Свободные механические колебания. Энергия колебательного движения. Вынужденные колебания. Резонанс

1.

Практическое занятие 3
Свободные механические колебания.
Энергия колебательного движения.
Вынужденные колебания.
Резонанс.
Механические волны.
Поток энергии и интенсивность волны.
Звук и его характеристики.
Ультразвук и инфразвук.
Эффект Доплера.
1

2.

Периодический процесс характеризуется повторяемостью
во времени какого-то физического параметра:
f (t ) f (t T )
Можно представить суммой простых гармонических
процессов:
2π
f (t ) C Ai cos t φoi
i 1
Ti
i
Простой гармонический процесс:
x(t ) A cos(ωt φ0 )
2

3.

Полное графическое представление гармонического
колебания тела (точки):
x(t ), мм
А 5, мм
A ?
5
2π
T
?
ω
2π
T
1, с
0
ω
2π
1 рад
ω
2π,с
T
с
1
ν 1c 1
5
T
2 t,с
0
t01
1
π
t0 , c φ0 ω t0 , рад
T
6
3 3

4.

Уравнение колебаний тела:
π
x(t ) 5cos 2πt , мм
3
Точка m = 10 г колеблется по закону x(t). Определить Fmax.
π мм
dx
v(t )
x 5 2π sin 2πt ,
dt
3 с
мм
v0 v max 10π,
с
π мм
2
d 2x
a(t ) 2 x 5 2π cos 2πt , 2
dt
3 с
2 мм
a0 amax 20π , 2
с
4

5.

F (t ) m a(t )
F (t ) m a (t )
π
2
3
3
10 10 5 10 2π cos 2πt , H
3
π
3
2 10 cos 2πt , H
3
3
3
3
Fmax mamax 10 10 20π 10 2 10 , H
2
5

6.

Дифференциальное уравнение собственных
незатухающих гармонических колебаний:
x A cos 0t
d 2x
2
a 2 x
0 A cos 0t
dt
d 2x
a 2 x 02 x
dt
x 02 x 0
*
2
T0
0
Если для какого-то параметра системы составляется
уравнение *, то: параметр гармонически колеблется
с определенной уравнением частотой
6

7.

Пружинный маятник:
Электромагнитный контур:
m x k x 0
x
k
x 0
m
x ω02 x 0
q
Lq 0
C
q
q
0
LC
x(t ) A cos ω0t φ0
q(t ) q0 cos ω0t φ0
π
π
v(t ) v 0 cos ω0t φ 0
i (t ) I 0 cos ω0t φ 0
2
2
x q
m
v i
T0 2π
T0 2π LC
m L
k
1
k
7
C

8.

Полная механическая энергия незатухающих
собственных гармонических колебаний:
k 2
k 2
k 2
2
2
E A cos ωt A sin ωt A const
2
2
2
t
8

9.

Собственные незатухающие колебания:
Fp m a m ω02 x k x FKY
Равнодействующая сила – упругая (квазиупругая)
В реальных системах обязательно действуют силы
трения – сопротивления:
FC rv AFc 0
Fp FKY FC
(t ) (t ) (t ) AFC
E A
x A0 e
t
cos( 3 t 0 )
r R
β
2m 2 L
9

10.

На реальную колебательную систему действует
внешняя гармонически изменяющаяся сила:
f (t ) F0 cosω f t
Система совершает вынужденные колебания:
x(t ) A cos ω f t φ
x(t ) A cos ω f t φ
Вынужденные электромагнитные колебания:
R
C
q (t )
u (t )
i (t )
L
u (t ) U 0 cosωut
q(t ) q0 cos ωut φ
π
i (t ) I 0 cos ωut φ+
2
10

11.

А = Аmax при условии:
ω f ω0
Задача: подвеска реанимобиля – 4 пружинных элемента.
Жесткость каждого элемента 10 кН/м. Масса
автомобиля 2,5 т. Перевозка больного осуществляется
по дороге с выбоинами: метр асфальта – метр выбоины.
Какая скорость движения v не допустима?
При перевозке пациент должен находиться в
состоянии относительного покоя.
Колебания реанимобиля должны быть минимальными.
11

12.

