Свободные механические колебания. Энергия колебательного движения

1.

Соловьев Андрей Владимирович
Курс: «Математика, физика»
Лекции – 16 часов
Подготовка
1. Материалы каждой
следующей лекции
высылаются заранее
по e-mail старосте группы.
2. Организуется распечатка
выдач лекции для
всех студентов
группы.
Практические занятия
– 32 часа
1. 3 практические работы:
материалы для подготовки
с сайта кафедры (СГМУ).
2. 9 практических
занятий (иметь при себе
выдачи).
3. 4 зачетных занятия по
4-м темам.
1

2.

2

3.

3

4.

4

5.

5

6.

Условия безболезненного зачета по дисциплине:
1. Посещение всех лекций и практических занятий.
2. Выполнение и защита трех практических работ.
3. Выполнение всех заданий, полученных на
практических занятиях.
4. Своевременная сдача четырех тематических зачетов.
6

7.

Лекция 1
Свободные механические колебания.
Энергия колебательного движения.
Вынужденные колебания.
Резонанс.
Механические волны.
Поток энергии и интенсивность волны.
Звук и его характеристики.
Ультразвук и инфразвук.
Эффект Доплера.
7

8.

Связь с последующей деятельностью
Изучение курса «Биофизика»:
1. Биофизика слуха
2. Биологическая электродинамика
3. Электрография
Практическое применение:
1. Многие процессы в организме – периодические:
сердечные сокращения, дыхание и т.д.
2. Звуковые (аускультация, перкуссия) и
ультразвуковые методы исследования.
3. Электрографические методы исследования.
8

9.

V, мл
Спокойное дыхание
ОЕЛ
6000
4500
ЖЕЛ
3000
(2200)
ДО (500)
1500
(1200)
0
ОО
t
9

10.

Экспериментальная кривая р = f(t) для сонной артерии
p
pC
p
0
T
TC
t
T
10

11.

Δφ
Электрокардиография
t
T
11

12.

Вывод: дыхание, сердечные сокращения, генерация
электрического сигнала и т.д. – периодические
процессы, характеризуемые повторяемостью
во времени какого-то физического параметра:
f (t ) f (t T )
Любой периодический процесс можно представить
суммой простых гармонических процессов
(разложение в ряд Фурье):
2π
f (t ) C Ai cos t φoi
i 1
Ti
i
12

13.

f (t ) cos(0,5t 5) 1,5cos(1,5t 2) 2cos(3t 3) 3cos(4,5t )
10
f()
t
5
0
5
10
5
0
T
5
t
13

14.

Простой гармонический процесс:
x(t ) A cos(ωt φ0 )
x(t) – значение гармонически изменяющейся величины
в момент времени t (например, смещение колеблющейся
точки относительно положения равновесия);
А – амплитуда колебаний;
φ ωt φ0 – фаза колебаний в момент времени t;
φ 0 – начальная фаза колебаний;
ω – циклическая частота колебаний;
2π
1
T
– период колебаний; ν
– частота колебаний
ω
T
14

15.

Полное графическое представление гармонического
колебания:
x(t )
x( t )
5
A
2π
T
ω
φ0
0
5
0
1
2
t
3
4
t
15

16.

Кинематика и динамика гармонических
механических колебаний:
x(t ) A cos ωt
dx
π
v(t )
x ωA sin ωt ωA cos ( ωt )
dt
2
π
v0 ωA
v0 cos ( ωt )
2
d 2x
a(t ) 2 x ω2 A cos ω t a0 cos ( ω t π )
dt
a0 ω A
2
16

17.

Дифференциальное уравнение собственных
незатухающих гармонических колебаний:
x A cos 0t
d 2x
2
a 2 x
0 A cos 0t
dt
d 2x
a 2 x 02 x
dt
x 02 x 0
2
T0
0
Fp m a m 02 x k x
Равнодействующая сила – упругая (квазиупругая) 17

18.

Осцилляторы
Пружинный маятник:
Второй закон Ньютона:
k
x
mg 0; FTP 0
ma m x F yka k x
m x k x 0
k
x 0
m
x ω02 x 0
Математическая
эквивалентность
m
k
0
m
m
T0 2π
k
18

19.

Электрическая аналогия:
1: t ; qC qmax CU
1
U
2 : qC q; iC iL i
2
Ключ
C
i
q
uC sL Li Lq
C
L
q
Lq 0
C
q
q
0
LC
Сравни: x ω x 0
2
0
Вывод:
ω0
1
; T0 2π LC
LC
19

20.

