График функции. Свойства функции, их отображение на графике

1. График функции. Свойства функции, их отображение на графике

2.

Свойства функции
Область определения функции
Множество всех допустимых значений х
(аргумента, независимой переменной) при
которых выражение имеет смысл.
Обозначение: D(f) = [а;b]
Область значений функции
Множество всех значений функции у = f(х),
где х принадлежит Х (области определения).
Обозначение: Е(f) = [m;n]
у
у
n
х
О
О
a
b
х
m

3.

На рисунке изображён график зависимости, температуры воздуха Р (°С) от времени
суток t (ч).
Мы видим, что в 2 ч и 8 ч температура равнялась нулю, от 0 до 2 ч и от 8 до 24 ч она
была выше нуля, а от 2 ч до 8 ч - ниже нуля.
Из графика ясно также, что в течение первых пяти часов температура понижалась,
потом с 5 ч до 14 ч она повышалась, а с 14 ч до 24 ч она опять понижалась.

4.

Свойства функции
Рассмотрим теперь свойства функции у = f(x).
Область определения этой функции
D(y) = [-5; 9]
Множество значений функции E(y) = [-4; 5]
Выясним, при каких значениях х функция обращается в
нуль, принимает положительные и отрицательные
значения.
1) Найдем абсциссы точек пересечения графика с осью
х. Получим х = -3 и х = 7.
Значит, функция принимает значение, равное нулю, при
х = -3 и х = 7
Значения аргумента, при которых функция
обращается в нуль, называют нулями функции.

5.

Свойства функции
Нули функции разбивают её область на три
промежутка [-5; -3), (-3; 7), (7; 9].
Для значений х из промежутка (-3; 7) точки
графика расположены выше оси х, а для
значений х из промежутков [-5; -3) и (7; 9] –
ниже оси х.
Значит, на промежутке (-3;7) функция
принимает положительные значения, а на
промежутках [-5; -3) и (7; 9] – отрицательные
значения.
Промежутки, на которых функция сохраняет
знак,
называются
промежутками
знакопостоянства.

6.

Свойства функции
Выясним теперь, как изменяются значения
функции (увеличиваются или уменьшаются) с
изменениями х от -5 до 9.
С возрастанием х от -5 до 3 значения у
увеличиваются, а с возрастанием х от 3 до 9
значения у уменьшаются.
Говорят, что на промежутке [-5;3] функция у(х)
возрастает, а на промежутке [3; 9] она убывает.
Промежутки возрастания и убывания
функции
называются
промежутками
монотонности функции.

7.

Свойства функции
Функция называется возрастающей на некотором промежутке, если
большему значению аргумента из этого промежутка соответствует
большее значение функции.

8.

Свойства функции
Функция называется убывающей на некотором промежутке, если
большему значению аргумента из этого промежутка соответствует
меньшее значение функции.

9. № 1. Исследуйте функцию по графику

Проверка домашнего задания
№ 1. Исследуйте функцию по графику
1) D(у) = [-10,6; 11,7];
2) Е(у) = [-6,2; 6,8];
3) Нули функции:
у = 0 при х = -3,5; 1,5; 8,5;
4) у(х) возрастает на промежутках
[-10,6; -7] и [-1,5; 5]
у(х) убывает на промежутках
[-7; -1,5] и [5; 11,7]
5) у наиб. = у (-7) = 6,8
у наим. = у (11,7) = -6,2
6) Функция непрерывна

10. а) f(x) = 0 ⟹ 6 – 1,5х = 0; – 1,5х = -6; х = 4

Проверка домашнего задания
№ 2. Найдите нули функции
а) f(x) = 0
⟹
6 – 1,5х = 0;
б) g(x) = 0
– 1,5х = -6;
х1 + х2 = 4;
ቊ
х1 ∙ х2 = 3
х=4
х1 = 3;
⟹
х2 = 1
х2 – 4х + 3 = 0;

11. Пример 1. Установите по графикам количество нулей функции

12. Пример 2. Найдите нули функции

13. Пример 3

Найти промежутки знакопостоянства функции
f(x) = -2х + 6
Решение
Для этого решим неравенства:
1) -2х + 6 0,
-2х -6,
х 3
2) -2х + 6 0,
-2х -6,
х 3
Ответ: y 0 при x (3; + ),
y 0 при x (- ; 3)

14. Пример 4. Определите промежутки монотонности по графику функции

Функция y = f(x) возрастает на
промежутках, выделенных на рисунке
зеленым цветом, то есть при x [-9; 8], [-6,5; 1,5], [6; 9].
Функция y = f(x) убывает на
промежутках, выделенных на рисунке
желтым цветом, то есть при x [-8; 6,5], [1,5; 6].

15. Пример 5

Подчеркните возрастающие функции красной чертой, а
убывающие функции синей чертой.
f(x) = 27 – 23х,
f(x) = 3х,
f(x) = – 2х,
f(x) = 2х + 5,
f(x) = х,
f(x) =