Внешняя сила действует через каждый метр
пути, период действия силы (l = 1м):
l
Tf
v
m
Период собственных колебаний автомобиля: T0 2π
4k
Недопустимое условие транспортировки:
l
m
T f T0 2π
v
4k
v
v
1
2,5 10
6,28
4 10 103
3
l
m
2π
4k
0,64 м / с 23км / час
12

13.

Задача: исследовать зависимость амплитуды
вынужденных колебаний от частоты изменения
вынуждающей силы:
ω 0
F0
A(ω)
A
m
ω
2
0
ω
2β ω
2 2
2
Amax
A(0)
F0
F0
F0
mω02 m k
k
m
ω
A(ω) Amax
A 0
A (ω) 0
ω ω 2β ω 0
2
0
A(0)
ωP
ω
2 2
2
ω P ω02 2β 2 ω0
13

14.

Уравнение колебаний источника, помещенного
в упругую среду:
Источник (И) ξ A cosωt A cos 2π t
T
Направление распространения волны
ξ
x
Точка среды, удаленная
от И на х
В отсутствие затухания колебание точки:
ξ A cosω(t τ)
τ – время распространения волны от И до точки
14

15.

x
τ
v
v – скорость распространения волны в среде
x
x
ξ A cos ω t A cos ωt ω
v
v
2π x
ξ A cos ωt
T
v
λ
2π
ξ A cos ωt
x A cos ωt kx
λ
2π
– волновое число
k
λ
15

16.

ξ ξ(t , x)
Периодичность во
времени
Периодичность в
пространстве
Продольные волны – упругие деформации
растяжения – сжатия (все среды) ξ || х.
Поперечные волны – упругие деформации
сдвига (твердые тела) ξ ┴ х.
Интенсивность волны – энергия, переносимая
волной через единичную поверхность
за единицу времени (плотность потока энергии):
1 2 2
I ρA ω v
2
16

17.

Звук – упругие продольные колебания, воспринимаемые
человеческим ухом
ν 16 20000 с-1 (Гц)
Слуховое ощущение связано с
возникновением избыточного над атмосферным
звукового давления: пространственным и
временным чередованием областей повышенной
и пониженной концентрации частиц среды при
распространении в среде звуковой волны.
p (t ) n(t )kT
p3 (t ) ρ v v (t )
v ξ ωAsin ωt
17

18.

То же уравнение в виде связи причина → следствие:
p3
v
ρ v
Следствие
U
p
I ; Q
R
R
R ρv
Причина
Свойство
Акустическое сопротивление – новое свойство среды
кг м кг
R ρ v 3 2
м с мс
Амплитуда звукового давления:
pmax 3 p ρωAv
18

19.

Объективные характеристики звуковых волн:
p2
p2
1 2 2
I ρA ω v
2ρv 2 R
2
p ρωAv
Спектральный состав
Порог слышимости
(1000 Гц):
Порог болевого
ощущения:
Вт
I 0 10
м2
Вт
I max 10 2
м
12
p0 2 10 5 a
pmax 60 a
I max
1013
I0
19

20.

Безразмерная логарифмическая шкала
уровней интенсивности звука
I
p
LБ lg 2 lg LБ Б
I0
p0
I
p
L Б 10 lg 20 lg L Б Б
I0
p0
20

21.

Уровень интенсивности звука равен 80 дБ.
Определить интенсивность звука и амплитуду
звукового давления.
I
p
L 10 lg 20 lg 80
I0
p0
I
I
8
10
lg 8
I0
I0
I I 0 108 10 12 108 10 4 Вт / м 2
p
p
104
lg 4
p0
p0
p p0 104 2 10 5 104 2 10 1 Па
21

22.

