1∙ Kψ ∙ η12 s13 =K1 ∙ Q3 ∙ A∙ β1 ∙ Kψ ∙ η13
По аналогии для второго тона , затем по формулам коэффициент
β2, составляющие сейсмической нагрузки имеют вид:
s21 =K1∙ Q1 ∙ A∙ β2 ∙ Kψ ∙ η21
s22 =K1 ∙ Q2 ∙ A∙ β2 ∙ Kψ ∙ η22
s23 =K1∙ Q3 ∙ A∙ β2 ∙ Kψ ∙ η23
и для третьего тона , затем по формулам коэффициент β3,
составляющие сейсмической нагрузки имеют вид:
s31 =K1 ∙ Q1 ∙ A∙ β3 ∙ Kψ ∙ η31
s32 =K1 ∙ Q2 ∙ A∙ β3 ∙ Kψ ∙ η32
s33 =K1 ∙ Q3 ∙ A∙ β3 ∙ Kψ ∙ η33

9. Расчет сооружений на сейсмические нагрузки

10. Определение собственных частот и форм колебаний

m1 11
m2 12
m3 13
m1 21
m2 22
m3 23
m1 31
m2 32
m3 33
n
X k xki Sin ( i t ),
0
k 1,2,3
1
x1i
1i 1,
x1i
x2 i
2i ,
x1i
x3i
xni
3i , ... ni ,
x1i
x1i
x11
X 1 x12 ,
x21
X 2 x22 ,
x31
X 3 x32
x13
x23
x33

11. Составляющие сейсмической нагрузки

s11
s21
s31
P1 S1 s12 ,
P2 S 2 s22 ,
P3 S3 s32
s13
s23
s33

12. Пример

Рассмотрим в качестве примера расчет системы с двумя степенями
свободы. Определим горизонтальную сейсмическую нагрузку (Рис. 2). По
сейсмическим условиям система относится к сооружениям башенного типа,
небольших размеров в плане, в конструкциях которых допускаются
повреждения
отдельных
элементов,
затрудняющих
нормальную
эксплуатацию при сейсмичности района строительства 7 баллов на грунтах 2ой категории.
Обозначаем сейсмические силы P1=S1, P2=S2. По СНиП определяем
коэффициенты Кi = 0,025; Kψ =1,5; А=0,1.
При этих данных сейсмическая нагрузка, сосредоточенная в узле k
(k=1,2) для i =го тона колебаний ( i=1,2) вычисляются по формуле :
sik =0,0375 Qkβi ηik ,
где Qk - вес сооружения, отнесенный к точке k; βi – коэффициент
динамичности, соответствующий i- му тону собственных колебаниях,
значения которого определяются по формулам;
ηik – коэффициент,
зависящий от формы деформации сооружения при его собственных
колебаниях по i –му тону, значения которого вычисляются по формуле в
зависимости от места расположения нагрузки (узла k).

13.

Исходные данные:
Массы m1=5m, m2=m, m=12 кНс2/м,
Вес грузов P1=5mg=5x12x9,81=588,6кН,
P2=mg=12x9,81=117,7кН,
Жесткость нижней части сооружения
EI1=EI=2x106кНм2,
Жесткость верхней части сооружения
EI2=EI=106кНм2,
h1=h2=h=10м

14. Рис. 2. Эпюры изгибающих моментов и формы колебаний: а- схема внешних сил; b- эпюра изгибающих моментов от единичной силы Р1;

Рис. 2. Эпюры изгибающих моментов и формы колебаний: асхема внешних сил; b- эпюра изгибающих моментов от
единичной силы Р1;
c- эпюра изгибающих моментов от
единичной силы Р2; d – форма колебаний , соответствующая 1ой частоте; е- форма колебаний , соответствующая 2-ой частоте .

15. Для определения коэффициентов βi, ηik необходимо рассмотреть свободные колебания. Частоты собственных форм колебаний

определяются с
помощью интегралов Мора по эпюрам , которые
представлены на рисунке 2.
h3
11
,
EI
5h3
12 21
,
EI
3h3
22
EI
(10 )
5
0,
5
(18 )
12 EI 103
2 3 2,
mh
2 28 55 0,
1 25,87,
2 2,126

16. Определение собственных частот и форм колебаний

Частоты собственных колебаний определяются по
следующим формулам:
,
2
Т
Периоды колебаний равны соответственно:
При λ=λ1, Т1=1,011с,
При λ=λ2, Т2=0,290с

17. Определение перемещений масс х1, х2

2
2
(m1 11 i 1) х1 m 2 12 i х 2 0,
2
2
m1 21 i х1 (m 2 22 i 1) х 2 0
Полагая в первом уравнении х2=1, получаем
х1=-5/(10-λ). Подставляя последовательно
найденные значения λ, получаем:
при λ=λ1, х1=0,315;
при λ=λ2, х1=-0,635.

18. Свойство ортогональности и определение коэффициента ηik

х11 0,315
Х
,
х12 1,000
х 21 0,635
Х2
х 22
1,000
m k x1k x 2k m1x11x 21 m 2 x12 x 22 0
Коэффициенты формы колебаний вычисляются по формулам,
где вес грузов Q1=5mg=5xQ,
Q2=mg=Q. После сокращения
на величину Q получаем:
xik (5 xi1 xi 2 )
ik
,
2
5 x xi 2
i 1,2,
k 1,2
где i определяет тон колебаний, а k - номер массы.

19. Значения коэффициента ηik

Для первого тона колебаний:
η 11 =0,542, η 12 =1,7211
Для второго тона колебаний:
η 21 =0,458 , η 22 =-0,721

20. Определение сейсмических нагрузок

Горизонтальную сейсмическую нагрузку, с которой
массы весом Q1,
Q2 могут действовать на
сооружение при колебаниях 1-го и 2-го тонов
колебаний после определения коэффициента
динамичности β1 (β2) определяют по формулам:
Для первого тона колебаний:
T1 1,02c,
0,4
1 2,5
1,566,
1,02
s11 0.0375 588,6 1,566 0,542 18,73êÍ,
s12 0,0375 117,7 1,566 1,721 11,89êÍ

21. Для второго тона колебаний

T1 0,292c,
2 2,5,
s 21 0.0375 588,6 2,5 0,458 25,27кН,
s 22 0,0375 117 ,7 2,5 ( 0,721) 7,96кН

22. Сейсмическая нагрузка

S1
s11
s12
18,73
11,89
,
S2
s21
s22
25,27
7,96
,

23. Эпюры изгибающих моментов и сейсмических нагрузок, соответствующих главным формам колебаний

24. Формулы для определения расчетного изгибающего момента, матрицы податливости и перемещений

М р 421,12 93,52 435,3кНм
11 12
h3 2 5
В
21 22 12 EI 5 18
z11
Z1
,
z12
z21
Z2
,
z22
h3 2 5 18,73 h3 96,91
Z1 BZ1
,
EI 5 18 11,89 EI 307,7
h3 2 5 25,27 h3 10,74
Z 2 BZ 2
EI 5 18 7,96 EI 16,93

25. Полные перемещения масс

h3/EI=0,833∙10-4м
1 ая
2 ая
масса
h3
Z
96,912 10,74 2 0,0081м,
EI
масса
h3
Z
307 ,7 2 16,93 2 0,0257 м
EI

26. Алгоритм расчета на сейсмические нагрузки

• Вековое уравнение