Динамика и устойчивость сооружений

1.

ДИНАМИКА
И УСТОЙЧИВОСТЬ
СООРУЖЕНИЙ
ДИНАМИКА СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
С РАСПРЕДЕЛЁННЫМИ МАССАМИ
1

2. Основные предпосылки и гипотезы

1. Рассматриваются линейно
деформируемые системы.
2. Исходное состояние – равновесие
при статических (квазистатических)
воздействиях.
3. Определяются динамические
составляющие характеристик
напряжённо- деформированного
состояния системы.
4. Сопротивление движению учитывается
по модели вязкого трения.

3. Плоский динамический изгиб прямолинейного стержня с распределённой массой

x
A(x), I(x)
~ ( x) m
~ ( x) m
~ ( x)
m
соб
пр
~ ( x)
ρ ( x) A ( x) m
пр
~ ( x) – собственная масса стержня
m
соб
~ ( x)
m
пр
– присоединённая масса
Рабочие гипотезы
• Динамический изгиб стержня считается независимым
от влияния других видов деформаций ( кручения,
растяжения-сжатия, сдвига ).
• Инерция поворота масс при изгибе не учитывается.

4. Свободное изгибное движение прямолинейного стержня с распределённой массой

x
A(x), I(x)
y
v(x,t)
0
ПСР
~ ( x) m
~ ( x) m
~ ( x)
m
соб
пр
~ ( x)
ρ ( x) A ( x) m
пр
Задача:
определить функцию v(x,t),
описывающую движение
центра тяжести
произвольного сечения
с абсциссой х.
x

5. Решение кинетостатическим методом

Сопротивление
y вязкой среды
qf (x,t)
dx
v(x,t)
0
Q(x,t)
ПСР
x
x
dx
qf (x,t)
qin (x,t) –
интенсивность
сил инерции
qin (x,t)
M ( x, t )
M ( x, t )
dx
x
Q( x, t )
Q( x, t )
dx
x
M(x,t)

6. Уравнения состояния элемента dx

1. Уравнения равновесия (статика)
dx
Sm = 0,
Q(x,t) q (x,t)
M ( x, t )
f
M ( x, t )
dx
S
y
=
0.
x
M(x,t) qin (x,t)
Q( x, t )
Q( x, t )
dx
x
M ( x, t )
Q( x, t ) ,
x
Q( x, t )
qin( x, t ) q f ( x, t )
x

7. Уравнения состояния элемента dx

1. Уравнения равновесия (статика)
dx
Разрешающее
Q(x,t) q (x,t)
M
(
x,
t
)
f
M ( x, t )
dx уравнение равновесия:
x
2
M ( x, t )
qin( x, t ) q f ( x, t )
2
x
Q
(
x,
t
)
M(x,t) qin (x,t) Q( x, t )
dx
x
3. Физические зависимости
2
Закон
~ ( x) v ( x, t )
2. Уравнение совместности
q
(
x,
t
)
m
in
t 2
перемещений и деформаций инерции
(геометрия)
2
1 v ( x, t )
r( x, t )
x 2
Модель
v ( x, t )
q
(
x,
t
)
k
(
x
)
Фойгта
f
f
t
Закон Гука
при изгибе
1 M ( x, t )
r ( x, t ) EI ( x)

8. Дифференциальное уравнение свободного изгибного движения прямолинейного стержня переменной жёсткости с неравномерно

распределённой массой
(сопротивление вязкой среды –
по модели Фойгта)
2
2
v
(
x,
t
)
v ( x, t )
v ( x, t )
EI ( x )
~
m ( x)
k f ( x)
0
2
2
2
t
x
x
t
2
– уравнение в частных производных по x и t
с переменными коэффициентами

9. Частные случаи дифференциального уравнения свободного изгибного движения прямолинейного стержня

1. Стержень постоянной жёсткости
EI(x) = const = EI
~ ( x) 2v ( x, t ) k f ( x) v ( x, t )
4v ( x, t ) m
*
*
0
4
2
EI
EI
t
x
t
2. Стержень постоянной жёсткости EI
~ ( x) const m
~
с равномерно распределённой массой m
без учета демпфирования (внешнего и внутреннего трения)
~ 2v ( x, t )
4v ( x, t ) m
*
0
4
2
EI
x
t
~
IV
m
( x, t ) 0
v
или v ( x, t )
EI
(А)