Выводы:
1. Система совершает гармонические колебания.
2. Свойства системы определяют период
собственных незатухающих колебаний ее.
m – масса груза;
k
0
m
k – жесткость пружины;
– частота собственных незатухающих
колебаний
m
k
- свойства колеблющейся системы
ω0 f (m; k )
20

21.

Энергия гармонических незатухающих
собственных колебаний (индекс 0 отброшен):
x A cos ωt
kx
2
2
k A cos ωt
2
2
m ωA sin ωt
mv 2
2
2
v A sin t
k 2
A cos 2 ωt
k
ω
2
2
m
m 2 2
2
ω A sin ω t
2
k 2
2
A sin ωt
2
k 2
k 2
k 2
2
2
E A cos ωt A sin ωt A const
2
2
2
21

22.

Реальные колебательные системы:
Работа силы сопротивления:
Энергия колебательной системы:
E A
AFC 0
k 2
E A const
2
x A0 e t cos( 3 t 0 )
x
t
22

23.

На реальную колебательную систему действует
внешняя гармонически изменяющаяся сила:
f (t ) F0 cosω f t
1. Под действием вынуждающей силы система
будет совершать вынужденные гармонические колебания
2. Частота вынужденных колебаний системы равна
частоте изменения вынуждающей силы
3. Амплитуда вынужденных колебаний зависит от
соотношения между частотами колебания силы и
собственной частоты колебаний системы ω0 и от
коэффициента затухания β
23

24.

F0
A
m
A1 ( )
ω
2
0
ω
2
f
2β ω
2
2
f
A2 ( )
β1
A3 ( )
β3
β2
β1
β2
β3
0
0
24

25.

4. А = Аmax при условии:
ω f ω0
5. Явление резкого возрастания амплитуды вынужденных
колебаний при стремлении частоты изменения
вынуждающей силы к частоте собственных колебаний
системы – резонанс (лат. resono «откликаться»)
25

26.

Упругая среда
Положение равновесия
На частицу среды, выведенную из состояния
равновесия, со стороны остальных частиц
действует результирующая упругая сила,
возвращающая частицу в исходное
положение.
Подобные силы действуют во всех средах:
газах, жидкостях, твердых телах.
Газы
Жидкости
Твердые тела
Упр. сила ~ плотности
26

27.

Источник колебаний – плоскость
2π
ξ A cosωt A cos t
T
A
0
A
ξ – смещение колеблющейся
системы (источника)
относительно положения
равновесия);
А – амплитуда колебаний
источника;
ω и Т – циклическая частота
и период колебаний
источника
ξ
(кси)
27

28.

Частица упругой среды, примыкающая к источнику
FB – переменная вынуждающая сила,
действующая на частицу
Уравнение
вынужденных колебаний частицы:
FB
2π
ξ A cosωt A cos t
T
Мгновенные скорость и ускорение
частицы при ее колебаниях:
v ξ ωAsin ωt
a ξ ω2 A cosωt
FB a ω A cosωt
2
0
ξ
FB ω2ξ
28

29.

Каждая «предыдущая» частица действует с
вынуждающей силой на «последующую».
Процесс передачи состояния колебательного
движения от частицы к частице – волновой процесс,
происходит в пространстве и времени.
х – направление передачи состояния колебательного
движения
ξ x волна продольная. Упругие деформации
растяжения – сжатия, связанные с сохранением
объема. Существуют во всех средах.
x
ξ
29

30.

х – направление передачи состояния колебательного
движения
ξ
х
λ
ξ x волна поперечная. Упругие деформации сдвига,
связанные с сохранением формы. Твердые тела,
поверхность жидкости.
λ – длина волны, равная кратчайшему расстоянию
между двумя точками среды в направлении
распространения волны, колеблющимися одинаково.
30

31.

Скорость распространения колебаний
(скорость распространения волны):
v = f (свойства упругой среды)
Не путать с vK = f (свойства источника)!
Газы и жидкости:
v
K
ρ
К – модуль объемной
упругости вещества тела
dV
dp K
V
Твердые тела:
G
поперечные: v
ρ
E
продольные: v
ρ
G и Е – модули сдвига и
Юнга соответственно
31

32.