Найти отношение интенсивностей звуков
с уровнями интенсивностей L1 = 50 дБ и L2 = 30 дБ.
I1
L1 10lg 10 lg I1 lg I 0
I0
I2
L2 10lg 10 lg I 2 lg I 0
I0
I1
L1 L2 20 10 lg I1 lg I 2 10lg
I2
I1
I1
lg 2
100
I2
I2
22

23.

Два человека кричат с одного места с уровнями
интенсивности звука 80 и 88 дБ (8 и 8,8 Б).
Определить суммарный уровень интенсивности крика.
L1 8 Б ; L2 8,8 Б
I1
I2
I1 I 2
L1 lg
L2 lg
L lg
I0
I0
I0
I1 I 0 108
I 2 I 0 108,8
I 0 108 I 0 108,8
L lg
lg 108 108,8 lg 108 1 100,8
I0
L lg108 lg 1 100,8
L 8 0,9 8,9 Б 89 Б
23

24.

Среда 1 λ
l
Модель лучей
ρ1 , v1 , RAK1 , I1
i1
i1
l
ρ 2 , v 2 , RAK2 , I 2
i2
Среда 2
24

25.

sin i1 sin i2
v1
v2
I2
β – коэффициент проникновения
I1
Коэффициент отражения:
β 4
r 1 β
R 1
R 2
R 1
1
R
2
2
25

26.

1
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
0,1
R 1
3
R 2
β 0,7
r 1 β=0,3
1
10
3
.
100 1 10
R 1
R 2
Согласование
26

27.

Воздух:
R 1 ρ1v1 1,3 330 430
Вода: R 2 ρ 2 v 2 1000 1430 1430000
β 1,2 10 3
27

28.

Субъективная оценка звукового ощущения
Высота тона = f (ν1, (I-1))
Тембр = f ( спектральный состав)
Громкость E – оценка уровня слухового ощущения
28

29.

Геометрическая
прогрессия
Объективное воздействие х
2
3
4
5
x; x ; x ; x ; x ...
Арифметическая
прогрессия
Ощущение воздействия у = f (x)
y;2 y;3 y;4 y;5 y...
Психофизический закон Вебера – Фехнера
29

30.

Объективное воздействие I или p
Ощущение воздействия Е = f (I, ν)
I
E k (ν; I ) 10 lg k (ν; I ) L Б
I0
E фон
30

31.

ν 50c 1
L 100 Б
E 90 фон
Порог
слухового
ощущения
?
Кривые равной громкости
E L Б
31

32.

Доплеровский сдвиг частоты при отражении
механической волны от движущихся эритроцитов
равен 50 Гц, частота генератора равна 100 кГц.
Определите скорость движения крови в
кровеносном сосуде. Скорость УЗ
волны 1540 м/с.
ν 100 103 Гц
ν 50Гц
м
V 1540
с
V0 ?
32

33.

Эффект Доплера – изменение частоты волн,
регистрируемых приемником, вследствие
относительного движения источника и приемника
V V
ν
ν
V VS
V0
УЗ, V, ν
И+П
33

34.

ИУЗ
Э
УЗГ,
ν
V0
V V0
ν
ν
V VS
Для ИУЗ: Э – приемник УЗ, движущийся навстречу
с относительной скоростью VП = V0
34

35.

ИУЗ
Э
УЗГ,
ν
V0
Пр,
νР
V V0
ν
ν
V V0
Для приемника: Э – источник УЗ (отраженного),
движущийся навстречу с относительной скоростью
VS = V0
35

36.

ИУЗ
Э
УЗГ,
ν
ν ν ν
V0
Пр,
νР
ИзЧ,
νР
V V0
ν
ν
V V0
36

37.

V V0
ν
ν ν
V V0
V V0 2V0
ν ν
1
ν
V V0 V
νV
V0
2ν
50 1540
V0
0,39 м / с
3
2 100 10
37

38.

Тема следующего занятия:
Механические свойства тел.
При себе иметь распечатки выдач лекции №2
38