10. Общее решение уравнения (А) по методу Фурье:

v ( x, t ) v j ( x ) sin( j t 0 j )
j 1
Частный случай –
собственные изгибные колебания:
v ( x, t ) v( x) sin( t 0 )
Дифференциальное уравнение амплитуд прогибов
при собственных изгибных колебаниях
прямолинейного стержня постоянной жёсткости
с равномерно распределённой массой, без учета демпфирования:
2
~
v ( x) k v ( x) 0 (В), где k 4 m
IV
4

11. Характеристическое уравнение дифференциального уравнения (В):

r4 – k4 = 0
r1 = k , r2 = – k , r3 = ki , r4 = – ki
Решение дифференциального уравнения (В):
v(x) = C1e kx + C2e –kx + C3 cos kx +C4 sin kx
Линейное преобразование постоянных интегрирования:
C1 C1 C2 ; C2 C1 C2
v ( x) C1 ch kx C2 sh kx + C3 cos kx + C4 sin kx
~
~
~
~
v ( x) C1 Akx C2 Bkx C3 Ckx C4 Dkx

12. Балочные функции А.Н. Крылова:

Akx = (ch kx + cos kx)/2
Bkx = (sh kx + sin kx)/2
Ckx = (ch kx – cos kx)/2
Dkx = (sh kx – sin kx)/2
Свойства функций Крылова:
1. При х = 0: A0 = 1, B0 = C0 = D0 = 0
2. Правило дифференцирования функций:
Akx
Dkx
*k
Ckx
Bkx

13. Функция амплитуд прогибов при собственных колебаниях – в форме метода начальных параметров

y
Q0
q0
v0
qin (x)
M0
0
v(x)
ПСР
x
Г р а н и ч н ы е у с л о в и я п р и х = 0:
1) статические
2) кинематические
Q0
M(0) Sm = 0 M(0)=M
0
dx
Sy = 0 Q(0) = Q0
M0
Q(0)
v(0) = v0
q(0) = q0
x
~
C 1 v0
θ
~
C2 0
k
M
~
C3 2 0
k EI
Q
~
C4 3 0
k EI

14. Функция амплитуд прогибов при собственных колебаниях – в форме метода начальных параметров

y
Q0
q0
v0
qin (x)
M0
0
v(x)
ПСР
x
x
Bkx M 0 Ckx Q0 Dkx
v ( x) v0 Akx q0
2
3
k
EI k
EI k

15. Функции амплитуд характеристик НДС при собственных колебаниях – в форме метода начальных параметров

Bkx M 0 Ckx Q0 Dkx
v ( x ) v0 Akx q0
2
3 ;
k
EI k
EI k
M 0 Bkx Q0 Ckx
dv( x )
q( x )
v0kDkx q0 Akx
2 ;
dx
EI k
EI k
d 2v( x )
dq( x )
M ( x ) EI
EI
2
dx
dx
Bkx
2
EIv0k C kx EIq0kDkx M 0 Akx Q0
;
k
dM ( x )
d 3v( x )
Q( x )
EI
3
dx
dx
3
2
EIv0k Bkx EIq0k Ckx M 0kDkx Q0 Akx

16. Учет сосредоточенных сил и моментов в выражениях характеристик НДС по МНП

y
qin (x)
Q0
q0
v(x)
v0 M0
0
ПСР
x
x

17.

Учет сосредоточенных сил и моментов
в выражениях характеристик НДС по МНП
y
aF , aM = 0
Q0
q0
R
v0 M0
0
Реакция внешней
линейной связи
F
J
qin (x)
aF , aM
F
Сила инерции
точечной массы
M
v(x)
ПСР
x
x
R
M
J
Реакция внешней
угловой связи
Инерционный момент
неточечной массы

18.

Учет сосредоточенных сил и моментов
в выражениях характеристик НДС по МНП
I
y
Q0
q0
Продолжение vI(x)
qin (x)
aF , aM
F
v0 M0
0
vII(x)
II
vI(x) M
x
Dv(x)
ПСР
v(x)
x
Dv (x) = vII(x) – vI(x) =
Bk( x -a) DM0 Ck( x -a ) DQ0 Dk( x -a)
Dv0 Ak( x -a) Dq0
2
k
EI
EI
k
k3
Из условий на границе х = а
Dv0 = 0, Dq0 = 0, DM0 = M, DQ0 = F
( а = aF , aM )

19.