За время одного периода колебаний источника
состояние колебательного движения частиц
среды передается на расстояние, равное длине волны:
λ vT
Выводы:
1. Волновой процесс – распространение состояния
колебательного движения частиц среды без переноса
вещества.
2. Необходимыми условиями волнового процесса
являются наличие источника колебаний и упругой
среды.
32

33.

3. Частицы упругой среды колеблются с тем же
периодом, что и источник колебаний:
T(или ν, или ω) = f (свойства источника)
4. В отсутствие затухания амплитуда, скорость и
ускорение колебаний частиц среды равны значениям
этих параметров источника колебаний:
А = f (свойства источника)
vK = f (свойства источника)
аK = f (свойства источника)
33

34.

5. Волновой процесс является периодическим во
времени для каждой отдельной частицы среды
и периодическим в пространстве для
совокупности частиц.
6. Скорость распространения колебаний
(скорость распространения волны) определяется
свойствами упругой среды:
v = f (свойства упругой среды)
7. Главное свойство волнового движения – перенос
энергии без переноса вещества: от частицы к
частице среды передается лишь
состояние колебательного движения.
34

35.

Перенос энергии волнового движения:
х – направление передачи состояния колебательного
движения (распространения волны):
Волна
S
х
За время t через поверхность
площадью S переносится
энергия волнового движения W.
Поток энергии через поверхность
равен энергии, переносимой через
нее за единицу времени:
W
WS
t
dW
WS
dt
35

36.

Интенсивность волны – энергия, переносимая
волной через единичную поверхность
за единицу времени (плотность потока энергии):
W
I
St
dW
I
dSdt
1 2 2
I ρA ω v
2
Зависит как от свойств источника А и ω (управляемых),
так и от свойств среды ρ и v (неуправляемых).
36

37.

Акустика – раздел физики о звуке
0
Ультразвук
Звук
16
2 10
4
Гиперзвук
Инфразвук
Звук – упругие колебания, воспринимаемые
человеческим ухом
ν 16 20000 с-1 (Гц)
10
9
1010
ν,c
-1
37

38.

Простой тон – гармоническое колебание,
переносимое звуковой волной единственной частоты
( t) 10 cos ( 314 t)
10
Спектр простого тона
( t )
А = 10
0
10
0
0.02
50
0.04
ν,Гц
t
Сложный тон – сумма простых тонов с частотами,
кратными частоте основного тона:
i n
ξ(t ) Ai cos(2πiν1 )
i 1
38

39.

ν1 50c 1
1( t) 10 cos ( 314 t)
ν 2 100c 1
2( t) 6 cos ( 628 t)
ν 3 150c 1
3( t) 4 cos ( 942 t)
ν 4 200c 1
4( t) 5 cos ( 1256 t)
ν 5 250c 1
5( t) 3 cos ( 1570 t)
Основной тон
Обертоны
39

40.

1( t) 2( t) 3( t) 4( t) 5( t)
Периодическое
негармоническое
колебание
T T1 0,02c
(ν ν1 50c 1 )
20
0
20
0
0.02
0.04
40
t

41.

Спектр сложного тона линейчатый
A1 10 (100%)
A2 6 (60%)
50
100
150
200
250
ν,c-1
41

42.

Раковина
Слуховой проход
p pam
Упругая мембрана
p pam
lC 23 мм
Мера воздействия на упругую мембрану –
избыточное звуковое давление рЗВ
Следствие – деформация мембраны
42

43.

Возникновение избыточного над атмосферным
звукового давления связано с пространственным и
временным чередованием областей повышенной
и пониженной концентрации частиц среды при
распространении в среде звуковой волны.
p (t ) n(t )kT
p3 (t ) ρ v v (t )
v ξ ωAsin ωt
43

44.

То же уравнение в виде связи причина → следствие:
Причина
Следствие
p3
v
ρ v
Свойство
R ρv
Акустическое сопротивление – новое свойство среды
кг м кг
R ρ v 3 2
м с мс
44

45.

Амплитуда звукового давления:
pmax 3 ρ v v max
v ξ ωAsin ωt
v max ωA
pmax 3 p ρωAv
Объективные характеристики звуковых волн:
2
2
p
p
1 2 2
I ρA ω v
2ρv 2 R
2
p ρωAv
45

46.

Порог слышимости (1000 Гц):
I 0 10
I max
12
Вт
2
м
p0 2 10 5 a
Порог болевого ощущения:
Вт
pmax 60 a
10 2
м
I max
1013
I0
46

47.