Учет сосредоточенных сил и моментов
в выражениях характеристик НДС по МНП
Ck ( x -aM ) F Dk ( x -aF )
M
Dv( x)
2
3
EI
EI
k
k
Bkx M 0 Ckx Q0 Dkx
v ( x) v0 Akx q0
2
3
k
EI k
EI k
C k ( x - aM )
Dk ( x -aF )
M
F
2
EI
EI
k
k3

20. Основные уравнения и уравнение частот собственных колебаний по МНП

Граничные условия (ГУ)
Кинематические ГУ
R
M
v(aR) = – R/cD
q(aM) = M/cq
cD
cq
aR
aM
Q0
M0
Cтатические ГУ
Q(lк) Fк
M(0)
M(lк)
Sm=0
S y=0
Q(0)
dx
dx Mк
Основные
уравнения
МНП:
f*W=0
Кинематические ГУ записываются для точек, где имеются внешние связи.
Правила: 1.
2. Статические ГУ – уравнения равновесия двух элементов dx по концам стержня.

21. Основные уравнения и уравнение частот собственных колебаний по МНП

f*W=0
v0
q0
W = M0
Q0
[R]
f11 f12 …f1k …f1n
f21 f22 …f2k …f2n
n
f=
(n * n)
.....................
fi1 fi2 … fik … fin
......................
f = f(k)
fn1 fn2 …fnk …fnn
Решение основных уравнений МНП
1. Тривиальное решение: W = 0 –
2. Нетривиальное решение: W 0
( условие существования
собственных колебаний )
Уравнение частот
собственных колебаний
по МНП:
Det ( f ) = 0

22. Спектр частот собственных колебаний и главные формы колебаний

Det ( f ) Поиск корней частотного уравнения
Определение частот
собственных колебаний
k2
k 4j EI
kj ωj
,
~
m
j 1,
0
k1
kj
k
Выявление главных форм колебаний
k j f – числовая матрица;
1 f W f β 0 ( W = 0 )
k
W
Wk
W 1 v0 /Wk
W 2 q0 /Wk
W ; Wi Wi /Wk ;
Wi Wi /Wk
Wk = 1
Wn Wn /Wk
1
2

23. Вынужденное изгибное движение прямолинейного стержня с распределённой массой

y
aM
aq
aF
F (t)
M (t)
q (x,t)
v(x,t)
0
ПСР
x
x

24. Решение кинетостатическим методом

y
dx
aM
aq
aF
F (t)
q (x,t)
M (t)
q (x,t)
qf (x,t)
qin (x,t)
qf (x,t) qin (x,t)
0
x
v(x,t)
ПСР
x

25. Решение кинетостатическим методом

dx
Q (x,t)
q (x,t)
M(x,t)
qf (x,t)
qin (x,t)
M ( x, t )
M ( x, t )
dx
x
Уравнения
равновесия
(статика)
Q( x, t )
Q( x, t )
dx
x
Sm = 0,
S y = 0.
Разрешающее
уравнение равновесия:
2 M ( x, t )
q( x, t ) qin( x, t ) q f ( x, t )
2
x

26. Дифференциальное уравнение вынужденного изгибного движения прямолинейного стержня переменной жёсткости с неравномерно

распределённой массой
(сопротивление вязкой среды –
по модели Фойгта)
2
2
v
(
x,
t
)
v ( x, t )
v ( x, t )
~
EI ( x)
m ( x)
k f ( x)
q( x, t )
2
2
2
t
x
x
t
2
– неоднородное уравнение
в частных производных по x и t
с переменными коэффициентами

27. Частный случай – дифференциальное уравнение вынужденного изгибного движения прямолинейного стержня переменной жёсткости с

неравномерно распределённой массой
без учета сопротивления вязкой среды
2
x
2
v ( x, t ) ~
v ( x, t )
EI ( x) x 2 m ( x) t 2 q( x, t )
2
2
– неоднородное уравнение
в частных производных по x и t
с переменными коэффициентами

28. Решение дифференциального уравнения

v(x,t) = v(x,t)+ v*(x,t)
v(x,t) – общее решение однородного диф. уравнения
v*(x,t) – частное решение неоднородного диф. уравнения
Для стержня постоянной жёсткости EI
с равномерно распределённой массой
без учета демпфирования (внешнего и внутреннего трения):
~
m
~ 2v ( x, t )
4v ( x, t ) m
*
q( x, t )
4
2
EI
x
t
v ( x, t ) v j ( x ) sin( j t 0 j )
j 1
При отсутствии распределённой нагрузки ( q(x,t) = 0 ):
v(x,t) = v(x,t)

29. Учёт сосредоточенных нагрузок

Статические условия на границе участков
в точке приложения F(t) , M(t)
Q (a – dx, t)
M(a – dx, t)
i
dx
F (t)
i+1
M (t)
Q (a + dx, t)
M(a + dx, t)
dx
a = aF , aM
Sm = 0,
S y = 0.
Q (a + dx, t) – Q (a – dx, t) = F (t)
M(a + dx, t) – M(a – dx, t) =M (t)
d 3vi 1( x, t )
d 3vi ( x, t )
d 2vi ( x, t )
F (t ) d 2vi 1( x, t )
M (t )
;
3
2
2
EI
EI
dx 3
dx
dx
dx
x aF
x aF
x aM
x aM

30. Установившиеся вынужденные изгибные колебания прямолинейного стержня постоянной жёсткости с равномерно распределённой массой,

без учёта демпфирования
( случай гармонической нагрузки )
F (t) = F
q(x,t)= q(x) * sin F t
M (t) = M
~ ω2
d 4v ( x) m
q ( x)
F
*
v
(
x
)
EI
EI
dx4
v ( x, t ) v ( x) sin F t v ( x) v ( x) sin F t
функция прогибов, удовлетворяющая дифференциальному
уравнению 4
2
~
v ( x, t ) m v ( x, t )
*
q ( x, t )
4
2
EI
x
t
уравнение в амплитудах прогибов v ( x) v ( x) v ( x)
Полное Общее
решение
решение
в форме
однородного
метода начальных
уравнения:
параметров:
v ( x) v0 Akx q0
~ ω2
m
F
где k
EI
C
D
Bkx M0 Ckx Q0 Dkx
2
3 M k( x2-a ) F k( x3-a ) +
EI
EI
k
EI k
EI k
k
k
M
F
Ak( xconst
Частное решение неоднородного уравнения приqq(x)=
aq ) :1
4
0 при 0 x aq
EI
k
v ( x) q
k 4 EI при x aq
Добавка к прогибам за
B
C
D
q
счёт нагрузки q при x>aq : Δvq ( x1) Δv0 Akx1 Δθ0 kx1 ΔM0 kx2 1 ΔQ0 kx3 1 4
k
k
k
k EI
Условия в начале участка (при x= aq , x1 = 0):
( x1 = x – aq )
2
3
Δvq (0) 0; Δθq (0) d Δvq ( x1 ) 0; ΔM q (0) EI d 2 Δvq ( x1 ) 0; ΔQq (0) EI d 3 Δvq ( x1 ) 0
dx
x1 0
dx
dx
x1 0
x1 0
q
Δv0 4 0
Δθ0 0
ΔQ0 0
ΔM0 0
4
k EI

31. Установившиеся вынужденные изгибные колебания прямолинейного стержня постоянной жёсткости с равномерно распределённой массой,

без учёта демпфирования
( случай гармонической нагрузки )
F (t) = F
q(x,t)= q(x) * sin F t
M (t) = M
v ( x, t ) v ( x) sin F t v ( x) v ( x) sin F t
~ ω2
d 4v ( x) m
q ( x)
F
*
v
(
x
)
EI
EI
dx4
функция прогибов, удовлетворяющая дифференциальному
уравнению 4
2
~
v ( x, t ) m v ( x, t )
*
q ( x, t )
4
2
EI
x
t
уравнение в амплитудах прогибов v ( x) v ( x) v ( x)
Полное решение в форме метода начальных параметров:
v ( x) v0 Akx q0
~ ω2
m
F
где k
EI
C
D
Bkx M0 Ckx Q0 Dkx
2
3 M k( x2-a ) F k( x3-a ) +
EI
EI
k
EI k
EI k
k
k
M
4
Основные уравнения МНП:
(из КГУ и СГУ)
v0
q0
W = M0
Q0
[R]
n
f=
(n * n)
f * W + BF = 0
F
q Ak( x aq ) 1
EI
k4
f11 f12 … f1k … f1n
B1F
f21 f22 … f2k … f2n
B2F
...............
B3F n
fi1 fi2 … fik … fin f = f (k) BF =
. . . . . . . . . . . . . . . W = – f –1 * BF B4F
[ BRF ]
fn1 fn2 … fnk … fnn
Det ( f ) 0

32.