Безразмерная логарифмическая шкала
интенсивности звука
I
p
LБ lg 2 lg
I0
p0
I
p
L Б 10 lg 20 lg
I0
p0
LБ Б
L Б Б
47

48.

Среда 1 λ
l
Модель лучей
ρ1 , v1 , RAK1 , I1
i1
i1
l
ρ 2 , v 2 , RAK2 , I 2
i2
Среда 2
48

49.

sin i1 sin i2
v1
v2
I2
β – коэффициент проникновения
I1
Коэффициент отражения:
β 4
r 1 β
R 1
R 2
R 1
1
R
2
2
49

50.

1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0.1
1
10
3
.
100 1 10
R 1
R 2
Согласование
50

51.

Воздух:
R 1 ρ1v1 1,3 330 430
Вода: R 2 ρ 2 v 2 1000 1430 1430000
β 1,2 10 3
51

52.

Источник
звуковых
волн
слой согласователя
β 1,2 10 3
β
1,2 10 3
Тело (Н2О)
52

53.

Субъективная оценка звукового ощущения
Высота тона = f (ν1, (I-1))
Тембр = f ( спектральный состав)
Громкость E – оценка уровня слухового ощущения
53

54.

Геометрическая
прогрессия
Объективное воздействие х
2
3
4
5
x; x ; x ; x ; x ...
Арифметическая
прогрессия
Ощущение воздействия у = f (x)
y;2 y;3 y;4 y;5 y...
Психофизический закон Вебера – Фехнера
54

55.

Объективное воздействие I или p
Ощущение воздействия Е = f (I, ν)
I
E k (ν; I ) 10 lg k (ν; I ) L Б
I0
E фон
55

56.

ν 50c 1
L 100 Б
E 90 фон
Порог
слухового
ощущения
?
Кривые равной громкости
E L Б
56

57.

Звук – источник медицинской информации
стетоскоп
фонендоскоп
Аускультация
Орган 1
Орган 2
Тело
57

58.

Перкуссия
«Молоток»
«Наковальня»
Полость 1
Полость 2
Тело
58

59.

Воздух:
λ
2см – 20 м
l
Источник звука
Акустическая тень
59

60.

λ l
Источник звука
Дифракция
60

61.

Источник звука
A, ν
λ
Тело
ρT , vT
ρ BK , v BK
Приемник звука
Проекция
включения
61

62.

Проекция 1
62

63.

Сумма проекций = объемное представление
Проекция 2
63

64.

Основное требование к проекции – четкость
(отсутствие дифракции)
l
λ
Оценка
Звуковые волны: ν ≈ 20 Гц – 20 кГц
В воздухе: λ ≈ 20 мм – 20 м
В воде: λ ≈ 5 мм – 5 м
v
λ vT
ν
Переход в область ультразвука
64

65.

Электромеханические излучатели
F2
Кристалл пьезоэлектрика
SiO2 , BaTiO3 , LiNbO3
F1
65

66.

Прямой пьезоэффект
(+)
(+)
(+)
(+)
(+)
(+)
(-)
(-)
(-)
(-)
(-)
(-)
66

67.

u U 0 cos 2πνt
Обратный пьезоэффект
Генерируется ультразвуковые колебания
высокой частоты и малой амплитуды
1 2
2
I ρA 2πν v
2
67

68.

Магнитострикция
Ферромагнетик в ~ магнитном поле
i I 0 cosωt
Невысокая частота, значительная амплитуда
68

69.

Применение УЗ:
1. УЗ – локация
Проходящий УЗ
(УЗ тень)
Отраженный УЗ
(различное отражение
и поглощение)
2. Физическое воздействие
Микровибрации на микрообъектах
69

70.

3. Доплер – диагностика
Эффект Доплера – изменение частоты волн,
регистрируемых приемником, вследствие
относительного движения источника и приемника
Удаление
v v
ν
ν
v vS
Сближение
ν – частота УЗ, генерируемого источником S;
νР – частота УЗ, регистрируемого приемником П;
v – скорость УЗ в данной среде;
vП – скорость приемника относительно источника;
vS – скорость источника относительно приемника
70

71.

Общие выводы:
1. Колебательные и волновые процессы имеют схожее
математическое описание независимо от природы
процессов и происходят в большинстве отделов
человеческого организма.
2. Звуковые и ультразвуковые методы исследования
и воздействия имеют широкое применение
в медицине.
71