Контрольные вопросы
( в скобках даны номера слайдов, на которых можно найти ответы на вопросы;
для перехода к слайду с ответом можно сделать щелчок мышью по номеру в скобках*);
для возврата к контрольным вопросам сделать щелчок правой кнопкой мыши
и выбрать «Перейти к слайду 32» )
1. Каковы основные предпосылки и гипотезы теории динамических расчётов
линейно деформируемых систем с распределёнными массами? ( 2 )
2. Какие рабочие гипотезы дополнительно вводятся в теории динамического изгиба
прямолинейных стержней с распределённой массой ( РМ )? ( 3 )
3. Расчётная схема в случае решения кинетостатическим методом задачи о свободных
изгибных колебаниях прямолинейного стержня с РМ. ( 5 )
4. Какие силовые факторы учитываются в статических уравнениях? ( 6 )
5. Как записываются геометрические соотношения? ( 7 )
6. Какие физические зависимости используются в решении задачи? ( 7 )
7. Вывод разрешающего дифференциального уравнения прогибов прямолинейного
стержня с РМ в общем случае свободного изгибного движения. ( 6 – 8 )
Частные случаи. ( 9 )
8. Как получается дифференциальное уравнение амплитуд прогибов стержня
постоянного сечения с равномерно распределённой массой в случае собственных
изгибных колебаний? ( 10 ) Какой вид имеет его решение? ( 11 )
9. Представление решения в балочных функциях Крылова. ( 11 )
Каковы свойства функций Крылова? ( 12 )
10. Выражения амплитуд динамических прогибов, углов поворота сечений, изгибающих
моментов и поперечных сил при собственных колебаниях в форме метода начальных
параметров ( МНП ). ( 15 ) , ( 19 )
11. Как учитывается в выражениях амплитуд характеристик напряжённо-деформированного состояния ( НДС ) стержня влияние сосредоточенных сил и моментов в произвольных точках стержня? ( 19 ) Какими могут быть по физическому смыслу эти сосредоточенные воздействия при собственных колебаниях? ( 17 )
*)
Только в режиме «Показ слайдов»

33.

Контрольные вопросы
( в скобках даны номера слайдов, на которых можно найти ответы на вопросы;
для перехода к слайду с ответом можно сделать щелчок мышью по номеру в скобках*);
для возврата к контрольным вопросам сделать щелчок правой кнопкой мыши
и выбрать «Перейти к слайду 33» )
12. Из каких условий получаются основные уравнения метода начальных параметров
в задаче о собственных изгибных колебаниях прямолинейного стержня с РМ? ( 20 )
13. Какие граничные условия стержня учитываются и по какому правилу
они записываются? ( 20 )
14. Каковы варианты решения системы основных уравнений МНП и какой из них
используется для получения уравнения частот собственных колебаний? ( 21 )
15. Сколько корней имеет уравнение частот и почему? ( 22 )
16. Сколько главных форм и соответствующих частот собственных колебаний имеет
стержень с распределённой массой? ( 22 )
17. Как определяется главная форма, соответствующая некоторой частоте собственных
изгибных колебаний? ( 23 )
18. Чем отличается расчётная схема прямолинейного стержня с РМ в случае вынужденного
изгибного движения от схемы в задаче о собственных колебаниях? ( 23 – 24 )
19. Как получается разрешающее дифференциальное уравнение прогибов прямолинейного
стержня с РМ в общем случае вынужденного изгибного движения? ( 24 – 26 )
Его частные случаи. ( 27 )
20. Какой вид имеет общее решение дифференциального уравнения вынужденных
колебаний? ( 28 )
21. Уравнение в форме метода начальных параметров для амплитуд динамических прогибов при установившихся изгибных колебаниях прямолинейного стержня постоянного
сечения с равномерно распределённой массой от вибрационных воздействий. ( 30 )
22. Основные уравнения метода начальных параметров в случае установившихся вынужденных изгибных колебаний стержня от вибрационных воздействий – получение
уравнений и их использование для определения амплитуд характеристик НДС. ( 31 )
*)
Только в режиме «Показ слайдов»